材料力学压杆稳定分析
第九章压杆稳定
9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？
答：F t=124kN, F c=350.2kN
F
题 9 - 1 图解：当F的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F
294
2
2
200100.04
124 ()
124
cr
t cr
EI
F kN
l
F F kN
π
π
π
μ
????
===∴==
当F
为压力时，长为a的杆受压
由静力学平衡方程可知该杆所受压力为
2
F
294
2
22
200100.04
64248 ()(11)
248
2
350.7
cr
c
c
EI
F kN
l
F kN
F kN
π
π
π
μ
????
===
?
=
∴=
9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。
答：（d）
解：0.5
μ=
a
0.7
μ=
b
0.7
μ=
c
2
μ=
d
2
2
()
π
μ
μμμμ
=
>=>
cr
d c b a
EI
F
l
crd F ∴最小
∴d 杆最容易失稳
9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr
=19.7kN
题 9 - 3 图
30X
30X 4
解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ
=
22
()cr EI F l πμ=
查表可知：
8408
4
0 2.92100.7710x y I m I m
--=?=?
因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I
I m -==?
298
2
210100.771019.7(20.45)cr
F kN π-????∴=
=?
9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？
F
题 9 - 4 图
答：最易失稳方向即惯性矩最小方向，也即形心主惯性轴方向
对于圆来说，各个方向的的惯性矩都相同，所以各个方向失稳容易程度相同 对于正方形： 对于长方形：
对于等边三角形： 对于等腰三角形：
对于工字钢： 不等边角钢： 等边角钢：
9-5 在图示结构中，AB 为圆截面杆，直径d =80mm, BC 杆为长方形截面，边长为60mm ×40mm ，两杆材料均为钢材，它们可以各自独立发生弯曲而互不影响。已知：5
210MPa, 200MPa p E σ=?=，A
端为固定，B、C为球铰，稳定安全系数k=2.5。试求此结构的许用载荷[P]。
答：[P]=160kN
4
解：AB、BC段的柔度分别为：
BC
AB
max AB
2211
cr22
max
1 1.2
104
0.04
0.7 4.5
157.5
0.02
157.5
E210
79.8MPa
157.5
?
λ==
?
λ==
∴λ=λ=
ππ??
∴σ===
λ
[]
[][]2
79.8
31.92
2.5
0.08160
4
σ
σ===
π
=σ??=
cr MPa
k
P kN
9-6图示铝合金桁架承受一集中荷载F，已知两杆的横截面均为50mm×50mm，材料的E=70GPa, 假设失稳只能发生在桁架的平面内，试用欧拉公式确定引起失稳的F值。
解：由图知，AE、EC为二力杆，AEC
∠为90°，
3
cos
5
α=，
4
sin
5
α=；
故
1
cos0.6
F F F
α
==，
2
sin0.8
F F F
α
==,由欧拉公式可知，AE、CE杆的临界荷载分别为：2
12
1
EI
F
l
π
=，
2
22
2
EI
F
l
π
=，代入上式得：
题 9 - 6 图
2
2
1
0.6
EI
F
l
π
=①
2
2
2
0.8
EI
F
l
π
=②
由①得：
4
29
2
22
1
0.05
3.147010
12149.8kN
0.60.62
π???
===
?
EI
F
l
；
由②得：
4
29
2
22
2
0.05
3.147010
12199.7kN
0.80.8 1.5
π???
===
?
EI
F
l
；
所以失稳的149.8kN
F=。
9-7图示托架承受均布荷载q，撑杆AB为细长杆，其两端铰支，试求q达到何值时，杆AB处于临界状态。
答：q=
2
3
24
EI
a
π
q
题 9 - 7 图
a
2a
解：由欧拉公式可知AB杆的临界荷载为：
222
22
2
3
4
()16
)
cr
EI EI EI
F
l a
a
πππ
μ
===
取梁为研究对象，对梁端取矩，即
2
1
2cos60(3)0
2
9
2
=?-=
=
得
O
M aF q a
F qa
2223
3916224ππ===
由得即cr
F F EI qa a EI q a
9-8 两根矩形截面柱，横截面尺寸为a ×b ，用来承受一重的刚性板，柱脚埋置在混凝土中，已知两柱间的距离为2a ，试求最合适的截面边长比a /b ，其长方向应沿图示哪个方向？
答：
=a b b 沿x 方向。
题 9 - 8 图
x
解:当立柱在oxz 平面内失稳时:
3
y 23
12
1I ab 21221E b a 212F (2l)=
?μ=π?
?∴=
cr
当立柱在oyz 平面内失稳时:
323
23
22
113(2=b 126
1
136(1)μπ=+??=?
∴=
?）x cr I a b ab a a E ba F l 当1
2cr cr F F =时设计最合理
2323
22113
66(2)ππ??=?=
E a b
E ab l l a b
9-9 图示结构中AB 为刚性杆，CD 及EF 均为细长杆，抗弯刚度均为EI 。因变形微小，故可认为压杆受力到达F cr 后，其承载能力不能再提高，试求结构所受荷载F 的极限值F max 。
答：2max
2
34EI
F L π=
B
解:以A 为矩心240A CD EF M F a F a F a =?+?-?=
当EF 、CD 都达到临界力时，结构才失稳
此时
2CD EF cr 2
22max
22
EI
F F F L EI 3a 3EI F L 4a 4L πππ===
?∴==?
9-10图示结构中，AB 和BC 皆为圆截面钢杆，直径d =80mm, 材料的容许应力[
σ]=160MPa ，试求结构的容许竖向荷载[F ]。
答：
[F ]＝
581kN.
题 9 - 10 图
解:由已知可得，圆截面杆的截面积：
232
5.03104
0.024
12
100=0.638
0.02
173.2=0.361π
μλ?μλ?-=
=?=
=?======惯性半径：杆的柔度：，查表得AB 杆折减系数，查表得BC 杆折减系数，
AB AB BC BC A d m d
i m l i l i
又由B 点的平衡可知：
[
][][]AB AB
AB 63BC BC BC 63F 2AB A
F 0.63816010 5.0310593kN 1F F 2
1F 2BC A
F 0.36116010 5.03102581kN F 581kN
σ?σσ?σ--=
=≤≤????==
=≤≤?????=∴=杆应力：杆应力：
9-11图a 所示为四根∠45×5等边角钢组成的等截面电杆塔，图b 为其计算简图。若顶端受压力F =154kN ，材料为Q235钢，b 类截面，其[σ]=150MPa 。试求四根角钢间的最小距离b （图c ）。又若每段角钢的两端可简化为球铰，试求每段节间最大距离a 。
答：b =513mm, a =822mm
F
( a )
( b )
( c )
题 9 - 11 图
解：（1）查型钢表得：每根等边角钢面积421
A 4.29210m -=? 848.0410-=?x I m
34
1F 1541089.7MPa 4A 4 4.29210
σ-?===?? []
0.598σ
?
σ=
= 查表得93.43λ= 2120.257μλ?=
=
=即：l
i i i m