第1讲 倍长中线法

第1讲倍长中线法

知识目标

模块一倍长中线例1、例2难度：★★

模块二倍长过中点的线段例3、例4、例5、例6难度：★★★模块三“婆罗摩笈多”模型例7难度：★★★★★

模块一中线倍长基本应用

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如下图，在△ABC中，点D为AC的中点，那么我们可以采取下面的辅助线作法：

①延长BD至E使得DE＝DB，连接AE、CE；

②过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，连接CE；

③过点C作CE∥BA交BD的延长线于点E，连接AE.

结论：

①△ABD≌△CED；②△CBD≌△AED；③△ABC≌△CEA；④△ABE≌△CEB.

⑤四边形ABCE为平行四边形（AB＝CE，CB＝AE，AB∥CE，AE∥BC）

题型一：直接倍长中线

例1、已知，如图，△ABC，AB＝12，AC＝16，D是BC中点，求AD的取值范围.

练习、在△ABC中，AB＝8，且AC边上的中线BD＝5，求BC的取值范围.

例2、如图，△ABC中，B是AD的中点，E是AB的中点，且AC＝AB.求证：AD＝2CE.

练习、如图，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE.

题型二：直接倍长中线

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倍长中线的本质是倍长过中点的线段，因此下图的两种情况依然可以应用倍长的思路.

图1:图2:

已知：D为BC中点已知：l1∥l2，D为BC中点辅助线：辅助线：

延长ED至F使得DF＝DE，连接BF延长AD交l2于点E

结论：△BDF≌△CDE结论：△ABD≌△ECD

如图，△ABC中，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC的中点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.

练习

如图，在△ABC中，∠DAB＝90o，AB＝AD，过D、B两点分别作过A点直线的垂线，垂足分别为E、C两点，M为BD中点，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.

例4（2014武珞路八上期中）

如图，CD∥AB，BE＝CE，DE平分∠ADC.

求证：①AE平分∠DAB

②AB＋CD＝AD

在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90o，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD的中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程.

例5

已知，△ABC中，AC是BD边上的中线，E是AB上一点，CE交直线AD于F，若CF＝AB，求证：AE＝EF.

例6

如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG＝CF，求证：AD为△ABC的角平分线.

如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上.DE＝CD，EF＝AC.求证：EF ∥AB.

拓展

如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长.

模块二中线倍长综合应用

例7

如图，已知△ABC，分别以AB、AC为边作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD.AM 是BC边上的中线，求证：ED＝2AM且AM⊥ED.

如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90o，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE.求证：CD＝2AM且CD⊥AM.

真题演练

如图，在平面直角坐标系中，A（4，5），B（6，0），点C在第二象限内，

∠BAC＝90o，AB＝AC，连接OA，作AD⊥AO，且AD＝AO，连接CD，若点E坐标为（3，0），连接AE，则线段AE与CD有何数量关系与位置关系？写出你的结论并加以证明.

第1讲本讲课后作业

1.如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝5，AC＝9，则AD的取值范围是

2.如图，△ABC中，∠C＝90o，D是AB中点，求证：CD＝1

AB.

2

3.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME∥AD交AC于F，交BA的延长线于E.则BE＝.

4.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，

求证：AC＝BF.

5.如图，△ABC中，D是BC中点，过D点的直线GF交AC的反向延长线于点F，交AC的平行线BG 于G，DE⊥GF交AB于点E，连接EF.请你判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

6.如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE＝AC且BF＝9，

CF＝6，那么AF的长度为.

7.如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点.求证：DE＝2AM.

中考数学几何辅助线：倍长中线法

中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。 常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。 逢中点，便倍长，全等观，平行现. 倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。 在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线） 典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF． 名师指点： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．

满分解答： 证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ， ∵AD 是△ABC 中线， ∴CD ＝BD ， ∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD ∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM ， ∴△ADC ≌△MDB （SAS ）， ∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ， ∵AE ＝EF ， ∴∠CAD ＝∠AFE ， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ， ∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ． 名师点评： 倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．4BF = B ．2AB C ABF ∠>∠

全等三角形之倍长中线法资料讲解

课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE

方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图

数学倍长中线法

数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

倍长中线法 1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长 2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ． 3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD. 4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交 BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法(含答案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确 的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由 △ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（） 2

最新倍长中线法(经典例题)

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 过D 作DG//AC 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ B A B F D E C

例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. A B F E A B C

倍长中线法经典例题

倍长中线法知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】 △ABC中方式1 AD是BC 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在 BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F.求证：EF CF BE >+ A B F D E C

