2009级文科专业《微积分》(上)答案(A 卷)
一、计算下列极限:(每题5分,共25分)
1.()233220
0001
1arctan arctan 111lim
lim lim lim ln(1)33
31x x x x x x x x
x x x
x x →→→→-
--+====++。 2.2
2001
ln(1)lim
lim
221cos 1cos /2
lim(1)
x x x x x
x x
x x e e e →→+--→+===。
3. 22000011tan tan sec 1lim lim lim lim tan tan 2x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---??-=== ??
? 22000tan lim
lim lim 0222x x x x x x
x
x →→→====。 4.若0x →时
1sin x x 与是等价无穷小,求常数k 的值.
解:由于0x →
2
12
k x
与2sin x x x ,故2k =。 5. 设sin 2
sin ,0,()3,0,1,0sin x bx x x x x f x x a x x
?+??==??-?>??在0x =处连续,求,a b 的值.
解:由左连续与右连续分别得
00sin 23lim ()lim sin x x bx
f x x b x x --→→??==+= ???
, 0000113lim ()lim lim lim ln ln sin x x x x x x x a a f x a a a x x
++++→→→→--=====,
所以得3
a e =及3
b =。
二、导数与微分:(每题5分,共25分)
1. 设
sin ,x y x =求 2
.x dy π=
解:两边去对数得 ln sin ln y x x =,再求导得
1cos ln sin y x x x y x '=+,整理后得 sin 1cos ln sin x y x x x x x ??'=+ ???。 当2x π
=时有 sin
2
2cos ln sin 12222y ππππππ???
?'=+= ?
???
??
,所以2x dy dx π==。
2.求由方程y x xy e e +=所确定的曲线()y y x =在0x =处的切线方程.
解:易知0x =时有0y =。求导得 y x y xy e y e ''++=,将0x y ==代入则有01x y ='=,所以切线方程为 y x =。 3.利用微分近似计算,求
.
解:令()y f x =
()f x '=
取08x =,0.024x ?=
,则有0.0240.002y dy y dx '?=≈==
=,
所以
2.002≈。
4.设2
2
10,sin ,()ln(1)0
x x x f x x x ??
=??
?+≥? 求 ().f x '
解:()0
0()(0)1
0lim lim sin 0x x f x f f x x x
-
-
-→→-'===, ()22000()(0)ln(1)0lim lim lim 0x x x f x f x x f x x x
+++
+→→→-+'====, 所以2112sin cos 0
()00201x x x x f x x x x x ?-?
'==?
??
<+?
,即2112sin cos 0
()20
1x x x x
f x x x x ?
-?'=?
?
≥?+?
。
5. 求曲线52
3
5()33
f x x x =+
的拐点. 解:求导得 23
10()5
3f x x x '=+ 与 13101010()1333f x x -?''=+= ?。 显然,当0x =时()f x ''不存在;当1x =-时()0f x ''=,所以0x =与1x =-是潜在拐点。下面考察函数凹凸性的变化,不难看出
所以,(0,0)与41,3?
?-- ???
均为曲线的拐点。
三、计算不定积分:(每题6分,共24分)
1.2
1sin 2(sin cos )(sin cos )sin cos sin cos sin cos x x x dx dx x x dx x x C x x x x
++==+=-+++?
??。 2.
22
222
arctan arctan 11ln(1)arctan 11122
x x xdx x dx dx x x C x x x +=+=++++++???。 3.
2
:令sin x t =,2
2
x π
π
-
<<
,则
2
2
1cos 2111
sin sin 2arcsin 22422
x t xdx dx t C x C -===-+=-??
。
4.22
2
2
2222ln(1)ln(1)ln(1)211x dx x dx x x x x dx x x ??+=+-=+-- ?++??
??? 2
ln(1)22arctan x x x x C =+-++。
四、计算下列各题:(每小题8分,共16分)
1. 设某商品的价格P 与需求量Q 的关系为2
80P Q -=,
(1) 求4=P 时的需求弹性,并说明其经济意义.
(2)求当价格P 为何值时,总收益R 最大?并求出此时的需求价格弹性d E .
解:(1)2
2
280d P P E Q Q P
'=-=-,故4
32
0.58016
d
P E ==
=-,这说明当价格4=P 时,若
价格上涨(下跌)1%,则需求量近似减少(增加)0.5%。
(2)我们知道1d E =时,总收益R 最大。由2
2
280P P =-解得P ==
以当价格P =
2. 设()F x 为()f x 的原函数,且()
f x =
,已知2(1),F e π
=()0,F x >求().f x
解:因为()0F x >,所以给定条件等价于
()
()f x F x =x 求积分,则
ln ()F x C =,从而()F x Ce =0C >)
。将/2(1)F e π=代入可得
1C =,所以 ()F x e = ()()
f x F x '==
五、证明题:(每小题5分,共10分)
1. 当0x >时, 证明:(1)ln(1)arctan .x x x ++>.
证明:令 ()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-,则 22
()ln(1)1x f x x x
'=+++,当0x ≥时显然有 ()0f x '≥,并且只有在0x =时才有()0f x '=,所以()f x 在0x ≥时为增函数。故当0x >时有()(0)0f x f >=,也就是说当0x >时, (1)ln(1)arctan x x x ++>。
2. 设)(x f '连续且()
lim
8x a
f x x a
→'=-,试证明a x =是)(x f 的极小值点。 证明:由()
lim
8x a f x x a
→'=-知lim ()0x a f x →'=。又)(x f '连续,所以()0f a '=。根据定义有
()()()
()lim lim 80x a x a f x f a f x f a x a x a
→→'''-''===>--,由第二充分条件即可知a x =是)(x f 的
极小值点。
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0定积分及微积分基本定理练习题及答案