反比例函数与几何综合经典题型(一)
反比例函数与几何综合（一）
◆知识要点◆
1.“反比例函数与几何综合”的思考流程
表达←→转化成←→分析
??
建等式建等式注：“关键点”是信息的汇聚点，通常是几何图形和函数图形的交点。
x
y O
P
A
B O
y x
E
D C B A ★例题剖析★ 一、与全等相结合
1、如图，点A 是双曲线x
y 8
=
（x ＞0）上的一点，P 为x 轴正半轴上的一点，且点P 的坐标为（4，0），将A 点绕P 点顺时针旋转90°，恰好落在此双曲线上的另一点B ，则B 点的坐标为 .
2、如图，直线y=-x+b 与两坐标轴交于A 、D 两点，与双曲线(k
y x x
=＞0)交于B 、C 两点，且
AB=BC=CD ，过B 作x 轴的平行线BE ，过D 作y 轴的平行线DE ，BE 、DE 的交点E 恰好在双曲线6(y x x
=＞0)上，则k = .
3、正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y=
x
2
（x ＞0）的图像上，顶点A 1，B 1分别在x 轴，y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数x
y 2
=（x ＞0）的图像上，顶点A 2在
x 轴的正半轴上，则点P3的坐标为 .
4、如图，双曲线y=
x
2
（x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴。将△ABC 沿AC 翻折后得△AB 丿
C ，点B 丿
落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .
二、与相似相结合
5、双曲线y 1=
x 1，y 2=x
3在第一象限的图像如图所示，过y 2上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 1于点B ，交y 轴于点C ，过A 作x 轴的垂线交y 1于点D ，交x 轴于点E ，连接BD ，CE ，则 CE
BD
.
6、如图，双曲线y=
x
k
经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交于点B ，已知OA=2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 .
7、如图，已知动点A 在函数y=
x
4
（x ＞0）的图像上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。直线DE 分别交x 轴,y 轴于点P ，Q 。当QE ：DP=4：9时，图中阴影部分的面积等于 .
8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数y=
x
k
(k 为常数，且k ＞0）在第一象限的图像交于点E ，F.过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C 。若
BF BE =m
1
（m 为大于1的常数）。记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则2
1
S S = .（用含m 的代数式表示）
9、如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的方向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线y=
x
k
（x ＞0）的图像经过点A ，若△BEC 的面积为4，则k 等于 .
x
y
O
B
A
三、与一次函数形成的特殊角相结合
10、如图，直线y=x 沿x 轴向左平移4个单位后与y 轴交于点B ，与双曲线y=
x
k
（x ＞0）交于点A ，若OA 2-AB 2=32，则k 的值为 .
11、如图，直线y=x-1分别交x 轴、反比例函数y=
x
k
的图像于点A 、B ，若OB 2-AB 2=5，则k 的值是 .
12、如图，直线y=kx 交双曲线y=-x
3
于A 、B,将直线y=-x 平移至经过点A ，交x 轴于点C ，则AB 2-4OC 2= .
●家庭作业●
1、如图，已知双曲线y=k
x
（x ＞0）经过长方形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且⊿BEF 的面积为2，
则k= ．
2、如图，Rt △ABC 的斜边BC 经过坐标原点，两直角边分别平行于坐标轴，A 点关于BC 中点P 的中心对称点D 在反比例函数k
y x
=的图象上，若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为 ．
3、如图，M 为双曲线y=
x
3
上的一点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，分别交直线y=-x+m 于D ，C 两点，若直线y=-x+m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，则AD ·BC 的值为 ．
4、如图，直线y=-
b x +3
3
与y 轴交于点A ，与双曲线k y x =在第一象限交于B ，C 两点，且AB ·AC=4，
则k 的值为 ．
O
B
C
A
E
F
O
A B
C
D
x
y
P
初中反比例函数经典例题
初中反比例函数习题集合（经典） （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2 x y =-⑥13y x = ； 其中是y 关于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 （4）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （6）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5）和（2， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，2-）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1； x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值． （8）若反比例函数2 2)12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （9）已知0k >，函数y kx k =+和函数k y x =在同一坐标系内的图象大致是（ ） （10）正比例函数2x y = 和反比例函数2 y x =的图象有 个交点． （11）正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ）， 则a ＝ ． （12）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =． x y O x y O x y O x y O A B C D
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
反比例函数与几何证明
3．（2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2= 2 x 的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（） A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2 C．S△AOC=S△BOD D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大 ．（2011?湖州）如图，已知A、B是反比例函数y= k x （k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（） A．B．C．D． ．（2011?河北）根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论： ①x＜0时，y= 2 x
