(完整word版)高中数学二项式定理练习题.doc
选修 2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )
A ．2n
B ．2n ＋1
C ．2n － 1
D ．2(n ＋1)
2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 (
)
A ．C r
r ＋
1
n
B ．
C n
r －
1
D ．(－ 1) r －
1 r －
1
C ．C n C n
．在 － 10 的展开式中， x 6
的系数是 ( )
3 (x 3)
6
4
A ．－ 27C 10
B ．27
C 10
6 4
C ．－ 9C 10
D ．9C 10
4．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2
x)3
(1－ 3
x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )
A ．－ 4
B ．－ 2
C ．2
D ．4
5．在 2x 3
＋ 1
2 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则
n 的最小值是 ( )
x (n N )
A ．3
B ．5
C ．8
D ．10
．在 － 3 ＋ x) 10
的展开式中 x 5
的系数是 ( )
6 (1 x )(1 A ．－ 29
7 B ．－ 252
C ．297
D ．207
7．(2009 北·京 )在 x 2
－1 n
的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是
x
(
)
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
a 5
3
的系数为 10，则实数 a 等于
8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x (
)
1
9．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是
()
1
1 1 1
A.12＜ x ＜ 5
B.6＜x ＜5
1 2
1 2
C.12＜ x ＜ 3
D.6＜x ＜5
．在
3
1
20
的展开式中，系数是有理数的项共有 (
)
10
2x － 2
A ．4 项
B ．5 项
C ．6 项
D ．7 项
二、填空题
． ＋ ＋ 2
·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1
． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3
的系数为 ________． 12 (1 x) (1
2 ＋ 1 6
3 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．
13 ax 2
． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2
－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (2010
13)(1
x x )(x
x
)
三、解答题
15．求二项式 (a ＋2b)4
的展开式．
16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．
17．已知在 (3
x －
1
)n 的展开式中，第 6 项为常数项．
3
(1)求 n ；
(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
1
18．若
x ＋
4
n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x
大的项．
1.[答案 ]
B
2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D
[ 解析 ]
r 10－ r
(－ 3) r
.令 10－r ＝ 6，
∵ T r ＋1 ＝C 10x
解得 r ＝ 4.∴系数为 (－
4
4
4
3) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C
[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5
＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－
3
x)5，
故(1＋ 2 3
3 5 3 (－ 3 3 0
＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.
5[答案 ] B
r3 n － r
1 r
n － r
r 3n － 5r
[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2
) ＝ 2
·C n x .
令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .
∴n 的最小值为 5.
6[答案 ] D
[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.
10
10
7[答案 ] D
[ 解析 ] r2 n － r
1 r
r r 2n －3r
r
通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x
，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6
时， r ＝4 合题意，故选 D.
8[答案 ] D [ 解析 ]
r r a 5－ r
r 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，
C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x
4
由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.
9[答案 ]
A
T 2>T 1
1
[ 解析 ] 由
C 62x>1
∴
1
＜ x ＜1.
T 2>T 3 得 1 2 2
C 62x>C 6(2x) 12
5
10[ 答案 ]
A
r
3
20－ r
－ 1 r 2 r
3
20－ r r20－r
[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2
·( 2) C 20·x ，
∵系数为有理数，
20－ r
∴
( 2)r
与 2 3 均为有理数，
∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，
故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.
∴ r ＝ 2,8,14,20.
11[答案 ] － 162
12[ 答案 ] 5
[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －
1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；
3
3
3
1
2
2
2 1
－1)＝ 5.
解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 2
3
2 3
1 3
20 3
5 3
[ 解析 ] C 6(x ) ·
(ax
) ＝ a 3 x
＝ 2x ， ∴a ＝2.
14[ 答案 ] －5
1
[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )
6
1 1 1 ＝(x －x
)6
＋ x (x － x )6
＋x 2
(x －x )6
，
1 6 1 1
r 6 r
r r
r 6 2r
∴要找出 (x － x )
中的常数 ，
x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x
－ (－ 1) x －
r
＝ C 6( －1) x
－
，
令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，
令 6－ 2r ＝－ 1，无解．
令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.
∴常数 －
3
4
C
6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理
n
0 n 1 n －1
k n － k k
n n
(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ?＋ C n a b ＋ ?＋ C n b n 得
4
0 4
1 3
2 2
2 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4
(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .
16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *
.
m ＝1 m ＝2 m ＝ 18
∴ ， ， ?，
n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 17
2
2 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2
(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m
∴当 m ＝9 或 10 ， x
2
的系数取最小
7 的系数 7
7
81，此 x
C 9
＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r
(1)T r ＋1 ＝C n ·( )
2 3
x
r
1 n － r
1 ·x － 1 ) r
＝C n ·(x )
·(－
3
3
2
＝( －1
)r ·C r ·x
n － 2r
. n
2
3
∵第 6 常数 ，
n －2r
∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.
3
n －2r
1
(2)令
3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，
∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝
4 .
2
10－ 2r
∈Z
(3)根据通项公式，由题意得：
3
0≤ r ≤ 10
r ∈Z
10－2r
＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令
3
10－3k 3 即 r ＝
2 ＝5－2k.
∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，
∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．
2
1 2
2 5
1 5
它们分别为 C 10·(－
2)
·x ，C 10(－2) ，
C 8 ·(－1
)8·x － 2. 10
2
r
n － r
1 r
[ 解析 ]
x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 2
2 1
1 1
由已知条件知： C n ＋C n ·2
n ·
，解得： n ＝ 8.
2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：
t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.
又 t ＝C r － 1·2－r ＋
1，于是有：
r
8
k 1 ·2－k ＋1 k
·2－
k C 8－
≥C 8
k 1 ·2
－k ＋1
k 2 ·2
－ k ＋ 2 C 8－
≥C 8－
8！ × 2≥ 8！
( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，
k ！ (8－k)！ 即
8！
8！
≥
( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.
(k － 2)！·(10－ k) ！
2
≥
1，
9－ k
k
∴
解得 3≤ k ≤4.
1
2
≥
.
37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.