七年级数学尖子生培优训练[1]

七年级数学尖子生培优训练

第一讲 绝对值 典型例题： 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个

例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

()()()()()()

1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距

离

可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___.

（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

例7．（带入求值问题）设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，

又可表示为0，b

a

，b 的形式，求20062007a b +。

巩固提高：

1、若||||||

0,a b ab ab a b ab

+-

f 则

的值等于 ______ . 2、 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方

3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2， 求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（

A.2a

B.2a -

C.0

D.2b

5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6

6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么

,,

a b b c c a

b c c a a b

------中有几个负数？ 7、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

8、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果

||||||a b b c a c -+-=-，

那么B 点在A 、 C 的什么位置？

9、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且

||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac

=

+++++ 则321ax bx cx +++的值是多少？

10、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

11、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-L 求()f x 的最小值。

12、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

13、如果0abc ≠，求||||||

a b c a b c

++

的值。

第二讲 规律—数与图形 典型例题：

例1 观察下列算式：

,65613,21873,7293,2433,

813,273,93,3387654321========……用你所发现的规律写出20043的末位数

字是__________。

例2、观察下列式子：

326241?==+?；4312252?==+?；5420263?==+?；

6530274?==+?……

请你将猜想得到的式子用含正整数n 的式子表示来__________。 例3、 图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。

①

②

③

……

(1)将下表填写完整

（2）在第n 个图形中有____________________个三角形（用含n 的式子表示）。 例4、观察算式：

(13)2(15)3(17)4(19)5

13,135,1357,13579,,2222

+?+?+?+?+=++=+++++++=L

按规律填空：1+3+5+…+99= ，1+3+5+7+

…+(21)n -= ？

例5、把棱长为a 的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个， 第二层3个……按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是 第100层的正方体的个数是 第n 层的正方体的个数是 例6、将正偶数按下表排成5列

根据上面的规律，则206应在 行 列，

2012应在 行 列.

巩固提高：

1、有一列数1234,,,,n a a a a a L 其中：1a =6×2+1，2a =6×3+2，3a =6×4+3，4a =6×5+4；…

则第n 个数n a = ，当n a =2001时，n = 。

2、观察下列几个算式，找出规律：

1＋2＋1=4 1＋2＋3＋2＋1=9 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16 1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25 ……利用上面规律，请你迅速算出：

①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1= ②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？ ③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n 的计算公式吗？ 3、将1，21-

，31，41-，51，6

1-，…按一定规律排成下表： 试找出1

2006

-在第 行第 个数

4、把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3

个数，这9个数的和是162。

如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。 （1）当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？ （2）当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？ （3）使正方形中9个数的和是2049是否办得到？简单说明理由。

200

199198197196

19528272625242322212019181716151413121110987654321Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

ΛΛΛΛΛ

5、平面内n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？最多将平面分成多少个部分？

6、通过计算探索规律：

152=225可写成100×1×（1+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25

252=625可写成100×2×（2+1）+25 …………

352=1225可写成100×3×（3+1）+25 752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952

151

1411311211111019181716

15

14

13

12

11-------

= 。

第三讲 代数式与方程 典型例题：

例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222的值.

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

例3.（方程与代数式联系）

a 、

b 、

c 、

d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d

c b a -=.

则2121-的值为 ；（2）当

185

)1(4

2=-x 时，x = .

例4．解方程b ax =

例5．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。

例6． 解下列方程523x -=

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线

OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7

（1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．

例9． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在口队伍的 里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人

买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍

转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

例10．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②

当n 为偶数时，结果为k

n 2（其中k 是使k

n 2为奇数的正整数），并且运算重复

进行．例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________． 巩固提高：

1、设a ※b=a(ab+7), 求等式3※x=2※(-8)中的x

2、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.

3、已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.

