高考数学专题06 数列中的最值问题(第二篇)(解析版)

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第二篇数列与不等式

专题06 数列中的最值问题

【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】

在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，2

3

2637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当3

12123n S S S S n

+++?+取最大值时，求n 的值． 【思路引导】

（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2

375a a a =，联立42a =即可解出答案

（2）根据52

n

n a -=写出5n b n =-，求出2

92

n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可。

解：（1）23

2637225a a a a a ++=，可得22

23355352()25a a a a a a ++=+=， 由42a =，即312a q =，①，由01q <<，可得10a >，0n a >，

可得355a a +=，即24115a q a q +=，②由①②解得1

(22q =舍去），116a =，

则151

16()22

n n n a --==g ； （2）22log log 2

n n b a ==55n

n -=-，可得2

19(45)22

n n n S n n -=+-=

，92n S n n -=， 则127941222n S S S n n -++?+=++?+221917117289

(4)()2244216

n n n n n --=+==--+，

可得8n =或9时，

12

12n S S S n

++?+取最大值18．则n 的值为8或9． 【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】 在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20

n S n

+的最小值. 【思路引导】

（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项1a 和公差d ，得到通项n a （2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20

n S n

+，然后找到其最小值，注意*n N ∈. 解：(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =，∴由11328736a d a d +=??

+=?，得122

2a d =??=?

，

即数列{}n a 的通项公式为()2212220n a n n =+-?=+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得，()21222212

n n n S n n n -=+?=+，∴

2020

21n S n n n

+=++， 令()*20

21,f x x n N x =+

+∈， ()220

1f x x

=-',

当((),0x f x ∈'<

；当()

(),0x f x ∈+∞>'

则()f x

在(0,

上单调递减，在()

+∞上单调递增， 又*n N ∈Q ，()()4530f f ==

∴当4n =或5时，，()f n 取到最小值30，即

20

n S n

+的最小值为30. 【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】

已知数列{}n a 对任意n *∈N 满足1

12335(21)(1)32n n a a a n a n +++++-=-+L ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得2019n S >成立的正整数n 的最小值． 【思路引导】

（1）由()()()1

123135232113

2n n n a a a n a n a n +-++++-+-=-+L ，可得

()()12313523232n n a a a n a n -++++-=-+L ()2n ≥，两式相减可得()32n

n a n =≥，然后再验证1a 是

否满足上式即可得到结论．

（2）根据（1）中的通项公式求出n S ，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．

解：（1）因为()()()1

1231352321132n n n a a a n a n a n +-++++-+-=-+L ①，

所以()()12313523232n

n a a a n a n -++++-=-+L ()2n ≥②，

①②两式相减，得()()()()213323213

n

n

n n a n n n ??-=---=-??()2n ≥，

所以()32n

n a n =≥③．又当1n =时，得12a =，不满足上式．

所以数列{}n a 的通项公式为()

()2,13,2n n n a n ?=?=?≥??

．

（2）由（1）知，12S =，所以12019S >不成立， 当2n ≥时，123n n S a a a a L =++++232333n =++++L

2

3

13333n

=-+++++L (

)313113

n

?-=-+

-=1

3

5

2

n +-， 由13520192

n n S +-=>，得134043n +>．令()1

3n f n +=，则()f n 为增函数，

又()()7

8

2187364043736561f f ==<<==．因此要使134043n +>成立，只需7n ≥，

故使2019n S >成立的正整数n 的最小值为7．

【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】

已知{}n a 为公差不等于零的等差数列，S n 为n a 的前n 项和，且()1n n a S n ??????+????

为常数列.

（1）求1a ； （2）d ∈*

N .设4035

n

n n a b a =

-，仅当n 2019=时，n b 最大，求n a .

【思路引导】

（1）将等差数列{}n a 的通项和求和全部用基本量表示，然后对n 整理，令n 的系数和常数项为0，得到答案.（2）表示出n b 通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差d 的范围，然后根据*d ∈N ，得到d 的值，再求出n a 的通项.

解：（1）设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()()()()[)11111122111]

11n n n n n na d a d

s c n a a in d n a n d --+

+

===++-+??+-+?? 整理得：1

1022d

d n dc a a c dc c ???

