圆锥曲线经典题型
一.选择题(共10小题)
1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离
心率的范围是()
A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()
A.B.C. D.
3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()
A.B. C.D.
4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.
5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此
双曲线的离心率的取值范围是()
A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)
6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()
A.B.C.D.2
7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的
左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x
8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心
率的取值范围是()
A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)
9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()
A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()
A.B.C.D.
二.填空题(共2小题)
11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是.
12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.
三.解答题(共4小题)
13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的
直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.
14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦
点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.
15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一
点到其右焦点的最小距离为﹣1.
(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;
(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.
一.选择题(共10小题)
1.直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离
心率的范围是()
A.(1,)B.(,+∞) C.(1,+∞)D.(1,)∪(,+∞)【解答】解:∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1(b>0)有两个不同的交点,∴1>b>0或b>1.
∴e==>1且e≠.
故选:D.
2.已知M(x0,y0)是双曲线C:=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点,若<0,则y0的取值范围是()
A.B.C. D.
【解答】解:由题意,=(﹣﹣x0,﹣y0)(﹣x0,﹣y0)=x02﹣3+y02=3y02
﹣1<0,
所以﹣<y0<.
故选:A.
3.设F1,F2分别是双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使得,其中O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为()
A.B. C.D.
【解答】解:取PF2的中点A,则
∵,
∴⊥
∵O是F1F2的中点
∴OA∥PF1,
∴PF1⊥PF2,
∵|PF1|=3|PF2|,
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|,
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴10a2=4c2,
∴e=
故选C.
4.过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F作直线y=﹣x的垂线,垂足为A,交双曲线左支于B点,若=2,则该双曲线的离心率为()A.B.2 C.D.
【解答】解:设F(c,0),则直线AB的方程为y=(x﹣c)代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A(,﹣),
由=2,可得B(﹣,﹣),
把B点坐标代入双曲线方程﹣=1,
即=1,整理可得c=a,
即离心率e==.
故选:C.
5.若双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=2相交,则此
双曲线的离心率的取值范围是()
A.(2,+∞)B.(1,2) C.(1,)D.(,+∞)
【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆(x﹣2)2+y2=2相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径,即
∴b2<a2,
∴c2=a2+b2<2a2,
∴e=<
∵e>1
∴1<e<
故选C.
6.已知双曲线C:的右焦点为F,以F为圆心和双曲线
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()
A.B.C.D.2
【解答】解:设F(c,0),渐近线方程为y=x,
可得F到渐近线的距离为=b,
即有圆F的半径为b,
令x=c,可得y=±b=±,
由题意可得=b,
即a=b,c==a,
即离心率e==,
故选C.
7.设点P是双曲线=1(a>0,b>0)上的一点,F1、F2分别是双曲线的
左、右焦点,已知PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线的一条渐近线方程是()A.B.C.y=2x D.y=4x
【解答】解:由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
得|PF2|=2a,|PF1|=4a;
在RT△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
∴4c2=16a2+4a2,即c2=5a2,
则b2=4a2.即b=2a,
双曲线=1一条渐近线方程:y=2x;
故选:C.
8.已知双曲线的渐近线与圆x2+(y﹣2)2=1相交,则该双曲线的离心
率的取值范围是()
A.(,+∞) B.(1,)C.(2.+∞)D.(1,2)
【解答】解:∵双曲线渐近线为bx±ay=0,与圆x2+(y﹣2)2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径,即<1
∴3a2<b2,
∴c2=a2+b2>4a2,
∴e=>2
故选:C.
9.如果双曲线经过点P(2,),且它的一条渐近线方程为y=x,那么该双曲线的方程是()
A.x2﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1
【解答】解:由双曲线的一条渐近线方程为y=x,
可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ(λ≠0),
代入点P(2,),可得
λ=4﹣2=2,
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2,
即为﹣=1.
故选:B.
10.已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()
A.B.C.D.
【解答】解:由双曲线C:x2﹣=1的右焦点F(2,0),
PF与x轴垂直,设(2,y),y>0,则y=3,
则P(2,3),
∴AP⊥PF,则丨AP丨=1,丨PF丨=3,
∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=,
同理当y<0时,则△APF的面积S=,
故选D.
