可靠性概率分布
关于可靠性分布函数
及其
工程应用的讨论
学号：071230320
姓名：喻浩文
目录
一、引言 (3)
二、分布函数及其应用的讨论 (3)
（一）、指数分布 (3)
1.定义： (3)
2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)
3.图像分析 (4)
4.应用 (5)
（二）、正态分布 (6)
1.定义： (6)
2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)
3.失效率函数 (6)
4.图像分析 (7)
5.应用 (8)
（三）、对数正态分布 (9)
1.定义： (9)
2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)
3.对数正态分布失效率 (9)
4.图像分析 (9)
5应用 (11)
（四）、威布尔分布 (12)
1.三参数威布尔分布的定义： (12)
2.可靠度与不可靠度函数 (12)
3.威布尔分布失效率 (12)
4.图像分析 (12)
5.应用 (15)
三、小结 (16)
参考文献 (17)
附录 (18)
一、引言
可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。科学的可靠性评估方法不仅可以减少试验经费，提高分析结果的准确性，而且缩短了研制周期，成为现代工业生产所必须的工具。
在可靠性分析和评估中，对产品的寿命等数据的分散度进行的研究表明，其分散的形态，大多可用几种典型的分布模型来近似的模拟。
下面就针对指数分布、正态分布、对数正态分布、威布尔分布分析说明其中的参数对其分布函数形状、位置等的影响及它们在工程分析中的应用。
二、分布函数及其应用的讨论
（一）、指数分布
指数分布是由失效率为常量这一假设得出的，是可靠性理论中最基本、最常用的分布模型之一。
1、定义：
若t 的概率密度函数为
f （t ）= ??
?<>≥-)
0(0
);0(t t e t
λλλ （1.1）
则称其服从参数为λ的指数分布，其中λ为常数，是指数分布的失效率。
2、指数分布的可靠度与不可靠度函数
指数分布不可靠度为
F （t ）=
?t
dt t f ）（=1-t
-e
λ t ≥0；λ>0 （1.2）
可靠度为
R （t ）=1-F （t ）=t
-e
λ t ≥0；λ>0 （1.3）
3、图像分析
（1）下图为指数分布概率密度函数图像
图1-1 指数分布失效密度函数
由图1-1可以看出失效概率密度均为下降趋势，为严格减函数，并且当t →0时f （t ）→0。另外，失效率对失效概率密度函数的影响：失效率越大，则起始时刻f （t ）越大，且f （t ）下降越快，这与实际直观认识是一致的。
（2）下图是指数分布不可靠度与可靠度函数图像
从图中可以看到，失效率越底，不可靠度上升越慢（即可靠度下降越慢）。若下降到到同一可靠度，失效率越低，所需时间越长，即零件工作时间越长，这和实际经验也是相一致的。
图1-2 指数分布可靠度与不可靠度变化曲线
4、应用
（1）原理
指数分布是可靠性理论中最基本、最常用的一种分布，它最显著的特征是失效率等于常数。正是因为此特点，它更适合描述许多产品在偶然失效期的有用寿命分布。
指数分布产生原理是无累积效应失效。在工程实践中，大多数产品无累积效应的失效，基本可以认为其服从指数分布，多数电子产品的失效以及突发重大事故即属于此类。
指数分布的一个重要性质是无记忆性，即如果一产品寿命服从指数分布，则工作一段时间后若仍然正常，则它仍然和新的一样，再工作t时间的概率和已经工作过的时间长短无关，偶联系，又称为“无后效性”。
（2）工程应用
在电子产品可靠性理论中，指数分布是最基本、最常用的分布，适用于失效率为常数的情况（当产品进入偶然失效期间，其失效率近似等于常数）。由于大部分电子产品的使用寿命服从或近似服从指数分布，因此，可用指数分布描述其寿命分布。
指数分布作为可靠性工作中非常重要的一种分布，还经常用于描述由大量元器件组成的复杂系统寿命分布（如复杂的航空电子设备可靠性分析），分析元器件的筛选、老化, 系统的冗余设计等，在高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中也有广泛应用。但最主要的还是在电子元器件的可靠性研究中价值，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果[2]。
在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。
不仅如此，指数分布也可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔等。
（3）局限性
但是，由于指数分布具有缺乏―记忆‖的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。
再者，由于指数分布失效率为常数，对于失效率变化的情况，不能做到有效的模拟（浴盆曲线前后两个时期），这一点的限制了其在工程领域可的应用范围。
（二）、正态分布
正态分布又称为“高斯分布”，是由高斯首先提出并应用的。作为一种经典的概率分布模型，有着极其广泛的应用。
1、定义：
若t 的概率密度函数为
???
???????? ??=2-t 21-exp 21
t f σμπσ）（ +∞<<∞t - （2.1）
则称其服从参数为μ和σ2的正态分布。式中，σ和μ为两个参数，σ称为标准差；
μ称为均值。其中，
μ反映了t 的分布的平均水平，而σ反映了分布的集中程度。
2、正态分布的可靠度与不可靠度函数 正态分布不可靠度为
F （t ）=dt -t 21-exp 21
t
-2?∞???
?
??????? ??σμπσ （2.2）
可靠度为
R （t ）=1-F （t ）=
dt -t 21-exp 21
t
2?
∞
+????
??????? ??σμπσ （2.3）
3、失效率函数 正态分布失效率为
λ（t ）=）（）（t R t f =
dt -t 21-exp 21-t 21-exp 21
t 22?∞+???
?
??????? ????
??
