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第五章多元函数微分学习题参考答案

第五章多元函数微分学习题

练习5.1

1.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(422

椭圆抛物面z y x =+ (2)

圆锥面）(4222z y x =+

(3) 椭球面）(19

164222=++z y x (4) 圆柱面）(12

2=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z -

解：?

??≥-≥00y x y

即??

??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{

}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),(

(2) z =解：0≥-y x

{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为

3. ()y x f ,对于函数=

x y

x +-,证明不存在),(lim 0y x f x →

分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所

得极限值不同即可。

证明：

①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，

(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===

②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，

）时， 00

11(,)lim (,)1(0)11x y x kx k k

f x y f x y k x kx k k →→---=

==≠≠+++

综合①②可知函数极限不存在，证毕。

练习5.2

1.求下列函数的偏导数 ①;,,33y

z x z xy y x z ????-=求解：

23323,3xy x y

z y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(y

x z xy z ????=求

解：[]1

211ln()

2z xy y x xy -?=??=?

[]1

211ln()

2z xy x y xy -

?=??=? ③222ln(),,z z z x x y x x y

??=+???求

解：

1ln()z x y x x x y

?=++??+ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x

z x x z ++=

+-+++=+++??=????=??

222

1()(ln())()()

z z x x y

x y x y y x y x y x y x y x y ????==++=-=?????++++ ④;,3z

y x u

e u xyz

????=求

解；2

2,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y

??==+=+??? 3222()(())(12)()xyz xyz xyz

u u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z

????==+=+++???????

=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++

2．设y

f y f e

y x f y xy ?-?+=→?)

1,2()1,2(lim

,),(0

则

解：①2

2(1)200(2,1)(2,1)0

lim lim ()0

y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式

2(1)04(1)10lim 1

y y e y +??→?+??-= = 42e ②2

(2,1)(2,1)lim (2,1)24xy y x y y f y f f e xy

e y

=?→=+?-'==?=?

3．设23ln(1),111x y z u

x y z u u u '''=+++++在点（，，）处求

解：2311x u x y z '=

+++ 23

21y y

u x y z

'=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1)

33()|4

442

x y z u u u '''∴++=++= 4．设2

,20x

y z z

z e x

y x y

??=+=??求证: 证明：

22221

y y z e y e x y

-?=?=? 2

2331(2)2x x

y z e x xy e y y

-?=??-=-? 222223231

22(2)22x x x x

y y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y

---??∴+=+??-=-?+?? = 0

证毕

练习5.3

1.求下列函数的全微分

(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x

解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f z

x y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+

(2,3)

0.10.2

30.12(0.2)0.1dx dy dz

==-=?+?-=-

（2）求时的全微分当2,1),1ln(2

2==++=y x y x z

解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y

??=

+=+??++++ dy dx dy dx dz

3141144112)

2,1(+=+++++=

（3）,u xy yz zx du =++求

解：u u u

du dx dy dz x y z

???=

++??? dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=

2．计算下列各式的近似值

（分析运用公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）

（1）03

.2)

1.10(

解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取

2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?

01.0ln 1.010)2,10()

2,10(1

2?+?+=-x x yx y y

9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+

解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-

(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+

4(1,1)1|(0.02)y -+

= 0+

005.002.04

03.031=?-? (3) 0046tan 29sin

解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,6

180

x x y y π

?=-

=?=

则原式=)180

1806

(

ππ

(,)(,)()(,)

646418064180

x y f f f ππ

ππππππ

''≈+-+ =

2(,)(,)6464

11cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?

= 0.5023

练习5.4

1. 求下列函数的导数或偏导数。

（1）.,.23,,ln 2

z x z y x v y x u v u z ????-==

=求而解：2

23122ln 3ln(32)32x z z u z v u x y u v x y x u x v x y v y x y ??????=+=?+?=-+

?????- 2

2)23(3)23ln(2y

y x x y x y x -+-= )