4、A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

5、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？

6、若关于x 的方程2236

kx m x nk

+-=+，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。

7、解方程

200612233420062007x x x x ++++=????L

26

13

44

11

第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …

8、三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc

ac ac ab ab c c b b a a x +

++++=，求 123+++cx bx ax 的值。

9、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？

10、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？

第四讲 线段和角

典型例题：

例1、下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）

例2、由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）

A 、AP=2

1AB B 、AB ＝2PB C 、AP ＝PB D 、AP ＝PB=21

AB

例3、将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围____ __ 。

例4、已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．

例5、同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，

你能解

A B C

D

决很多关于闹钟有趣的问题：

（1）三点整时时针与分针所夹的角是度

． （2）7点25分时针与分针所夹的角是度 ．

（3）一昼夜（0点到24点）时针与分针互相垂直的次数有多少？

例6、α为锐角，β为钝角，甲、乙、丙、丁四人在计计算()βα+6

1

时结果依次

为10°，23°，46°，51°，其中只有一个是正确的，你知道四人中谁的结果正确吗？

例7、我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画无数条直线． 若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 ；

若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ； 若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ． 例8、如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ． （1）求∠MON 的度数；

（2）如果（1）中∠AOB=α，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON 的度数； （3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？

巩固提高：

1、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒

置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）

A ．

b a a + B ．b a b + C ．h a b + D ．h

a h

+

2、已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，

则∠A OC =____________度

不考虑瓶子的厚度.

D C

B A F

E

D

C

B A

3、若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2

1

；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．

其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4、如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）

A 2（a-b ）

B 2a-b

C a+b

D a-b

5、已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ） A.12

（∠1＋∠2） B.12

∠1 C.12

（∠1－∠2） D.12

∠2

6、在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？

7、已知∠1=71°28′36″，∠1的两边和∠2的两边互相垂直，那么∠2= 。

8、已知，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC ． （1）如图1，若∠AOC=30°，求∠DOE 的度数；

（2）在图1中，若∠AOC=a ，直接写出∠DOE 的度数（用含a 的代数式表示）； （3）将图1中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置．

①探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：∠AOC-4∠AOF=2∠BOE+∠AOF ， 试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由．

第五讲 相交线与平行线 典型例题：

例1．下列说法正确的有( )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;

④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个

D.4个

例2．如图所示,下列说法不正确的是( ) A.点B 到AC 的垂线段是线段AB; B.点C 到AB 的垂线段是线段AC C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段; D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 例3.一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，

这两次拐弯的角度可能是（ ）

A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°

B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°

C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°

D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°

例 4.如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理

A

D

B

M

C

N

G F E

D C B A 12x z

y A B

C

F D E 学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？

例5.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有个，它们的度数之和是．

例6.如图是山西省某古宅大院窗棂图案：图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么，这种窗户的透光率（即空格面积与全部面积之比）是多少？

例7.如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少？

例8.如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。

巩固提高： 1．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG?平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______. 2.下列说法正确的有( )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;

②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;

④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

A B

1 E

F 2 C

P

D

l 3

l 2l 1 O

3

4

l 3

l 2l 1

1

2

3．光线a 照射到平面镜CD 上，然后在平面镜AB 和CD 之

间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°， ∠3=75°，则∠2= （ ）

A ．50°

B ．55°

C ．66°

D ．65° 4.如图，把长方形纸片沿EF 折叠，使D ，C 分别落在D '，C '的位置，若65EFB =o ∠， 则AED '∠等于（ ）Ａ．50o Ｂ．55o Ｃ．60o Ｄ．65o

5．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？

6. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.

7.已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012ο， 求证：∠=∠E F

8.已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2 求证：CD ⊥AB

9.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.

(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被

b 反射出的光线n 与光线m 平行,

且∠1=50°,则∠2= °，∠3= °.

(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °. (3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以 使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光 线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗?

3

2

1

n

m

b

a

D

E C B

A

E D

C B

A

第六讲 平面直角坐标系

典型例题：

例1、如果点M （1-x ，1-y ） 在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第 象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。 例2、已知点P （x, x ），则点P 一定 （ ）

A ．在第一象限

B ．在第一或第四象限

C ．在x 轴上方

D ．不在x 轴下方 例3、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C

的坐标为（ ） A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 例4、在平面直角坐标系上点A （n,1-n ）一定不在 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

例5、M 的坐标为（3k-2，2k-3）在第四象限，那么k 的取值范围是 。 例６、已知点A （－３，２）AB ∥ｏｘ．AB ＝７，那么B 点的坐标为 。 例７、如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次跳动至点 A 1