二.填空题(共2小题)
11.过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点,若|PQ|=8,
F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是20.
【解答】解:
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8
∵双曲线x2﹣=1的通径为==8
∵PQ=8
∴PQ是双曲线的通径
∴PQ⊥F1F2,且PF1=QF1=PQ=4
∵由题意,|PF2|﹣|PF1|=2,|QF2|﹣|QF1|=2
∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12
∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20,
故答案为20.
12.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为.
【解答】解:取PF2的中点A,则
∵,
∴2=0,
∴,
∵OA是△PF1F2的中位线,
∴PF1⊥PF2,OA=PF1.
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a,
∵|PF1|=|PF2|,
∴|PF2|=,|PF1|=.
△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2,
∴()2+()2=4c2,
∴e=.
故答案为:.
三.解答题(共4小题)
13.已知点F1、F2为双曲线C:x2﹣=1的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的
直线,在x轴上方交双曲线C于点M,∠MF1F2=30°.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P1、P2,求的值.
【解答】解:(1)设F2,M的坐标分别为,
因为点M在双曲线C上,所以,即,所以,
在Rt△MF2F1中,∠MF1F2=30°,,所以…(3分)
由双曲线的定义可知:
故双曲线C的方程为:…(6分)
(2)由条件可知:两条渐近线分别为…(8分)设双曲线C上的点Q(x0,y0),设两渐近线的夹角为θ,
则点Q到两条渐近线的距离分别为
,…(11分)
因为Q(x0,y0)在双曲线C:上,
所以,又cosθ=,
所以=﹣…(14分)
14.已知曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)和曲线C2:+=1有相同的焦
点,曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设点A是曲线C1的右支上一点,F为右焦点,连AF交曲线C1的右支于点B,作BC垂直于定直线l:x=,垂足为C,求证:直线AC恒过x轴上一定点.【解答】(Ⅰ)解:由题知:a2+b2=2,曲线C2的离心率为…(2分)
∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍,
∴=即a2=b2,…(3分)
∴a=b=1,∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1;…(4分)(Ⅱ)证明:由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为:x=ny+…(5分)
与双曲线方程x2﹣y2=1联立,可得(n2﹣1)y2+2ny+1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣,y1y2=,…(7分)
由题可设点C(,y2),
由点斜式得直线AC的方程:y﹣y2=(x﹣)…(9分)令y=0,可得x===…(11分)
∴直线AC过定点(,0).…(12分)
15.已知双曲线Γ:的离心率e=,双曲线Γ上任意一
点到其右焦点的最小距离为﹣1.
(Ⅰ)求双曲线Γ的方程;
(Ⅱ)过点P(1,1)是否存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,且点P是线段RT的中点若直线l存在,请求直线l的方程;若不存在,说明理由.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得e==,
当P为右顶点时,可得PF取得最小值,
即有c﹣a=﹣1,
解得a=1,c=,b==,
可得双曲线的方程为x2﹣=1;
(Ⅱ)过点P(1,1)假设存在直线l,使直线l与双曲线Γ交于R、T两点,
且点P是线段RT的中点.
设R(x1,y1),T(x2,y2),可得x12﹣=1,x22﹣=1,
两式相减可得(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2),
由中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=2,
可得直线l的斜率为k===2,
即有直线l的方程为y﹣1=2(x﹣1),即为y=2x﹣1,
代入双曲线的方程,可得2x2﹣4x+3=0,
由判别式为16﹣4×2×3=﹣8<0,
可得二次方程无实数解.
故这样的直线l不存在.
16.已知双曲线C:的离心率e=,且b=.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若P为双曲线C上一点,双曲线C的左右焦点分别为E、F,且=0,求△PEF的面积.
【解答】解:(Ⅰ)∵C:的离心率e=,且b=,
∴=,且b=,
∴a=1,c=
∴双曲线C的方程;
(Ⅱ)令|PE|=p,|PF|=q
由双曲线定义:|p﹣q|=2a=2
平方得:p2﹣2pq+q2=4
=0,∠EPF=90°,由勾股定理得:p2+q2=|EF|2=12
所以pq=4
即S=|PE||PF|=2.