23(2)23ln(2)2()(ln 222

3222y x y x y x y x v u y x v u y v v z y u u z y z ----=-+-?=????+????=?? (2) dt

e y e x x y z t t 求而,1,,2-===

解:

dt dy y z dt dx x z dt dz ??+??= )2(1

t t e x e x

y -+?-

= 22211

(2)t t t t t e e e e e

-=-?+-

=()t t

e e -=-+

(3) dx

x y y x y x z 求而,32,2-=+-=

解：方法1：

222

2323

()()2333

(22)(33)(23)3(33)dz d x x d x x dx dx x x dx x x x x x x -+-+==+------+?=

- 2

2)1(31

2---=

x x x 方法2：

dy y f x f dx dz ??+??= =2

22222)1(3122)()()()()()(2---=

?+--+-++--+x x x y x y x y x y x y x y x x （4） 22,cos ,sin ,,z z

z x y xy x u v y u v u v

??=-==??而求

解：

y y z u x x z u z ????+????=?? 22(2)cos (2)sin ,xy y v x xy v =-+-

2222(2cos sin sin )cos (cos 2cos sin )sin u v u v u v v u v u v u v v

=?-+-?

3sin cos (cos sin ),u v v v v -

z z x z y v x v y v

?????=+????? =2

(2)(sin )(2)cos xy y u v x xy u v --+-

2sin cos (sin cos )(sin cos )u v v v v u v v -+++

2.求下列隐函数的导数或偏导数.

（1）.,0ln ln dx

x y xy 求=-+ 解：①两边同时对x 求导

0,y xy y y x

''++

-= 11()y x y y x '+=-

1y x y x y

-'=+

2y x y x x y -=+

②(,)ln ln F x y xy y x =+-令

1x F y x '=- 1y F x y '=+ 1

1x y y F dy x dx F x y

'=-=-

'+2

2y x y x x y -=+ （2）dx

dy xy e y x 求,0sin 2

=-+

解：两边同时对x 求导

2c o s 20

y y e y x y y ''+--= 2

(cos 2)x

y y xy y e '-=- 2cos 2y y y xy

'=-

3.已知方程222(,)0(,).F x y z x y z z f x y ++++==所确定的函数

,z z

F x y

????且的两个一阶偏导数存在，求

解：①令22

,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

两边同时对x 求偏导，

0u x u z x v x v z x F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??= 11220u u x v v x F F z F x F z z ''''''?+??+?+??=即

22u v x u v

F xF z

z x F zF ''+?'=

=-''?+

两边同时对y 求偏导，

0u y u z y v y v z y F u F u z F v F v z ''''''''''?+??+?+??=

11220u u y v v y F F z F y F z z ''''''?+??+?+??=即

22u v y u v F yF z z y F zF ''+?'=

=-''

?+ ②令222,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

122u v u v F F u F v F F x F xF x u x v x

?????''''=+=?+?=+????? 2u v F F u F v

F yF y u y v y

?????''=+=+?????

2u v F F u F v F zF z u z v z

?????''=+=+????? 22u v u v F

F xF z x F x F zF z

?''+??=-=-?''?+? 22u v u v F F yF z y

F y F zF z ?''+??=-=-?''

?+? ③2

,,(,)0u x y z v x y z F u v =++=++=则

两边同时求微分： 0u v F du F dv ''+=

222()()0u v F d x y z F d x y z ''+++++=

2220u u u v v v F dx F dy F dz xF dx yF dy zF dz ''''''+++++=

2222u v u v u v u v

F xF F yF dz dx dy F zF F zF ''''

++=---''''++

22u v x u v F xF z z x F zF ''+?'=

=-''?+ 22u v y u v F yF z

z y F zF ''+?'==-''

练习5.5

1. 2

9620z x xy y x y =-++-+求二元函数的极值

解：290

42601x y z x y x z x y y '=-+==-????

'=-+-==??解得 (4,1)20,(4,1)1,(4,1)2xx xy yy A z B z C z ''''''=-=>=-=-=-=又

03412<-=-=-=?AC B 是极小值1|)1,4(-=∴-Z

226012022515z x y x xy y x y =+---+=2.求二元函数在条件下的极值

解：2

(,,)60120225(15)F x y x y x xy y x y λλ=+---++-

604201202100150x y F x y F x y F x y λλλ'=--+=??

'=--+=??'=+-=?

解得 6918x y λ=??

=??=-?

因为只有唯一的一个驻点，

且2222

()(30)(230)230z x y x y =-+----+?应有极大值，

故极大值855|)9,6(=z

12112212

1212123.,,82,102532,,Q Q x x Q P P Q P P C Q Q P P x x P P =-+=+-=+1212设分别为商品,的需求量而它们的需求量为总成本函数为,其中为商品,的价格.试问价格取何值时可使利润最大?