（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A 4

（3，2），…，依此规律跳 动下去，点A 第100次跳动至点A 100

的坐标是 ．

例８、如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转２０１２次，点P 依次落在点P 1，P 2，

P 3…P ２０１２的位置，则点的坐标为

．

例９、在平面直角坐标系中，A 点坐标为(34)，，△AB Ｏ、面积为６， 那么点Ｂ坐标为 ．

例１０、实验与探究：

(1) 由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称 点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明 B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l 的对称点

B '、

C '的位置，并写出他们的坐标: B ' 、 C ；

(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现： 坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的 角平分线l 的对称点P '的坐标为

(3) 已知两点D(1,-3)、E(-3,-4)，试在直线l 上 确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和

最小，并求出Q 巩固提高： １、点Ａ（２，３）到x 轴的距离为 ；点Ｂ（-４，０）到y 轴的距离为 ；点C 到x 轴的距离为1，

到y 轴的距离为3，且在第三象限，则C 点坐标是 。 ２、已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

３、已知长方形ABCD 中，AB=5，BC=8，并且AB ∥x 轴，若点A 的坐标为（－2，4），则点C 的坐

标为__ ___。

４、三角形ABC 三个顶点的坐标分别是A （-３，-1），B （1，２），C （-1，－２），三角形AB Ｃ的面积为 ． ５、点P （ｘ-1，ｘ＋３），那么点P 不可能在第 象限。

６、在平面直角坐标系中，点P （２，２）点Ｑ在ｙ轴上，△ＰＯＱ为等腰三角形，那么符

4 5 6 -4 -5 -6 -4 -5 -6

5 6

7 x

y

l

B

E

1 2 3 -1 -2 -3 -1

-2

-3 1

2 3 4 O A

A '

D '

'

C

合条件的Ｑ点有（）。

A．５个 B．４个 C．３个 D．２个

７、．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC 平移平移后三个顶点

的坐标可能是（）

A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（-2，2），（4，3），（1，7）

C．（-2，2），（3，4），（1，7） D．（2，-2），（3，3），（1，7）

８、如图，将边长为1的正方形OAPB沿z轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，

P 2，P

3

，P

4

，…，

P

2006

的位置，则P2006的横坐标x2006=．

９、如图为风筝的图案．

（1）若原点用字母O表示，写出图中点A，B，C的坐标．（2）试求（1）中风筝所覆盖的平面的面积．

１０、点A（0，1），点B（0，-4）,点C在x轴上，如果三角形ABC的面积为15，

(1)求点C的坐标.

(2)若点C不在x轴上，那么点c的坐标需满足什么样的条件（画图并说明）

１１、我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任

意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为?

?

?

?

?+

+

2

,

2

2

1

2

1

y

y

x

x

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A 的坐标为；

（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P3、P8的坐标分别为、．

拓展延伸：

O

y

F

E

D

C

B

A

x

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

第七讲三角形

典型例题：

例1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

例2．用12根等长火柴棒拼成一个三角形，不允许剩余，重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数有 .

例3．下列结论不正确的是( )

A、三角形的三条高都在三角形的内部。

B、三角形的三条角平分线一定都在三角形的内部。

C、三角形的三条中线一定都在三角形的内部。

D、直角三角形的一条高在三角形的内部，另两条高是直角三角形的两直角边。

例4．直角三角形的两个锐角平分线所夹的角是 .

例5．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°，则n等于 .

例6．多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有

条 .

例7．现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 .

例8．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有个 .

（8）（9）（10）

（11）

例9．如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

例10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F。

例11．如图，△BEF的内角∠EBF平分线BD与外角∠AEF的平分线交于点D，过D作DH∥BC 分别交EF、EB于G、H两点．下列结论：①S△EBD：S△FBD=BE：BF；②∠EFD=∠CFD；③HD=HF；

④BH-GF=HG，其中正确结论的个数有

例12．已知等腰三角形的周长是16cm．

（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；

（2）若其中一边长为6cm ，求另外两边长； （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．

例13．如图，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 、CF 相交于点G ，∠BDC=140°，∠BGC=110°。

求∠A 的度数。

巩固提高：

1

、三角形中最大的内角不能小于 ，两个外角的和必大于 。

2、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4

，则与之对应的三个内角的度数的比为 。

3、已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|= ．

4、一条线段的长为a ，若要使3a —l ，4a+1，12－a 这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________．