②△OPQ的面积为定值． ③x＞0时，y随x的增大而增大． ④MQ=2PM． ⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（） A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤ （2011?南京）【问题情境】 已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】 设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+ a x ）（x＞0）． 【探索研究】 （1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ 1 x （x＞0）的图象和性质． ①填写下表，画出函数的图象；
(完整版)正比例函数、反比例函数测试题(经典)
初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数
第10讲反比例函数与几何综合教案
反比例函数与几何综合（讲义） 一、知识点睛 反比例函数与几何综合的处理思路 1. 从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化，可将函数特 征与几何特征综合在一起进行研究． 2. 对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模 型，能快速将函数特征转化为几何特征． 与反比例函数相关的几个模型，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③
结论：BD∥CE 二、精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴 上， 1 4 OA OB =，函数 9 y x =-的图象与线段AB交于点M．若AM=BM，则直线 AB的解析式为_________． 2. 的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0，-2)，则点F的坐标是_________．
3. 正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1，P 2在反比例函数x y 2 = （0x >）的图象上，顶点A 1，B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数x y 2 = （0x >）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为_________．
4.如图，已知动点A在函数 4 y x =（0 x>）的图象上，AB x ⊥轴于点B， AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴、y轴于点P，Q．当QE:DP=4:9时，图中阴影部分的面积为_________．
反比例函数经典编辑中考例题
反比例函数经典中考例题解析一 一、 填空题（每空3分，共36分） 1、任意写出一个图象经过二、四象限的反比例函数的解析式:__________ 2、若正比例函数y =mx (m ≠0)和反比例函数y =n x (n ≠0)的图象有一个交点为点(2,3)，则m =______，n =_________ . 3、已知正比例函数y=kx 与反比例函数y= 3 x 的图象都过A （m ，1）点，求此正比例函数解析式为________,另一个交点的坐标为________. 4、已知反比例函数2k y x -=，其图象在第一、三象限内，则k 的值可为 。 （写出满足条件的一个k 的值即可） 5、已知反比例函数x k y = 的图象经过点)2 1 4(，，若一次函数1+=x y 的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B （2，m ），求平移后的一次函数图象与x 轴的交点坐标为______________ 6、已知双曲线x k y = 经过点（－1，3），如果A (11,b a )，B (22,b a )两点在该双曲线上，且1a ＜2a ＜0，那么1b 2b ． 7、函数y=x 2的图象如图所示，在同一直角坐标系内，如果将直线y=－x+1沿y 轴向上平 移2个单位后，那么所得直线与函数y= x 2 的图象的交点共有 个 8、已知函数y kx =- (ｋ≠０)与ｙ＝4x -的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于ｙ轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为＿＿＿＿ （第9题）
9．如图,11POA V 、 212P A A V 是等腰直角三角形,点1P 、2P 在函数4 (0)y x x =>的图象上,斜边1OA 、12A A 都在x 轴上,则点2A 的坐标是____________. 10. 两个反比例函数x y 3= ，x y 6 =在第一象限内的图象如图 所示, 点P 1，P 2，P 3，…，P 2 005在反比例函数x y 6 = 图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2 005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2 005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2 005分别作 y 轴的平行线，与x y 3 = 的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2 005（x 2 005，y 2 005），则 y 2 005= ． 二、选择题（每题3分，共30分） 11、反比例函数k y x = 与直线2y x =-相交于点A ，A 点的横坐标为－1，则此反比例函数的解析式为（ ） A ．2y x = B ．12y x = C ．2y x =- D ．12y x =- 12、如图所示的函数图象的关系式可能是（ ）. （A ）y = x （B ）y =x 1 （C ）y = x 2 (D) y = 1x 13、若点（3,4）是反比例函数2 21m m y x +-=图象上一点，则此函数图象必须经过点 （ ）. O x y （第12题） 第10
反比例函数经典中考例题解析二
反比例函数经典中考例题解析二 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、反比例函数y ＝ x n 5 图象经过点（2，3），则n 的值是（ ）． A 、－2 B 、－1 C 、0 D 、1 2、若反比例函数y ＝ x k （k ≠0）的图象经过点（－1，2），则这个函数的图象一定经过点（ ）． A 、（2，－1） B 、（－ 2 1 ，2） C 、（－2，－1） D 、（ 2 1 ，2） 3、(08双柏县)已知甲、乙两地相距s （km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ） 4、若y 与x 成正比例，x 与z 成反比例，则y 与z 之间的关系是（ ）． A 、成正比例 B 、成反比例 C 、不成正比例也不成反比例 D 、无法确定 5、一次函数y ＝kx －k ，y 随x 的增大而减小，那么反比例函数y ＝ x k 满足（ ）． A 、当x ＞0时，y ＞0 B 、在每个象限内，y 随x 的增大而减小 C 、图象分布在第一、三象限 D 、图象分布在第二、四象限 6、如图，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂 线PQ 交双曲线y ＝ x 1 于点Q ，连结OQ ，点P 沿x 轴正方向运动时， Rt △QOP 的面积（ ）． A 、逐渐增大 B 、逐渐减小 C 、保持不变 D 、无法确定 Q p x y o t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O t /h v /(km/ O A ． B ． C ． D ．