121122(,)R P P PQ P Q =+解: 22

11122122821025P

P PP P PP P =-+++- 121212(,)3(82)2(1025)

C P P P P P P =?-+++- 22

121212714544

L R C P P P P PP =-=+--+-利润函数 12121221724063/214141040P

L P P P P L P P '=-+=?=???

?'==-+=???解得为唯一驻点 1112

14201442

P P P P A L B L ''''==-<==（，）（，） 22

263

141040,263

,142

P P C L B AC L P P ''==--=-<==（，）有极大值.故在时利润最大. 练习5.6

221.,(,)64244321464440403248024(40,24)40x y

xx x y L x y x x xy y y x y x y x y L x y x L x y y A L =-+-+-'=-+==????

'=+-==??''==-<某公司生产两种商品和利润函数为其中,表示商品,的产量,求,各为多少时,所获利润大?最大为多少?解:得又(40,24)4(40,24)8

yy B L C L ''''====-()()2160,40,2440,241650.

B A

C L ∴-=-<=故在取得极大值,即为最大值最大值()()()322

2.13(,)71341225024

x y

C x y x y xy x y =

+-+++某公司同时销售煤气和电力，煤气的销量为单位:万米,电力的销量为单位:千瓦，总成本函数为单位:万元

(),4360.,4360x y x y C x y x y +-=+-=其中满足问应如何安排销售,才能使总成本最低?

解:条件极值问题,实际中有最小值,即求在条件下的极值.

解：()22

13(,,)71341225043624

F x y x y xy x y x y λλ=

+-+++++-令 ()()3713440

3138871202814360

x y F x y F y x x y F x y λλλ'=-++=???

'=-++==??'=+-=??382解得=

万米千瓦即为销售安排.81()22,6202f L K L K L K =+--3.设某企业和生产函数为

L K 其中表示生产力,表示资本投入.如果这两种生产要素

的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.

f L K 解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求在条件4+8=88下的极大值.

()()2

,,62024888L K L K L K L K λλ=+--++-令F

62402048048880(6,8)32

L K

F L F K F L K L K f λ

λλ'=-+=??

'=-+=??'=+-=?∴=解得=6,=8,根据实际意义有最大可能生产量.所求最大生产量习题五 1．选择题

（1）D ，（2）C ，（3）B ，（4）A ，（5）C ，（6）D ，（7）C ，（8）C ，（9）D ，（10）A ，（11）A ，（12）D ，

（13）A ，222(,)()f xy x y x y xy x y xy +=++=+-

2(,)f x y y x ∴=- 2(,)()1x x f x y y x ''=-=-2(,)()2y y f x y y x y ''=-=

（14）D ，（15）A ，（16）D ，（17）D ，（18）B ，（19）C ，（20） C 。

2求点（2，-3，1）分别对称于下列坐标平面的对称点，（1） XOY 平面，答：（2，-3，-1）

（2）YOZ 平面，答：（-2，-3，1）（3）XOZ 平面，答：（2，3，1）

3，已知点M 的坐标为（4，-3，5）求（1）点M 与原点的距离，（2）点M 与三个坐标平面的距离，（3）点M 与三个坐标轴的距离。

解：（1）

= （2） .3,4,5===xOZ YOZ XOY L L L

(3)

OX L ==

5OY OZ L L ====

4 已知某空间平面与三个坐标轴ox,oy,oz 的截距分别为1,2,3，求此平面方程。

解：6236,13

=++=++z y x z y x 即

5.已知某空间平面过（1,1,-1）,(1,-1,1),(-1,1,1)三点，求此平面方程。

解：令此平面方程为0Ax By Cz D +++=

则有??

??-=-=-=?????=+++-=++-=+--D C D B D

A D C

B A D

C B A

D C B A 解000

0)()(=+-+-+-∴D z D y D Dx 平面方程为

即 1x y z ++=

6.设),(,),(22y x f y x x

y y x f 求-=+

解：①令??

???

+=+=??????==+11θθθθt y t x x

t y x θ

θθθθθ+-=+-+=∴1)

1()1()1(),(222t t t t f

y x y x f +-=∴1)

1(),(2

②22(,)()()()(1)y y f x y x y x y x y x y x x x

+=-=+?-=+??-

2()(1)x y x y x y x

=+??-+2()(1)

x y x y x

+?-=

+ y

y x y x f +-=∴1)

1(),(2

7 .求下列函数的定义域：

(1)arcsin

,(2)ln()(3)y z x

z y x z ==-=

解：（1）： {}0|,||||),(1||≠≥=≤x y x y x D x

即

（2）： {}

y x y x y x D y x x x y <≤<+=??