倍长中线法(初二)

全等三角形的构造方法---常用辅助线 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． (一)倍长中线法: 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ． 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 中线一倍辅助线作法 △ABC 中 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CD ，AC=3，求中线中，AB=AC ，D 在交BC 于F ，且课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线 E A B C D F H

倍长中线法(经典例题)2资料讲解

倍长中线法(经典例 题)2

倍长中线法（加倍法） 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF， 求证：BD=CE

例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 第 14 题图 D F C B E A B

例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1 、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. E D A B C F E A B C D

倍长中线法

全等三角形的类型题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线 段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 4、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC A D B C D A B C B A C D F 2 1 E

截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 C D B F A E D C B A F E D C P E D C B A

初中数学全等专题倍长中线法(含答案)

初中数学全等专题倍长中线法 1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A.2＜AB＜12 B.4＜AB＜12 C.9＜AB＜19 D.10＜AB＜19 答案：C 解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C. 2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 答案：A 解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误 3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（） ①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A 解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。 4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）

数学倍长中线法

倍长中线法 1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长 | 2.如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE． 、 3.如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD.

4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC 于点F，求证：∠AEF=∠EAF ？ 5..如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线. ) 6..如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 7.：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE

… ￥ 、 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 ' 10.已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于M ，AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. E A B C D A B M 第 1 题图 A B F D E C

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三角形全等专题倍长中线法

全等三角形基本判定条件： 1、三边对应相等(SSS)。 2、两边夹角对应相等(SAS)。 3、两角夹边对应相等(ASA)。 4、两角对边对应相等(AAS)。 5、直角三角形全等条件：①斜边及一直角边对应相等（HL）； ②一直角边及一锐角对应相等（ASA）或 斜边及一锐角对应相等（AAS）； ③两直角边对应相等(SAS) 。 ★注意：直角三角形全等，除边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS）对应相等外，还有直角边及斜边（HL）、一直角边及一锐角（ASA)、斜边及一锐角（AAS）、两直角边（SS）等对应相等。 除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件： 1、三条中线对应相等，两个三角形全等。 2、三条高线对应相等，两个三角形全等。 3、三条角平分线对应相等，两个三角形全等。 4、两个角及第三个角的角平分线对应相等，两个三角形全等。 5、两条边及第三条边上的中线对应相等，两个三角形全等。 6、钝角三角形中，一钝角和其一邻边对应相等，钝角所对的较大边也相等，两个三角形全等。或两边及其中一边的对角(钝角)对应相等，两个三角形全等。（SSA） 7、等腰三角形中，底边和顶角分别对应相等，两个等腰三角形全等。 8、等腰直角三角形中，周长相等，两个等腰直角三角形全等。（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等）。 9、等边三角形中，有一边对应相等，两个三角形全等。 ★特别提示：在三角形全等的判定中，一定有边相等，一定没有AAA和SSA（除非此角为钝角），这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 三角形全等的性质： 1.的相等。 4. 全等三角形的对应边上的中线相等。 2.全等三角形的对应边相等。 5.全等三角形的对应角的相等。 3.全等三角形面积周长相等。 6.全等三角形的对应边上的高对应相等。等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写“”）。 2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的，底边上的高重合（简写“等腰三角形的性质”）。 3、等腰三角形的两底角平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。 4、等腰底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证明）。 7、等腰三角形是（不是等边三角形的情况下），只有一条，顶角平分线所在的是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。 8、等腰三角形的腰大于高。等腰三角形的腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。 初中三角形全等专题倍长中线法 倍长中线法的定义：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造。中线倍长法多用于构造和证明边之间的关系以方

倍长中线法 (1)

全等三角形的类型题常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋 转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所 考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相 等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB A D B C

D C B A E 3、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF ⊥⊥⊥?=∠90ACB BC AC =MN C MN AD ⊥D MN BE ⊥E (1)当直线 MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 角平分线的逆定理 1、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。求证：DE =DF ． 2、如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 3、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B F A E D C B B A C D F 2 1 E A F E D C B A F E D C B A A E B F A E B M C F