?

-+----=

? ?????

对任意的n 恒成立， 只须11

10202d c d a a c dc c ???

-= ???????--+-=??

解得：1121c a ?=???=?.

（2）由题意可知()11n a n d =+-，

()()403511114034140344034n n d nd d d b d n d nd d n d

+-+-===++-----

{}n b 数列的对称中心为4034,1d d +??

???

因为仅当2019n =时，n b 最大，

所以403420182019d d +≤

<，解得201721009

d <≤， 又因*d ∈N ，所以2d =,()11221n a n n =+-?=- 【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】 已知数列{}n a ，12a =，26a =，且满足11

21

n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈）

（1）求证：{}1n n a a +-为等差数列； （2）令()1011

2

n n n b a +=

-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求{}2n n S S -的最大值. 【思路引导】

(1)将式子变形得到()()112n n n n a a a a +----=，故得到数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列；（2）通过

第一问的结论，以及累加法的应用得到()1n a n n =+，代入表达式得到n b ，设2n n n M S S =-，

()()1101

21222

n n M M n n +-=

-++，将此式和0比即可得到最大项.

解：（1）1122n n n a a a +-+=+，则()()112n n n n a a a a +----=. 所以{}1n n a a +-是公差为2的等差数列.

（2）()()()()121112242212

n n n n n n a a a a a a n n n L L ，-+≥=-++-+=+++=?=+.

当11,2n a ==满足.则()1n a n n =+.

()()1011101!22n n b n n n +=

-

=-+∴1

11012

2n n S n ??=+++- ???L ，

∴211111*********

n n

S n n n n ?

?=+

++++++- ?++?

?L L ， 设21

111012

22n n n n M S S n n n ??=-=+++-

?++??L ，

∴121

111111023

221222n n n n M S S n n n n n ++??=-=+++++-

?++++??L ， ∴()()111111

1110110102122122122221222n n M M n n n n n n n +????-=+--=--=-

? ?+++++++????

∴当1n =时，1101

0342

n n M M +-=

->?， 即12M M <，当2n ≥时，10n n M M +-<， 即234M M M >>>L ，∴()2max 1129101346n M M ??

==?+-= ???

， 则{}2n n S S -的最大值为4229

6

S S --

【典例6】已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足：231445,14a a a a =+=g

． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）通过公式n

n S b n c

=

+构造一个新的数列{}n b ．若{}n b 也是等差数列，求非零常数c ；

（Ⅲ）求()()()*1

25n

n b f n n N n b +=

∈+g 的最大值． 解：(1)∵数列{a n }是等差数列．∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14， 由23231445a a a a ＝+=??

?，解得2359a a =??=?或23

9

5a a =??=?．

∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9． ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1． ∴14(1)43n a n n =+-=-．

(2)∵S n ＝na 1＋n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴2

2n

n S n n b n c n c

-==

++． ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，

∴2·＝＋

，解得12

c =- (c ＝0舍去)．∴2221

2

n n n

b n

n -==-． 显然{b n }成等差数列，符合题意，∴12

c =-

． (3)由（2）可得

()221

252(25)(1)262526n n f n n n n n n n

=

==

++++++

1

36≤

=，当且仅当25n n

=，即5n =时等号成立． ∴f (n )的最大值为

136

． 【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】

已知数列{}n a 的前n 项和()1

*12N 2n n n S a n -??=--+∈ ?

??

，数列{}n b 满足2n

n n b a =.

（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124

N 63

n T n <∈的n 的最大值.

【思路引导】(Ⅰ)利用1

1112n n n n n n a S S a a ---??=-=-++ ???

，整理可得数列{}n b 是首项和公差均为1的等差

数列，求出{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得

()1112122n n n n n n c n n n n ++=

+?

???-+- ???

?

???11122121n n +??=- ?--??，利用裂项相消法求得11124212163n n T +?

?=-< ?-??

，解不等式可得结果.

解：(Ⅰ) ()

1

122n n n S a n N -+??=--+∈ ?

??

Q ，

当2n ≥时，2

11122n n n S a ---??=--+ ???，1

1112n n n n n n a S S a a ---??

∴=-=-++ ?

??