?>--≥>-0,1|),(01002222即（3）：{}

101110(,)|11,11x x y y y D x y x y y -≤≤?-≥???≥≤--≥??=-≤≤≥≤-即或即或

8.说明下列极限不存在

（1）2420

lim y

x y

x y x +→→ 解：当(,)p x y 沿时趋于)0,0(02p kx y =

有22224242422(0,0)11

x y x kx k k

x y kx x y x k x k k ?==→→=→++++ k 取不同的值时，有多个值，故极限不存在。（2）2

321

lim

x y x +→→ 解：.,321

lim

220

故极限不存在+∞=+→→y

x y x 9.求下列函数的间断点或间断曲线：（1）)0,0(,0:1222

2故间断点解≠++=y x y x z

(2) 221

z x y =

2222:10,1x y x y +-≠+=解故间断曲线为

(3) x y x y y x y

x y

x z =≠≠--+=

故间断曲线为即解,,0: （4）1sin

z xy

= :0,00,00xy y x y x ≠≠≠==解即且故间断曲线为或

10.求下列函数的偏导数：（1）y

z x z y x z ????-=,),2sin(ln 求解：

)2cot(1)2cos()

2sin(1y x y x y x x z -=?--=??

1cos(2)(2)2cot(2)sin(2)

z x y x y y x y ?=-?-=--?-

（2）y

z x z x y z ????=,,arctan 求解：

2222

2)(11y x y

x y x

y x

z +-

=-+=??

2222

111z x

y y

x x y x

?=?=?++ （3）y

z x z xy xy z ????+=,),(cos )sin(2求解：

cos()2cos()[sin()]z

y xy xy xy y x

?=+?-? [cos()sin(2)]y xy xy =-

cos()2cos()[sin()][cos()sin(2)]

x xy xy xy x

y x xy xy ?=+?-?=-

(4)1101

ln(),|,|,2x x y y y z z

z x x x y ====??=+??求解：

1|)]1

(21[21|0

120

1=-+

+=??====y x y x x y x

y x x z

31|2121

|111

1=+

=??====y x y x x x

y x y z

（5）1

1|,)1(==??+=y x y x z xy z 求

解：取自然对数，原式变为ln ln(1)z y xy =+ 两边同时对x 求偏导

21111x y z y y z xy xy '?=??=++

2(1)1y

x y z x y xy '=+?+ 11

2|11

=+?=??==y x x z

(6) 3

(1)tan (1,0),(1,1).x y z xy x z z ''=+-求

22(1,0)1(1,0)tan

(1)3tan sec (|02x z y x x '=+-??-=

2(1,1)(1,1)(1)3tan

sec 1y z x x '=+-??= 11.设(,,),(1,2,3),(1,2,3),(1,2,3).z xx

xy xyz f x y z xy f f f '''''''=求解：,0,(1,2,3)0z x xx

xx f y f f '''''==∴= 1(1,2,3)12z xy

xy f zy f -''''=∴= 11ln (1,2,3)4(13ln 2)z z xyz

xyz f y z y y f --''''''=+??∴=+ 12.求下列函数的全微分：（1）dz y x z 求,ln 22+= 解：z z

dz dx dy x y

??=

+??

112222xdx ydy =

dy y

x y dx y x x 2

222+++ (2) tan ,x y

z arc dz x y

+=-求解 22

221()1()

()()1()1()x y x y x y x y dz dx dy x y x y x y x y x y x y

--+-++=

?+++--++-- =

)(1

2xdy ydx y x +-+ （3）dz xy z 求),sin(=

解：dy xy x dx xy y dz )cos()cos(+=

（4）);1,1,1(,)(),,(1

df y

z y x f z 求=

解：①1|1|)1,1,1(11

)1,1,1(==??--z z x z

y x f

②

1|)1(|)1,1,1(1

11)1,1,1(-=-=??--z z

y z

x y f 0|)ln()1()(|)1,1,1(21

)1,1,1(=-=??y x z y x z f z (1,1,1)df dx dy =-

13.已知边长6x =米和8y =米的矩形，求x 边增加5cm ，y 边减少10cm 时，此时矩形对角线变化的近似值。解：

006,8,0.05,0.1L x y x y ===?=?=对角线令

(6,8)(6,8)||x y L L x L y ''?≈?+?