7、在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量 m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变． ρ与V 在一定范围内满足ρ＝ V m ，它的图象如图所示，则该 气体的质量m 为（ ）． A 、1.4kg B 、5kg C 、6.4kg D 、7kg 8、若A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （－1，y 3）三点都在函数y ＝－x 1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大 小关系是（ ）． A 、y 1＞y 2＞y 3 B 、y 1＜y 2＜y 3 C 、y 1＝y 2＝y 3 D 、y 1＜y 3＜y 2 9、已知反比例函数y ＝ x m 21-的图象上有A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ）． A 、m ＜0 B 、m ＞0 C 、m ＜2 1 D 、m ＞ 2 1 10、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两 点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围 是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2 C 、－1＜x ＜0或x ＞2 D 、x ＜－1或0＜x ＜2 二、填空题（每小题3分，共30分） 11.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均每天使用的小时数x 之间的函数关系式 为 . 12、已知反比例函数 x k y = 的图象分布在第二、四象限，则在一次函数b kx y +=中，y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”或“不变”）． 13、若反比例函数y ＝x b 3 -和一次函数y ＝3x ＋b 的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b ＝ ． 14、反比例函数y ＝（m ＋2）x m 2 － 10的图象分布在第二、四象限内，则m 的值为 ．
初中数学反比例函数经典测试题及答案
初中数学反比例函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB
垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1 =1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3 C ． 1 3 D ．- 13 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A 、B 的坐标，表示出k 1、k 2，进而得出k 2与k 1的比值． 【详解】 如图，设AB 交x 轴于点C ，又设AC=a. ∵AB ⊥x 轴 ∴∠ACO=90° 在Rt △AOC 中，OC=AC·tan ∠OAB=a·tan60°3 ∴点A 3a ，a ） 同理可得 点B 3，-3a ） ∴k 1332 ， k 23a×（-3a ）3a ∴ 213333k a k a ==-. 故选A. 【点睛】
反比例函数与几何综合(讲义及答案)
反比例函数与几何综合（讲义） ?课前预习 前期学习一次函数与几何综合问题时，解决思路是将坐标、几何图形和一次函数综合起来分析、转化．如：坐标与线段长互转，由坐标求解表达式，根据函数表达式计算坐标等，请尝试解决下列问题，并体会整个解决问题的过程： 如图，已知直线l1：y =2 x + 8 与直线l2：y=-2x+16 相交于点 3 3 C，直线l1，l2 分别交x 轴于A，B 两点，矩形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG:S△ABC = ． 解决一次函数与几何综合问题的核心在于：找坐标，转线段长，借助几何或函数特征建等式求解．
1
?知识点睛 反比例函数与几何综合的处理思路： 1 .从关键点入手．“关键点”是信息汇聚点，通常是和的．通过和 的互相转化可将与综合在一起进行研究． 2.梳理题干中的函数和几何信息，依次转化． 3.借助或列方程求解． 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． 结论：S 矩形ABCO = 2S △ABO =| k | 结论：S △OCD =S 梯形ABCD 结论：AB=CD 结论：BD∥CE 函数几何特征常见转化作法： 1.函数→坐标→几何 ①借助表达式设出点坐标； ②将点坐标转化为横平竖直线段长； ③结合几何特征利用线段长列方程． 2.几何→坐标→函数 ①研究几何特征，考虑线段间关系； ②通过设线段长进而表达点坐标； ③将点坐标代入函数表达式列方程．若(x1，y1)，(x2，y2)是同一反比例函 数上的点，则： ①当x1，y1，x2，y2 都用同一字母表达出来时，往往利用x1y1=x2y2=k 列方程求解． ②当两点的横坐标有比例关系时，对应的纵坐标也有比例关系．这样的比例关系常通过横平竖直的线段放在相似三角形中使用． 如： x 1 = y 2 x 2 y 1
反比例函数知识点归纳总结与典型例题(供参考)
反比例函数知识点归纳总结与典型例题 （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+= x y ③21x y = ④.x y 21 -=⑤2 x y =-⑥13y x = ；其中是y 关 于x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，52， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，2- (二)反比例函数的图象和性质： 知识要点： 1、形状：图象是双曲线。 2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。 3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________； （2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。 4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交 5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x 6 -）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。 例题讲解： 反比例函数的图象和性质： （1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ． （2）若反比例函数 2 2 )12(--=m x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ） A 、 －1或1; B 、小于 1 2 的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4 y x =- D ．12y x =．
反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题 知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称 点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三 角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线 与双曲线的关系： 当 时，两图象没有交点； 当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
专题 反比例函数与几何图形
专题 反比例函数与几何图形综合题 反比例函数与三角形 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标 是(m ，－4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5. (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积． 分析：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：(1)过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k x .∵AE ⊥x 轴，∴∠AEO ＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2＝4，∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式 为y ＝－12 x (2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝1 2OC·(y A －y B )＝12×1×[3－(－4)]＝72