倍长中线巧解题汇总

倍长中线巧解题 山东 邹殿敏 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．下面举例说明． 一、证明线段不等 例1 如图1，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ． 分析：延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ． 易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ． 在△ACE AB 二、证明线段相等 例2 如图2，在△ABC 中，AB ＞AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ． 分析：可以把FE 看作△FBC 的一条中线． 延长FE 至点H ，使EH =FE ，连接CH ． 则△CEH ≌△BEF ．所以CH =BF ，∠H =∠1 ． 因为EG //AD ，所以∠1=∠2，∠3=∠G ． 又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G ．所以∠H =∠G ． 由此得CH =CG ．所以BF =CG ． 三、求线段的长 例3 如图3，△ABC 中，∠A =90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE =3，CF =4，试求EF 的长． 分析：可以把ED 看作△EBC 的一条中线． 延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ． 则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ． 因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ． 在Rt △FCG 中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5．

倍长中线法

倍长中线法Prepared on 21 November 2021

全等三角形的类型题常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 “对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变 换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或 “翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延 长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC C A D B C

D C B A E 4、已知，E 是A B 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证： BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE∥DF，BE ＝DF ．求证：△ABE≌△CDF． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 3、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 4、已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 角加减的问题 1、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。求证：（1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF 多个垂直问题 1、已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？ 2、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。 3、在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥ 于E . (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌?BE AD DE +=； C D B F A E D C B B A C D F 2 1 E A F E D C B A F E D B A A E B M C F

全等三角形问题中常见的辅助线倍长中线法

全等三角形问题中常见的辅助线一一倍长 中线法 △ ABC中,AD是BC边中线 方式1 :直接倍长，（图1）:延长AD到E,使DE=AD连接BE 方式2 :间接倍长 1）（图2）作CF丄AD于F,作BE X AD的延长线于E,连接BE 2）（图3）延长MD到N,使DN=MD连接CD 【经典例题】 例1已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3 贝忡线AD的取值范围是___________ . （提示：画出图形，倍长中线AD,利用三角形两边之和大于第三边）例2 :已知在厶ABC中, AB=AC D在AB上, E在AC的延长线上, DE 交BC于F, 且DF=EF. A

例4:已知在厶ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延 长BE交AC于F,求证：AF=EF 求证：BD=CE.（提示：方法 1 :过D作DG/ AE交BC于G 证明△ DGF^A CEF 方法2 :过E作EG// AB交BC的延长线于G,证明A EFG^A DFB 方法3 :过D作DGL BC于G,过E作EH丄BC的延长线于H,证明A BDG^A ECH 例3、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+与EF的大小. B 变式：如图，AD为ABC的中线，DE平分BDA交AB于E, DF平分ADC交AC于 F. A求证: （提示：方法1:在DA上截取DG=BD连结EG FQ 证明A BDE^A GDE A4A DGF所以BE=EG EF CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2: 倍长ED至H,连结CH FH,证明 FH=EF C D C E E CF B

倍长中线法经典例题)

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到 N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M

例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E D A B C F E C A B D A B F D E C

1初中数学《几何辅助线秘籍》中点模型的构造1(倍长中线法;构造中位线法)资料

精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C

倍长中线法经典例题

倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠ ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证： ∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. 3、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 4、已知：如图，?ABC 中，?C=90?，CM ?AB 于M ，AT 平分?BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE A B F D E C

倍长中线法(经典例题)

N 作 BE! AD 的延长线于 倍长中线法 知识网络详解: 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时, 常常采用“倍长中线法”添加辅助线. 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全 等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么 等于什么（延长的那一条），用SAS 证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS 全等三角形模 型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法 倍长中线 △ ABC 中 式1:延长AD 到E, B --------------- ■ ------------- C D AD 是E BC 使 DE=AD 接BE 方式2:间接倍长 A B 延长 MD 到N, C E

连接CN 经典例题讲解： 例〔：△ ABC 中，AB=5 AC=3求中线 AD 的取值范围 例2:已知在△ ABC 中，AB=AC D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F ,且 DF=EF 求证：BD=CE 例3：已知在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE 二 AC 例4:已知：如图，在- ABC 中，AB = AC , D E 在 BC 上 ,且 DE 二EC 过 D 作 DF//BA 交 AE 于 点 F , DF=AC. 例 5：已知 CD=AB Z BDA M BAD AE 是A ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 自检自测: 1、如图，△ ABC 中 , BD=DC=AC,是 DC 的中点，求证，AD 平分/ BAE. 使 DN=M , BE 延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 求证：AE 平分.BAC D E A E C C F A

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全 基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线 思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE 思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN 思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E 1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（） A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19 2．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE． 3．如图，在△AB C 中，AD 为中线，求证：AB+AC＞2AD．

4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围． 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示） （2）AD的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长． 5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF． 6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C． 7-10,换汤不换药(多题一解) 7．如图，D 是△AB C 的BC 边上一点且CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．