0.05(01)0.051010

?+-?=- 答：约减少0.05m.

14.当圆锥体形变时，它的底半径R 由30cm 增加到30.1cm ，高由60cm 减少到59.5cm ，试求体积变化的近似值。

解：令5.0,60,1.0,30,3

002-=?==?==H H R R H R V π

(30,60)(30,60)||R H

V V R V H ''∴?≈?+? =)5.0(|3

11.0|32)60,30(2)60,30(-?+?R RH ππ )(303cm π-= 即体积约减少)(303cm π。 15.求下列函数的导数或偏导数：

2(,1,1),(,1,1)1,1

(1,1,1)1(1,,1)1(1,,1),(1,1,1)1

(1,1,)1,(1,1,)0,(1,1,1)0,(1,1,1)x x x y y y z z z

f x x f x f f y y f y f y

f z f z f df dx dy

'=='==''=-=-'=='==-

（1）2,2,2,,;u z z

z u x y v x y v x y

??==-=+??而求

解：2

22)2()

3)(2(22)(2y x y x y x v u v u x v v z x u u z x z ++-=?-+=????+????=?? 2

22)2()

29)(2()()2(2y x y x x y v u v u y v v z y u u z y z ++-=

-+-=????+????=?? (2) ;,,2,2,y

z x z y x v y x u u z v ????+=+==求

而 1(2)2ln 2

2(2)[1ln(2)]

v v x y z z u z v

x u x v x vu u u x y x y -+?????=+

?????=?+?=+++解:

1(2)1ln 1(2)[1ln(2)]

u v x y z z u z v y u y v y vu u u x y x y -+?????=+

?????=?+?=+++

(3)dt

dz t y t x y x z 求

而,4,3),arcsin(3==-=

31)12dz z dx z dy dt x dt y dt

??=+

??=-?

32)

43(1)41(3t t t ---=

(4)dx

e y xy z x 求

而,),arctan(== 解：①2

221(1)[arctan()]()1()1x x x x

x x

dz d e x xe e xe dx dx xe x e +==?+=++ ②dz z z dy dx x y dx

??=+???2222(1)1()1()1x x

y x e x e xy xy x e +=+?=+++ 16.设(,,)u f x xy xyz =,且f 存在一阶连续偏导数，求

y u x u ??????,, 解：令,,(,,)w xy s xyz u f x w s ===则

x w

s u f f w f s

f f y f yz x x w x s x

??????'''=++=++?????? //w s u u w u s f x f xz y w y s y ?????=?+?=+????? s u u s f xy z s z

???'=?=??? 17.求下列隐函数的导数或偏导数。 (1) ;,,y

z x z xyz e z ????=求

解：令xyz e z y x F z -=),,( xy e F xz F yz F z z y x -=-=-=///,,

e xz

F F y z xy e yz F F x z z z y z z x -=-=??-=-=??////, (2) 2sin(23)23x y z x y z +-=+-，求

;,y

x z ???? 解：令(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+

2cos(23)1,

4cos(23)2,6cos(23)3

x y z F x y z F x y z F x y z '=+--'=+--'=-+-+

12,33

y x z z F F z

z x F y F ''??∴

=-==-=''?? (3) y

x z xyz z y x ????=-++,,022求

解：

令(,,)2F x y x y z =++-

///121x y z F F F =-

//x z F z

z x F y ??∴=-==

?? (4) y

x z e z e z xy ????=++-,,02求

解：=),,(z y x F z xy e z e ++-2

///,,2xy xy z x y z F ye F xe F e =-=-=+

,22xy xy z z

z ye z xe x e y e ??∴==?+?+ 18. y

z x z y x f z z y z x F ????==,),,(0),(求确定函数设方程解：①令,x

y u v z

u F F u F x u x z

???==???? ///221,v u v F F x y

F F F y z z z z

??=?=--?? ////////

,,x u v z u v u v F zF zF z z x F xF yF y xF yF ??∴=-==?+?+ ②令,x

y u v z z

== (,)0

F u v =两边同时对x 求偏导 0u x u z x v z x F u F u z F v z ''''''''?+??+??=

221()()0u u v x x y

F F F z z z z

''''?+?-+?-?= 解得//////

,,u v x u v u v zF zF z z z x xF yF y xF yF ??'∴==

=?+?+同理 ③令,x y u v z z

== (,)0

F u v =两边同时微分： 0u v F du F dv ''+= ()()0

u v x y

F d F d z z

''+= 22

0u v

zdx xdz zdy ydz

F F z z --''+= 解得//

////

,u v u v u v zF zF dz dx dy xF yF xF yF =+++ //////

,,u v u v u v zF zF z z

x xF yF y xF yF ??∴==?+?+ 19.求二元函数的值。22)(4y x y x z ---=

解： //42,42,x y z x z y =-=--

//0

202x y z x z y ?==????