反比例函数与四边形 2. (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43 x 的图象上，分别作PF ⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点． (1)求点B 的坐标； (2)求四边形AOPE 的面积． 分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43 a ，联立可求点A 的坐标，从而得出点C ，B 的坐标； (2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可． 解：(1)∵∠ACB ＝60°，∴∠AOQ ＝60°，∴tan 60°＝AQ OQ ＝3，设点A(a ， b)，则? ??b a ＝3， b ＝43a ， 解得?????a ＝2，b ＝23或?????a ＝－2， b ＝－23(不合题意，舍去)，∴点A 的坐标是 (2，23)，∴点C 的坐标是(－2，－23)，∴点B 的坐标是(2，－23) (2)∵点A 的坐标是(2，23)，∴AQ ＝23，∴EF ＝AQ ＝23，∵点P 为EF 的中点，∴PF ＝3，设点P 的坐标是(m ，n)，则n ＝3，∵点P 在反比例函数y ＝43x 的图象上，∴3＝43m ，S △OPF ＝1 2|43|＝23，∴m ＝4，∴OF ＝4，∴S 矩形 DEFO ＝OF·OD ＝4×23＝83，∵点A 在反比例函数y ＝ 43 x 的图象上，∴S △AOD ＝1 2|43|＝23，∴S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ＝83－23－23＝4 3
反比例函数知识点及典型例题解析
反比例函数 知识点及考点： （一）反比例函数的概念： 知识要点： 1、一般地，形如 y = x k ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A ）y = x k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1 （k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11 += x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ；其中是y 关于 x 的反比例函数的有：_________________。 （2）函数2 2 )2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．2或－2 （3）若函数1 1-= m x y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________． （4）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 练习：（1）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） （2）如果y 是m 的正比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） （5）反比例函数(0k y k x = ≠） 的图象经过（—2，5， n ）， 求1）n 的值； 2）判断点B （24，）是否在这个函数图象上，并说明理由 （6）已知y 与2x －3成反比例，且4 1 =x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．
初中数学反比例函数经典测试题附答案
一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 2．下列函数中，当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
反比例函数与几何图形的综合
代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做) ——代几结合，掌握中考风向标 ◆类型一 与三角形的综合 1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝k x 的图象上，点F 在x 轴的 正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 2．(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6 x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD 为( ) A ．36 B ．12 C ．6 D ．3 3．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8 x 上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的 面积等于________． 第3题图 第4题图 4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y ＝k x (x ＜0)的图象经过点A ，若S △AOB ＝3，则k 的值为________． 5．(2016·宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9 x (x >0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1 x (x >0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．
第5题图 第6题图 6．★如图，若双曲线y ＝k x (k ＞0)与边长为3的等边△AOB (O 为坐标原点)的边OA 、 AB 分别交于C 、D 两点，且OC ＝2BD ，则k 的值为________． 7．(2016·宁夏中考)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝k x (x >0)的图象经过OA 的中点C ，交 AB 于点D . (1)求反比例函数的关系式； (2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积． 8．(2016·大庆中考)如图，P 1、P 2是反比例函数y ＝k x (k >0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1、P 2为直角顶点． (1)求反比例函数的解析式； (2)①求P 2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1、 P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝k x 的函数值．
反比例函数的典型例题集
