高中数学必修4知识点总结
第一章:三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角α终边相同的角的集合: {}Z k k ∈+=,2παββ.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、 r
l =
α. 3、弧长公式:R R
n l απ==
180
. 4、扇形面积公式:lR R n S 2
1
3602==
π.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么:x
y
x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y
为角α终边上任意一点,那么:
(设r =
sin y r α=
,cos x r α=,tan y
x
α=,cot x y α=
3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角0°,30°,45°,60°,
90°,180°,270等的三角函数值.
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系:1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系:α
α
αcos sin tan =
.
3、 倒数关系:tan cot 1αα=
§1.3、三角函数的诱导公式
(概括为Z k ∈)
1、 诱导公式一: ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,
sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k (其中:Z k ∈)
2、 诱导公式二: ()()().tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+
3、诱导公式三: ()()().tan tan ,cos cos ,
sin sin αααααα-=-=--=-
4、诱导公式四: ()()().
tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ-=--=-=-
5、诱导公式五: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=???
??-=???
??-
6、诱导公式六: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=??
?
??+=???
??+
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、
单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为: 30010-1202
2
π
π
ππ(
,)(,,)(,,)(,,)(,,). §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:
2、记住余切函数的图象:
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:对于函数()x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有()()x f T x f =+,那么函数()x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
x y sin =
x y cos = x y tan =
图象
定义域 R
R
},2
|{Z k k x x ∈+≠
ππ
值域
[-1,1] [-1,1]
R
最值
max min 2,1
2
2,1
2
x k k Z y x k k Z y π
ππ
π=+
∈==-
∈=-时,时,
max min 2,12,1
x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时,时,
无
周期性 π2=T
π2=T
π=T
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
Z k ∈ 在[2,2]2
2
k k ππππ-+上单调递增
在3[2,2]22
k k ππππ++上单调递减 在[2,2]k k πππ-上单调递增
在[2,2]k k πππ+上单调递减
在(,)22
k k ππππ-+上单调递
增 对称性 Z k ∈ 对称轴方程:2
x k π
π=+
对称中心(,0)k π
对称轴方程:x k π= 对称中心(,0)2
k ππ
+
无对称轴 对称中心,0)(
2
k π
§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数:
()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有:振幅A ,周期2T π
ω
=
,初相?,相位?ω+x ,频率π
ω
21
=
=
T
f .
2、能够讲出函数x y sin =的图象与
()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系.
① 先平移后伸缩:
sin y x = 平移||
?个单位
()sin y x ?=+ (左加右减)
横坐标不变
()sin y A x ?=+
纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
()sin y A x ω?=+
横坐标变为原来的1
||ω
倍
平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
② 先伸缩后平移:
sin y x = 横坐标不变 sin y A x =
纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变
sin y A x ω=
横坐标变为原来的1
||ω
倍
()sin A x ω?=+
(左加右减) 平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
函数sin()y x ω?=+,x ∈R 及函数cos()y x ω?=+,x ∈R(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期2||
T πω=;函数tan()y x ω?=+,,2
x k k Z π
π≠+
∈(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期||
T πω=
. 对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心,只需令()2
x k k Z π
ω?π+=+
∈与
()x k k Z ω?π+=∈
解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征:max min 2y y A -=
,max min
2
y y B +=. ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-
3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-
5、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ+-+=.
6、()tan tan 1tan tan tan αβαβαβ-+-=
.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =, 变形: 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=
1cos 22-=α α2sin 21-=. 变形如下:
升幂公式:2
2
1cos 2cos 1cos 22sin αα
αα
?+=??-=?? 降幂公式:22
1cos (1cos 2)2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-?????
3、α
αα2tan 1tan 22tan -=
.
4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-=
=
+ §3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y
(其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?= ). 第二章:平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2、 向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度(或称模),记作AB ;长度为零的向量叫做零向量;长度
等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2、b a +≤b a +.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:a λ,它的长度和方向规定
如下: ⑴
a a λλ=,
⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同;当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理:向量()
0≠a a 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量a ,
有且只有一对实数21,λλ,使2211e e λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x y x ==,则: ⑴()2121,y y x x ++=+,
⑵()2121,y y x x --=-, ⑶()11,y x a λλλ=, ⑷1221//y x y x b a =?. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则: ()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,则
⑴线段AB 中点坐标为
(
)
2
22
121,y y x x ++, ⑵△ABC 的重心坐标为(
)
333213
21,y y y x x x ++++.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 θ=?.
2、 在θcos .
3、 2
a =.
4、=
.
5、 0=??⊥b a b a .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==,则:
⑴2121y y x x +=?
2121y x +=
⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则:
()()2
12212y y x x -+-=
.
3、 两向量的夹角公式 21
cos a b a b
x θ?=
=
+
4、点的平移公式
平移前的点为(,)P x y (原坐标),平移后的对应点为(,)P x y '''(新坐标),平移向量为(,)PP h k '=,
则.
x x h
y y k '=+??
'=+?
函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h -=-