，

化为11221n n n n a a --=+，12,1n

n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，

令1n =,可得11112S a a =--+=,即11

2a =

.又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112n

n n b n n a =+-?==，2

n n n a ∴=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+????-+- ???????

()()111211*********n n n n n +++??==- ?----??, 22311111121...2121212121n n n T +??∴=-+-++-??-----??11124212163

n +?

?=-< ?-??,

可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.

1.【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】

已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令21

15log 3n n b a ??=- ???

，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值. 【思路引导】

（1）利用基本元的思想将已知转化为1,a q 的形式，由此求得1,a q ，进而求得数列的通项公式.（2）先求得

n b 的表达式，根据等差数列前n 项和公式求得n T ，再利用二次函数的性质求得n T 的最大值.

解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，

则()(

)

()()

2

12422114

118

11119011a q S q a q a q q S q q ?-?==-?

?-+-?

===?--?

，解得162a q =??=?. 故数列{}n a 的通项公式为16232n n

n a -=?=?. （2）由215log 215n

n b n =-=-，

则2(1415)29222

n n n n n

T +-==-+

. 由二次函数22922x x y =-+

的对称轴为29

2921222x =-=???- ???， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为1415

1052

?=. 2.【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】 已知数列{}n a 中，11128a =-，0n a ≠，且111364

n n n S S a +++=+， （1）求n a ；

（2）若4log n n b a =，12...n n T b b b =+++，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值.

【思路引导】

（1）由111364n n n S S a +++=+，得()11

3264

n n n S S a n -+=+≥，两式作差得()122n n a a n +=≥，由11128a =-，计算得2164

a =-，满足212a a =，得{}n a 等比数列，即可求出n a ；

（2）由（1）得142n b n =-，满足11

2

n n b b +-=，得{}n b 是等差数列，计算出n T 即可.

解：

（1）在数列{}n a 中，111364n n n S S a +++=+

Q ①，()11

3264

n n n S S a n -∴+=+≥②

①-②得：1133n n n n a a a a +++=-()2n ≥，()122n n a a n +∴=≥. 且11128a =-，在①式中，令1n =，得2164

a =-，212a a ∴=， 即

()121n n a n a +=≥，{}n a ∴是以11128a =-为首项，以2为公比的等比数列，18122128

n n n a --∴=-?=-. （2）由（1）知，8

2n n a -=-，且48

41

log l 42

og 2

n n n b a n -===-， 且()1111

144222n n b b n n +????-=+---= ???????，

所以{}n b 是以17

2b =-

为首项，以12

为公差的等差数列， 2

2

71152254152224244

n n n n n n T ???

?-+--- ? ?-?

???∴===. 78n ∴=或时，n T 最小，最小值为14-.

3.已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列(){}

n f a 是首项为4，公差为2的等差数列． （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()n n n b a f a =+

，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值. 【思路引导】

（1）由题意得出()22n f a n =+，利用对数运算得出22

n n a k +=，然后计算出

1

n n

a a +为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a 是等比数列；

（2）求出n a 和()n f a ，利用分组求和法得出n S ，然后分析数列{}n S 为单调递增数列，可得出该数列的最小值为1S ，由此可得出结果； 解：

（1）证明：由题意()()41222n f a n n =+-?=+， 即log 22k n a n =+，得22

n n a k

+=，且4

10a k =≠，()212

2122n n n n a k k a k

++++∴==．

Q 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，

∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列；

（2

）当k =

时，112n n a +=，()22n f a n =+，()11

222

n n n n b a f a n +∴=+=++. ()2111142211423122212

n n n n n

S n n +??- ?++??∴=+=++--.

1n ≥Q ，数列2111

322n n S n n +=++-是递增数列，

因而最小值为11117

13244

S =++-=；

4.【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】 已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12

112

n n n a a a ++-=，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值.

【思路引导】

(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可列出方程求出2q =，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出{}n b 的通项公式，由错位相减法可求得n S ，代入已知不等式即可得解. 解：（1）由{}n a 是等比数列，令1n =可得

2123112112222a a a q q

-=?-= 2202q q q ?--=?=或1q =-（舍去），故2n

n a =. （2）由题1

4log 2n n n n b a a n -==?，所以

01211222322n n S n -=?+?+?+???+?