反比例函数的典型例题一 例 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y - =；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）15-=x y ；（5）.8 1=xy 解：其中反比例函数有（2），（4），（5）． 说明：判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，x k y =)0(≠k ，它也可变形为1-=kx y 及k xy =的形式， （4），（5）就是这两种形式． 反比例函数的典型例题二 例 在以下各小题后面的括号里填写正确的记号．若这个小题成正比例关系，填(正)；若成反比例关系，填(反)；若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)． (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 （ ）； (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 （ ）； (3)圆面积与半径的关系 （ ）； (4)圆面积与半径平方的关系 （ ）； (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 （ ）； (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 （ ）； (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 （ ）； (8)在圆中弦长与弦心距的关系 （ ）； (9)x 越来越大时，y 越来越小，y 与x 的关系 （ ）； (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 （ ）． 答： 说明：本题考查了 正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义． 反比例函数的典型例题三 例 已知反比例函数6 2)2(--=a x a y ，y 随x 增大而减小，求a 的值及解析式． 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题． 解 因为6 2)2(--=a x a y 是反比例函数，且y 随x 的增大而减小， 所以???>--=-.02,162a a 解得???>±=. 2,5a a
中考数学总复习 专题九 反比例函数与几何图形综合题试题 新人教版
专题九 反比例函数与几何图形综合题 反比例函数与三角形 【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，点B 的坐标是(m ， －4)，连接AO ，AO ＝5，sin ∠AOC ＝3 5 . (1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB ，求△AOB 的面积． 分析：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，通过解直角三角形求出线段AE ，OE 的长度，得出点A 的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B 的坐标，再求直线AB 的解析式，从而可求出点C 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论． 解：(1)过点A 作AE⊥x 轴于点E ，设反比例函数解析式为y ＝k x .∵AE⊥x 轴，∴∠AEO ＝90°.在Rt △AEO 中，AO ＝5，sin ∠AOC ＝35 ，∴AE ＝AO·sin ∠AOC ＝3，OE ＝AO 2－AE 2 ＝4， ∴点A 的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y ＝－12 x (2)易求B(3，－4)，可求直线AB 的解析式为y ＝－x －1.令一次函数y ＝－x －1中y ＝ 0，则0＝－x －1，解得x ＝－1，∴C(－1，0)，∴S △AOB ＝12OC·(y A －y B )＝1 2 ×1×[3－(－4)] ＝72 反比例函数与四边形 【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC 放在平面直角坐标系中，直角边AB 垂 直于x 轴，垂足为点Q ，已知∠ACB ＝60°，点A ，C ，P 均在反比例函数y ＝43 x 的图象上， 分别作PF⊥x 轴于点F ，AD ⊥y 轴于点D ，延长DA ，FP 交于点E ，且点P 为EF 的中点． (1)求点B 的坐标； (2)求四边形AOPE 的面积． 分析：(1)设点A(a ，b)，则tan 60°＝b a ＝3，b ＝43 a ，联立可求点A 的坐标，从而 得出点C ，B 的坐标； (2)先求出AQ ，PF 的长，从而可求点P 的坐标和S △OPF ，再求出S 矩形DEFO ，根据S 四边形AOPE ＝S 矩形DEFO －S △AOD －S △OPF ，代入计算即可．
反比例函数知识点及经典例题
第十七章 反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y = 还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k ⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函 数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y = （0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4 5. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数x k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用二、例题 【例1】如果函数2 22 -+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x k y = ，（0≠k ）
即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0
反比例函数经典测试题含解析
反比例函数经典测试题含解析 一、选择题 1．如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数 b y x = 在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】 ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下， ∴a ＜0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点， ∴c=0， ∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧， ∴a ，b 同号， ∴b ＜0， ∴一次函数y=ax+c ，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=b x 图象分布在第二、四象限， 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 2．在同一直角坐标系中，函数y=k(x －1)与y= (0)k k x <的大致图象是
A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：k<0时，y= (0)k k x <的图象位于二、四象限， y=k(x －1)的图象经过第一、二、四象限， 观察可知B 选项符合题意， 故选B. 3．已知点()11,A y -、()22,B y -都在双曲线32m y x +=上，且12y y >，则m 的取值范围是（ ） A ．0m < B ．0m > C ．32 m >- D ．32 m <- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知得3+2m ＜0，从而得出m 的取值范围． 【详解】 ∵点()11,A y -、()22,B y -两点在双曲线32m y x +=上，且y 1＞y 2， ∴3+2m ＜0， ∴32 m <- ， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k ＞0时，该函数图象位于第一、三象限，当k ＜0时，函数图象位于第二、四象限． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(﹣1，1)，点B 在x 轴正半轴上，点D 在第三象限的双曲线y ＝8 x 上，过点C 作CE ∥x 轴交双曲线于点E ，则CE 的长为( )
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