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万有引力典型分类例题

一．运用基本公式解决问题

1、关于开普勒第三定律中的公式k T

R =23

，下列说法中正确的是（）

A ．适用于所有天体

B ．适用于围绕地球运行的所有卫星

C ．适用于围绕太阳运行的所有行星

D ．以上说法均错误

2、已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为21

g ，则该处距地面球表面的高度为（） A ．（2—1）R B ．R C ．

2R D ．2 R

3、一个行星，其半径比地球的半径大2倍，质量是地球的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（） A ．6倍 B ．4倍

C ．25/9倍

D ．12倍

4地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，某卫星距离地面的高度也为R ，设卫星做匀速圆周运动，下列说法正确的有（）

A ．卫星的线速度为

2gR B 。卫星的角速度为R g

C ．卫星的加速度为

2g D 。卫星的周期为g

22π

5人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R ，线速度为V ，周期为T 。若要使卫星的周期变为2T ，可以采取的办法是：( )

A 、R 不变，使线速度变为V/2；

B 、V 不变，使轨道半径变为2R ；

C 、使轨道半径变为R 34；

D 、使卫星的高度增加R 。

6.用m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质量、R 0表示地球的半径、g 表示地球表面处的重力加速度、T 0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则：

（1）地球同步通信卫星的环绕速度v 为（）

A.ω0（R 0+h ）

h R GM

C.30ωGM

D. 3

2T GM

π （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F 的大小为（）

A.m

(h R g R + B.m ω2

0（R 0+h ） C.m 3

g R

D.m 3

416T GM π

４.两颗人造地球卫星，质量之比m 1：m 2＝1：2,轨道半径之比R 1:R 2=3:1，下面有关数据之比正确的是（）

A.周期之比T 1:T 2=3:1

B.线速度之比v 1:v 2=3:1

C.向心力之比为F 1:F 2=1:9

D.向心加速度之比a 1:a 2=1:9

５.已知甲、乙两行星的半径之比为a ，它们各自的第一宇宙速度之比为b ，则下列结论不正确的是（）

A.甲、乙两行星的质量之比为b 2

a:1

B.甲、乙两行星表面的重力加速度之比为b 2

:a C.甲、乙两行星各自的卫星的最小周期之比为a:b D.甲、乙两行星各自的卫星的最大角速度之比为b:a

6.两颗人造卫星的质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比R1∶R2＝3∶1．求：

(1)两颗卫星运行的线速度之比； (2)两颗卫星运行的角速度之比； (3)两颗卫星运行的周期之比； (4)两颗卫星运行的向心加速度之比； (5)两颗卫星运行的向心力之比．

7.某一行星有一质量为m 的卫星，以半径r ，周期T 做匀速圆周运动，求：（1）行星的质量；（2）卫星的加速度；

（3）若测得行星的半径恰好是卫星运行半径的1／10,则行星表面的重力加速度是多少？

8.地球和另一个天体的密度之比为3∶2，半径之比为1∶2，地球表面的重力加速度g ＝9.8m/s 2，则这个天体表面的重力加速度是多少？在这个天体上发射卫星的环绕速度是多少？

9. 地球同步卫星到地心的距离r 可由2

223

4π

b a r =求出，已知式中a 的单位是m ，b 的单位是s ，

c 的单位是m/s 2，则：

A ．a 是地球半径，b 是地球自转的周期，C 是地球表面处的重力加速度；

B ．a 是地球半径。b 是同步卫星绕地心运动的周期，

C 是同步卫星的加速度； C ．a 是赤道周长，b 是地球自转周期，C 是同步卫星的加速度

D ．a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是地球表面处的重力

模型二地球同步卫星

三、地球同步卫星

知识点：圆轨道在赤道平面，即在赤道的正上方；周期与地球自转周期相同，为24

小时；绕行方向为自西向东。

同步卫星的特点：定周期，定角速度，定速度，定轨道平面，定高度，定点

离地高度地R h 6.5=, 绕行速度：s km v /1.3= 周期：T=24h

例1. 我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24t ，在某一确定的轨道上运行。下列说法中正确的是（）

A. “亚洲一号”卫星定点在北京正上方的太空，所以我国可以利用它进行电视转播。

B. “亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合。

C. 若要发射一颗质量为2.48t 的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小。

D. 若要发射一颗质量为2.48t 的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道半径一样大。

例2、在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（）

A ．它们的质量可能不同

B ．它们的速度可能不同

C ．它们的向心加速度可能不同

D ．它们离地心的距离可能不同

例3、关于地球同步卫星下列说法正确的是（）.

①地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的

②地球同步卫星的地球的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增

大，高度降低，速度减小

③地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动 ④以上均不正确

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D.②④

例4.关于“亚洲一号”地球同步卫星，下说法正确的是（）

A ．已知该卫星的质量为1.24t ，若它的质量增加到2.48t ，则其同步轨道半径将变为原来的

1。 B ．它的运行速度一定小于7.9km/s 。

C ．它可以经过北京的正上空，所以我国可以利用他进行电视转播。

D ．它距离地面的高度约为地球半径的5.6倍，所以它的向心加速度约为其下方地面上的物体重力加速度的2

.51。

例5、地球半径为R ，距地心高为h 有一颗同步卫星，有另一个半径为3R 的星球，距该星球球心高度为3h 处一颗同步卫星，它的周期为72h ，则该星球平均密度与地球的平均密度的比值为（）