又12321222322n

n S n =?+?+?+???+? 两式相减得1(1)2n

n S n =+-?

易知n S 单调递增，且891793,=40972020S S =>，故n 的最大值为8. 5.【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】

记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

23n S n n =-.递增的等比数列{}n b 满足，23a b =，3123a b b b =++，

记数列{}n b 的前n 项和为n T .

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求满足7n T S ≤的最大正整数n 的值. 【思路引导】

（1）当1n =时，解得11a =；2n ≥时，利用1n n n a S S -=-得到32n a n =-；再计算n b 得到答案.

（2）计算770S =，21n

n T =-，故2170n -≤，则271n ≤，计算得到答案.

解：

（1）当1n =时，122a =，解得11a =；

当2n ≥时，223-n S n n =，2

123(1)(1)n S n n -=---，

两式相减，可得264n a n =-，故32n a n =-，故*n ?∈N ，32n a n =-. 则34b =，1237b b b ++=， 记数列{}n b 的公比为q ，则244

47q q ++=，则23

q =-或2q =， 而数列{}n b 递增，故23

q =-舍去，故12n n b -=. （2）依题意，()1777702

a a S +?=

=，而21n n

T

=-，

故2170n -≤，则271n ≤，因为*n ∈N ，且6264=，72128=， 故满足7n T S ≤的最大正整数n 的值为6.

6.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】 已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈， （1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案

高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解

（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<x x x x ?-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于 -33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义 原不等式可化为 2 5 23<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于 23，且小于2 5 ，由图得， 解集为} {0x 1-<<<<或43x x 一题多解 一题多变（二） 已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证： 852a a a ,,成等差数列 法一：用公式q q a s n n 一一111)(=，

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)

2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III) 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<，故23x y >.

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握

最新高考数学数列题型专题汇总

1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

2017年高考数学一题多解——江苏卷

江苏卷 2017年江苏卷第5题：若tan 1-=46πα?? ???,则tan α= 【答案】75 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。 解法一：直接法 由61)4tan(=-π α，得6 1tan 4tan 14tan tan =+-αππ α，故可知57tan =α 解析二：整体代换 11tan()tan 7644tan tan[()]1445 1tan()tan 1446 ππαππααππα+-+=-+===---． 解法三：换元法 令t =-4π α，则61tan =t ，t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα 2017年江苏卷第9题（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=，S 6= ，则a 8= ． 法二：65436144 7463a a a s s ++==-=- 84 71433 21654===++++q a a a a a a

S 3=，∴ ，得a 1=，则a 8==32． 法三：9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴，得a 1=，则a 8==32． 2017年江苏卷第15题．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ． 法二： 在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ， 因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BD ， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ，

2018年高考数学一题多解——全国I卷

全国I 卷 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得 13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t == ，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1 lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<， 故23x y >.

浙江专版2018年高考数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点5数列求和及其综合应用教学案

突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题．

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

高考数学典型题一题多解系列三

第11题 一道根式函数题的6种解法 设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题） 解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+ 011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ， 故t 的取值范围是?? 解法二：（三角换元法）注意到 ))()211x + =-≤≤， 可用三角换元法，如下： 2sin ,0,2πααα??==∈???? 得 2sin 4t πααα? ?==+ ??? 由 32sin 24 4 424π π ππαα? ?≤+ ≤ ≤+≤ ?? ? t ∴的取值范围是?? 解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有 cos sin cos sin 2222t θθ θθ??==+=+???? 以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问 题的， 解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手． 解法四：（双换元法）,u v x ==消去得： 2 2 2u v +=，问题转化为方程组2 2 02 u v t u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时， 求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时， 求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。

解法五：（构造等差数列）由t =22 t =?， 2t 成等差数列。 22 t t d d =-=+， 消去x 得2 22222,442t d t d =+=-，由20d ≥知 22444t d =-≤，得2t ≤。 0。 222 d d ≤≤- ≤≤ 221 444422 t d ∴=-≥-?=2t ≤≤ 解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α， 则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤ 由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。 01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。 通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何 法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。 第12题 特值压缩法求解参数取值范围 已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。

高考数学二轮考点专题突破检测 数列专题

专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .