2019上海宝山区,高三一模数学试题
AB = (sin x,cos y )， x, y ∈ ? - , ?? ，则 x + y =. 3 { }的“同宗”数列，若lim ? ?= ，则 k =. ab ab ab ? 3 n →∞ ?
宝山区 2018 学年第一学期期末
高三年级数学学科教学质量监测试卷
（120 分钟，150 分）
一、填空题（本题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分
1、函数 f (x ) = sin (-2x ) 的最小正周期为.
2、集合U = R ，集合 A = {x | x - 3 > 0}， B = {x | x + 1 > 0}，则 B C A =.
U
3、若复数 z 满足 (1 + i )z = 2i （ i 是虚数单位），则 z =.
4、方程 ln (
9
x + 3x - 1)
= 0 的根为. 5、从某校 4 个班级的学生中选出 7 名学生参加进博会志愿者服务，若每一个班级至少一名
代表，则各班的代表数有种不同的选法.（用数字作答）
?1 2 -3?
6、关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ，则 x + y =.
? 0 1 5 ?
7、如果无穷等比数列{a
n
}所有奇数项的和等于所有和的 3 倍，则公比 q =.
8、函数 y = f (x ) 与 y = ln x 的图像关于直线 y = -x 对称，则 f (x ) =.
9、已知 A (2，) ， B (1,4 )，且
1 π π
2 ? 2 2 ?
10、将函数 y = - 1 - x 2 的图像绕着 y 轴旋转一周所得到的几何容器的容积是.
△
11、张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在 ABC 中， a 、 b 、 c
分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知 b = 2 2 ， ∠A = 45? ，求边 c 。显然缺少条件，若他打算
补充 a 的大小，并使得 c 只有一解，那么，a 的可能取值是.（只需要填写一个合适的答案）
12、如果等差数列 {a
n
}、 b
}的公差都为 d (d ≠ 0) ，若满足对于任意 n ∈ N * ，都有 b n n
- a = kd ， n
其中 k 为常数， k ∈ N * ，则称它们为“同宗”数列。已知等差数列{a
n
}中，首项 a
1
= 1 ，公
差 d = 2 ，数列{b }为数列 {a n
n
1 1 1 ? 1 +
+ ??? + 1 1 2 2 n n
二、选择题（本题满分 20 分）
13 、若等式 1 + x + x 2 + x 3 = a + a (1 - x ) + a (1 - x )2 + a (1 - x )3 对一切 x ∈ R 都成立，其中
1
2
3
14、“ x ∈ ?- , ? ”是“ sin (arcsin x ) = x ”的（ 16、设点 M 、 N 均在双曲线 C : - = 1 上运动， F 、 F 是双曲线的左、右焦点，则
4 3
a , a , a , a 为实常数，则 a + a + a + a =（
）
1 2 3 0 1 2 3
（A ）2.
（B ） -1 .
（C ）4.
（D ）1
? π π ? ? 2 2 ?
）条件.
（A ）充分非必要.
（B ）必要非充分. （C ）充要.
（D ）既非充分又非必要.
15、关于函数 f (x ) =
3
x 2 - 2
的下列判断，其中正确的是（ ）
（A ）函数的图像是轴对称图形.
（B ）函数的图像是中心对称图形.
（C ）函数有最大值.
（D ）当 x > 0 时， y = f (x ) 是减函数.
x 2 y 2
1 2
| MF 1 + MF 2 - 2MN | 的最小值为（
）
（A ） 2 3 .
（B ）4. （C ） 2 7 . （D ）以上都不对.
三、解答题（本题满分 76 分） 17、（满分 14 分）本题有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，P A ⊥平面 ABCD ，正方形 ABCD 的边长为 2，P A = 4 ，设 E 为侧棱 PC 的中点.
（1）求正四棱锥 E - ABCD 的体积 V ；（2）求直线 BE 与平面 PCD 所成角θ 的大小.
P
E
A
D
B
C
18、（满分 14 分）本题有 2 小题，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分.
（2）若 α ∈ 0, ? ， y = g (x ) 的一条对称轴为 x = ，求 y = g (x ) ， x ∈ ?0, ? 的值域.
π 12
3 sin 2x -1
已知函数 f (x ) = 1 cos 2x 2 ，将 f (x ) 的图像向左移 α (α > 0) 个单位得到函数 y = g (x )
0 0 1
的图像.
（1）若 α =
π
4
，求 y = g (x ) 的单调递增区间；
? π ? ? π ? ? 2 ? ? 2 ?
19、（满分 14 分）本题有 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.
某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4个小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t
（单位：小时，t∈[0,20]）近似地满足函数y=|t-13|+
b
关系，其中，b为大棚内一天t+2
中保温时段的通风量.
（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1?C）；
（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不低于17?C，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.
已知椭圆 Γ : + y 2 = 1 的左、右焦点为 F 、 F .
4
3 ，求 M 的纵坐标 y ； 1,
x 2
1 2
（1）求以 F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程；
1
（2）若椭圆 Γ 上的点 M 满足 ∠F MF =
π
1
2
M
（3）设 N (0 ) ，若椭圆 Γ 上存在两个不同点 P 、Q 满足 ∠PNQ = 90?，证明直线 PQ 过定点，
并求该定点的坐标.
b
= 2018 ? ? ，
如果数列 {a
n
}对于任意 n ∈ N * ，都有 a
n +2
- a = d ，其中 d 为常数，则称数列{a n
n
}是“间等
差数列”， d 为“间公差”.若数列 {a
n
}满足 a
n
+ a
n +1
= 2n - 35 ， n ∈ N * ， a = a (a ∈ R ).
1
（1）求证：数列{a
n
}是“间等差数列”，并求间公差 d ；
（2）设 S 为数列 {a n
n
}的前 n 项和，若 S n
的最小值为 -153 ，求实数 a 的取值范围；
（3）类似地：非零数列{b }对任意的 n ∈ N * ，都有 b n +2 = q ，其中 q 为常数，则称数列{b } n
n
n
是 “ 间 等 比 数 列 ”， q 为 “ 间 公 比 ”。 已 知 数 列 {c n
} 中，满足 c 1
= k (k ≠ 0, k ∈ Z ) ，
c c
n n +1
? 1 ?n -1
? 2 ?
， n ∈ N *
，试问数列{c }是否为“间等比数列” 若是，求最大的整数k
n
使得对于任意 n ∈ N * ，都有 c > c
n
n +1
；若不是，请说明理由.
参考答案：
1、 π ；
2、 (-1,3 ；
3、1 - i ；
4、 x = 0 ；
5、20；
6、 - 8 ；
7、 -
或 - ；10、
；11、 2 2 ；12、2；
一、填空题：
]
π
π
2π
9、 6 2 3
二、选择题：
13、D ；14、B ；15、A ；16、B ； 三、解答题：
2
3
；8、 - e - x ；