==-???

令解得 2,0,2,xx xy yy z z z ''''''=-==- 20,0,2,A B C =-<==- 240,B AC -=-<极大值(2,2)

20．解：令22(,,)(1)x

y F x y x y a

λλ=+++-

F 20F 20F 10x

y x a

y b x y a b λλλ?'

=+=??

'=+=??

?'=+-=??

解得2222222222

2,,ab a b a b x y a b a b a b λ===-+++ 222222

(,)ab a b

a b a b

++唯一可能的极值点，根据题意z 有极小值极小值2

222

22(

ab a b

a b a b a b z

a b

++=+ 21．解：2

0.010.590Q xy x y =+=

令2(,,)0.01(0.590)F x y xy x y λλ=++-

20.0100.020.500.5900x y F y F xy F x y λ

λλ'?=+=?

'=+=??'=+-=?解得30,120,x y == 由实际意义知生产量有最大值，

故30,120x y ==时生产量最大，最大生产量为4320公斤 22．解：110050(,)(,)2

510x y

L x y R x y x y

+++ 25x y +=

令 10050(,,)(25)510x y

F x y x y x y

λλ=

+++-++

多元函数微分学复习题

多元函数微分学补充题 1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y ??+=??，设1111u x v y x z x ?? ?=? ?=-?? ?=- ?? ，对函数(,)u v ??=，求证 0u ? ?=?。 2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z '''==，证明u 仅为r 的函数，其中r = 3.设)(2 2 y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x u x y u x u +=+??-??+??，试求函数u 的表达式。 4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '= ，又 u f =满足0222222=??+??+??z u y u x u ，试求)(r f 的表达式。 5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足 02=???y x f ，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r = ，其中r =),(y x f 。 6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且 )(2223xyz f z y x z y x u '''=????，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23 2 22222)(y x y u x u +=??+??，试求函数f 的表达式. 8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ?=-，其中(,)x y ?在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0?=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得 ||||PQ PM +最小. 10.过椭圆13232 2 =++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值. 11.从已知ABC ?的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置. 12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且 )()(2 2 2 2 y x f y x z ++=满足02222=??+??y z x z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值. 13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数2 22),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向 j i l -=的方向导数最大. 14.设向量j i v j i u 34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有 6-=??p u f ,17=??p v f ,求p df . 15.设函数),(y x z z =由方程)(2 z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算 y z y x z x ??+??并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且 0≠??y f ,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xx y f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章偏导数与全微分一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。（2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章多元函数微分学习题课一疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线 ?? ?=+--=+++0 31020 123:z y x z y x L 及平面0 224: =-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(2 2y x y x y x xy y x f 在点 ) 0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y -

答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

多元函数微分学习题

6 ．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全第五部分多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于。 (B) 在上答：C (D) 与斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

第7章多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。教学重点与难点常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程：一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时 § 1 可微性一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

多元函数微分学习题

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组?? ?+=+=2 2 v u y v u x 确定，则当v u ≠时， =??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。

(C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92 ,91,91(- (D) )9 2,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 00处具有两个偏导数f x y f x y x y (,),(,)0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件 (C).必要条件 (D). 既不充分也不必要答C 7．对于二元函数z f x y =(,)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是（）。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在答B 8．二元函数z f x y =(,)在(,)x y 00处满足关系（）。 (A).可微（指全微分存在）? 可导（指偏导数存在）?连续 (B).可微?可导?连续 (C).可微?可导或可微?连续，但可导不一定连续 (D).可导?连续，但可导不一定可微答C

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。（2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册

第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。答：（） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处：（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续。答：（）三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。

第二节作业一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设答：（）三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足第三节作业一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。答：（）

第七章多元函数微分高等数学

第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一）本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二）多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三）偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。（四）复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ）（A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

第五章 多元函数微分学习题参考答案

多元函数微分学复习题

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第七章 多元函数的微分学

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