A ．1：9

B ．1：3

C ．9：1

D ．3：1

例5. 地球半径为R ，地面重力加速度为g ，地球自转周期为T ，地球同步卫星高度为h ，则此卫星线速度大小为：( )

A 、h

R g R +2 B 、g h R )(+

C 、T

h R )

(2+π D 、T h R 2)(2+π

例6．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．

(1)求卫星B的运动周期；

(2)若卫星B运行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多少时间，它们再一次相距最近？

模型三发射速度问题

宇宙速度：

①第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km/s．它是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具备的速度．

②第二宇宙速度（脱离速度）V2=11.2km/s ．使物体挣脱地球束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度．

③第三宇宙速度（逃逸速度）V3=16.7km/s ．使物体挣脱太阳的引力束缚的最小发射速度，也称为“逃逸速度”。

1、发射速度：是指被发射物在地面附近离开发射装置时的初速度，并且一旦发射后就再无能量补充，被发射物仅依靠自己的初动能克服地球引力上升一定的高度，进入运动轨道．

①宇宙速度均指发射速度

②第一宇宙速度为在地面发射卫星的最小速度，也是环绕地球运行的最大速度。

2、运行速度：是指卫星进入轨道后绕地球做匀速圆周运动的速度，当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度．

例1 关于第一宇宙速度，下面说法中错误的是

A．它是人造地球卫星绕地飞行的最小速度

B．它是人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度

C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度

D.它是人造地球卫星绕地飞行的最大速度

例2.可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（）

A、与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆

B、与地球表面上某一经度线是共面的同心圆

C、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是运动的

D、与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地面是静止的

3.已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g．不考虑地球自转的影响．

（1）推导第一宇宙速度v的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，飞行n圈，所用时间为t．求地球的平均密度．

4.已知地球质量为M ，引力常量为G ，地球半径为R ．不考虑地球自转的影

响．

（1）推导第一宇宙速度v 的表达式

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ；求卫星运动的周期和速度V1.

模型三、求未知天体的质量与密度

2GM gR =黄金代换：正球体体积公式：R

V 33

4π=，密度公式：V

=ρ

例1、已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T ，月球到地心的距离为r ，试求出地球的质量和密度

例2、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（） A 、地球的质量

B 、太阳的质量

C 、月球的质量

D 、可求月球、地球及太阳的密度

例题3、如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?

例4行星的平均密度是ρ，靠近行星表面的卫星运转周期是T ，试证明：ρT 2是一个常量，

即对任何行星都相同。

gR m 2=地

24GT L m π=太2

24GT L m π=月

模型四、与自由落体、抛体等运动的综合

星球表面的重力加速度一方面与星球有关(g=G?),另一方面又可以从相关运动规律(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。

例3、物体在一行星表面自由落下，第1s内下落了9.8m，若该行星的半径为地球半径的一半，那么它的质量是地球的倍.

例4．设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为k （均不计阻力），且已知地球与该天体的半径之比也为k，则地球与此天体的质量之比为（）

A. 1

B. k

C. k2

D. 1/ k

例5．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为

A．10m B．15m C．90m D．360m

例6 宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地

点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M。

模型五变轨问题

发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，

1如图20所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）

A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2

上经过Q点时的加速度。

D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3

上经过P点时的加速度。

3图20

例4 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道I 进人椭圆轨道II ，B 为轨道II 上的一点，如图所示。关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )

A.在轨道II 上经过A 的速度小于经过B 的速度

B.在轨道II 上经过A 到达B 的过程中速度越来越大

C.在轨道II 上运动的周期小于在轨道I 上运动的周期

D.在轨道II 上经过A 的加速度小于在轨道I 上经过A 的加速度 3.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图20所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）

A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的速度大于它在轨道2

上经过Q 点时的速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的速度等于它在轨道3

上经过P 点时的速度。

模型六双星模型

两个质量相差不多的星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点匀速圆周运动。抓住双星运动的特点，即周期相同是解决问题的关键。还要注意运动半径和双星间的距离的关系：21R R L +=，双星角速度：ωωω==21

处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。

Q 1

3 图20

例1、宇宙中两颗相距较近天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因万有引力的作用吸引到一起.

（1）证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比.

（2）设二者的质量分别为m1和m2，二者相距L，试写出它们角速度的表达式

例2．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同

的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为L ，其运动周期为T ，求两星的总质量。

例3.两颗靠得很近的天体称为双星，它们以两者连线上某点为圆心作匀速圆周运动，这样就不至于由于万有引力而吸引在一起，设两双星质量分别为m和M，M＝3m。两星间距为L，在相互万有引力的作用下，绕它们连线上某点O转动，则它们运动的角速度为多少?

模型七星球瓦解问题

例1、某匀质星球的半径为R,密度为 .组成星球的物质是靠万有引力吸引在一起的,这样的星球有一个最小自转周期T0,如果小于该自转周期,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近物体的圆周运动,而导致星球瓦解.求最小自转周期T0.

例2、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为Ｔ,问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。引力常数Ｇ

模型八南北极差异问题

例1.地球可视为球体，其自转周期为T,在它的两极处用弹簧秤测得某物体的重力为F,在赤道上用弹簧秤测得同一物体的重力为0.9F，则地球的平均密度是多少？

例2.万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在一致性。

（1）用一弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。

a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1/F0的表达式，并就

h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；

b．若在赤道地面称量，弹簧秤的读数为F2，求比值F2/F0的表达式。

（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r，太阳的半径为R S和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？