5、如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________．

6、已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为__________．

7、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1

，h 2

，h 3

，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题： （1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3

=0，问h 1

、h 2

与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

（2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1

、h 2

、h 3

与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由；

（3）若点P 在△ABC 外（图3），此时h 1

、h 2

、h 3

与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由

E

G

B

D

C

F

8、已知：如图，∠B=34°，∠D=40°，AM ，CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ． （1）求∠M 的大小．

（2）当∠B ，∠D 为任意角时，探索∠M 与∠B ，∠D 间的数量关系，并对你的结论加以证明．

9、直角三角形纸片ABC 中，∠ACB=90°，AC≤BC ，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC 上，记落点为D ，设折痕与AB 、AC 边分别交于点E 、点F ．探究：如果折叠后的△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

第八讲 方程组与不等式

典型例题：

例1.下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） Ａ．123x y =??+=?，． Ｂ．10x y x y +=??-=?，． Ｃ．10x y xy +=??=?，．Ｄ．21y x x y =??-=?，．

例2.已知方程组???=+=-9.30531332b a b a 的解是???==2.13.8b a ，则方程组()()()()???=-++=--+9

.301523131322y x y x 的

解是

例3.下列判断不正确的是（ ）

A ．若0>ab ，0

B ．若0>>b a ，则

b

a 1

1<

C ．若0>a ，0

0<-b

b

a D ．若

b a <，则b a 11>

例4.若不等式组841

x x x m

+<-??

≥?的解是x>3，则m 的取值范围是 .

例5.若方程组???=+-+=+31

24y x k y x 的解满足条件0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是 .

例6.关于x 的不等式组23(3)1

324

x x x x a <-+??

?+>+?? 有四个整数解，则a 的取值范围是 .

例7.若方程组 的解为x 、y ，且2

例8.a 取哪些正整数值，方程组???=--=+a

y x a

y x 24352的解x 和y 都是正整数？

例9.若不等式??

?>-<-3

21

2b x a x 的解集为-1＜x ＜1，求（a+1）（b-1）的值。

例10.某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？ 原料名称 饮料名称

甲 乙 A 20克 40克 B -x 2

30克

20克

巩固提高：

1、a 取何值时，方程组?

?

?+=+-=+25435a y x a

y x 的解互为相反数，并求出方程组的解．

2、已知y x >且0- B ． y a x a 2

2

> C ．a y a x +-<+- D ．y x ->

3、若不等式（a-2）x ＞b 的解集是x ＞

a

b

-2，则a 的范围是（ ） A 、a ≥2 B 、a ≤2 C 、a ＞2 D 、a ＜2

4、已知x 、y 满足()2

2210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围.

5、已知方程组?

??-=-=+251

3n ny x ny mx 有相同的解，则m= ，n= ．

6、试确定实数a 的取值范围，使不等式组10,

23

544(1)33x x a x x a +?+>??+?+>++?

恰有两个整数解．

7、某商场为了促销，开展对顾客赠送礼品活动，准备了若干件礼品送给顾客．如果每人送

5件，则还余8件；如果每人送7件，则最后一人还不足3件．设该商场准备了m 件礼品，有x 名顾客获赠．请回答下列问题： （1）用含x 的式子表示m ；

（2）求出该次活动中获赠顾客人数及所准备的礼品数． 8、已知方程组

?

?

?+=---=+m y x m

y x 317的解满足x 为非正数，ｙ为负数. （1）求ｍ的取值范围；（2）化简：∣m －3∣－∣m ＋2∣；

（3）在ｍ的取值范围内，当ｍ为何整数时，不等式2m x ＋x ＜2m ＋1的解为x ＞1。

9、在汶川大地震之后，全国各地区都有不少热心人参与抗震救灾行动中去，家住成都的小李也参加了，他要在规定的时间内由成都赶往绵阳地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达绵阳地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达．

10、我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：

（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关

系式；

（2）如果装运每种脐橙的车辆数都

不少于4辆，那么车辆的安排方案有

几种？并写出每种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应

采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．

11、我市某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品共80件，生产一件A 产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克；生产一件B 种产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，该化工厂现有的原料能否保证生产顺利进行？若能的话，有几种方案？请你设计出来。

脐 橙 品 种 A B C

每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10