??????? ??σμπσσμπσ （2.4）
4、图像分析
（1）图2-1为正态分布失效概率密度函数曲线
图2-1 正态分布σ和μ对失效概率密度函数曲线的影响
从图2-1中可以看到:
①. 曲线关于x=μ对称，μ值大小影响曲线左右位置，即改变的值使曲线在水平方向上作平移；
②. 当t=μ时取得最大值，且t离μ越远，函数值越小，在左右无穷远处，概率密度函数值趋于0；
③. σ值影响曲线形状。σ值越小，即标准差越小，图形变得越尖，分布越集中。（2）下图为正态分布不可靠度和可靠度变化曲线（左边为可靠度，右边为不可靠度）
图2-2 正态分布可靠度与不可靠度曲线
从图2-2中可以看出均值若较小，可靠度会在t较小时开始显著降低（相应的不可靠度在t较小时开始显著上升）；而标准差较小使可靠度下降变晚（相应的不可靠度上升变晚），但达到一定时间会快速下降，迅速趋近于0，而后稳定，相反，标准差较大者，使可靠度始终保持一个较稳定的速度平稳下降，逐渐趋于0。
（3）失效率
下图为正态分布失效率曲线
图2-3 正态分布失效率曲线
可以看出，失效率总体趋势为先上升，后下降，最终接近0。均值越大，失效率曲线相对向右移动，峰值出现晚，峰值提高；标准差对曲线没有左右位置影响，即出现峰值位
置不变，而是只改变峰值大小，标准差越小，峰值越高。
5、应用
（1）原理
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布是应用较广泛的分布之一，其失效机理是：多微因合成, 没有主导因素。即它是由大量相互独立，微小的随机因素的总和构成的，且每一个随机因素对总和的影响是均匀微小的，即可认为此随机变量服从正态分布[3]。
（2）工程应用
正态分布适用于有基本均匀的累积效应的情况。也就是说, 由累积耗损所造成的故障，如腐蚀、磨损、表面破坏及器件老化等，一般认为其寿命服从正态分布。
正态分布广泛应用于各个领域，其中一个重要应用就是质量控制，即为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以标准差的倍数作为上、下警戒值和控制值，其依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布[4]。
在航空维修可靠性上，正态分布主要用于分析由于磨损而发生失效的附件，因为耗损失效分布往往接近正态分布。另外，寿命数据符合正态分布的产品，通常时间特性比较明显，在使用到某个特定的时间后性能衰退较快，因而可以据此制定合理的维修计划。正态分布的另一种重要作用是对制造的产品质量及其性能是否符合规范进行分析。
（三）、对数正态分布
若一个随机变量的对数服从正态分布，则称其服从对数正态分布，它是一种偏正态分布，是正态分布的一种改进，在某些领域有重要应用价值。
1、定义：
若t 的概率密度函数为
f （t ）=??
???≤+∞<<-∞>>??????????? ??0x 0;0;0x -ln t 21-exp 2t 12μσσμπσ （3.1） 则称其服从对数正态分布。式中μ称为对数均值；σ称为对数标准差。
2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 不可靠度
F （t ）=
dt -ln t 21-exp 2t 1
t
2?
??????????? ??σμπσ （3.2）
可靠度
R （t ）=1-F （t ）=dt -ln t 21-ex p 2t 1
t
2
?∞+???
???????? ??σμπσ （3.3） 3.对数正态分布失效率
λ（t ）=）（）（t R t f =
dt -ln t 21-exp 2t 1-ln t 21-exp 2t 1
t 22?∞+???
?
??????? ????
??
??????? ??σμπσσμπσ （3.4）
4.图像分析
（1）下图为对数正态分布失效概率密度函数图像
图3-1 对数正态分布失效概率密度函数
从图3-1中可以看出函数图像呈现单峰性，且为偏锋，峰值向t较小一侧偏移。
①μ影响其峰值的偏移程度，μ越小则峰值越偏向t小的一侧。
②σ对其峰值有一定影响，但最主要的是改变了函数曲线形状，σ越大，峰值越低，t 的分布越广，且图形有向t较大一侧移动的趋势。
（2）下图为对数正态分布可靠度与不可靠度曲线
图3-2 对数正态分布可靠度与不可靠度
从图中3-2可以观察到
①μ越小，则不可靠度上升越早，且上升速度相对较快，而后维持在较高值，反之，则上升越越晚，增加相对缓慢，处于相对较低水平；
②σ越小，则不可靠度开始阶段基本维持在0，但以后快速增加，t足够大时，相对其他一直处于较大状态，反之，则增加平缓，t足够大时，相对其他处于较低水平。
（3）下图为对数正态分布失效率函数图像
图3-3 对数正态分布失效率
从图3-3中观察到，失效率总体特征为先有一段升高，达到峰值后缓慢降低。
①μ越小，失效率峰值越高，增长阶段越迅速，相对一直处于较高水平，反之，则增长缓慢，失效率一直较低。
②σ越小，则失效率初始水平越低，增长越迟，但峰值会变得很高。
5应用
（1）原理
对于对数正态分布的成因，一般认为，某个由许多影响因素综合作用下产生的变量X ,当这些因素对X的影响并非都是均匀微小的，而是个别因素对X的影响是显著突出时，变量X将由于不满足于中心极限定量而趋于偏斜，由此形成对数正态分布。在许多的实际问题中，例如：纱线或长丝强力、某些元件寿命等随机变量均服从对数正态分布。另外，对数正态分布也可看作相互独立的正随机变量乘积的近似分布[5]。
（2）工程应用
对数正态分布是一种偏向左侧的正态分布，对于一些不完全服从正态分布的随机变量能做到较好模拟。例如，在一些分析测试中，特别是在衡量分析中，在不少情况下，测定值不遵循正态分布，而是遵循对数正态分布[6]。
对数正态分布常常用于航空维修工程上的维修数据(修复时间)、一些材料特性和非线性加速磨损的分析。
还有，对数变换可以将较大的数缩小为较小的数，这一特征可以使较为分散的数据通过对数变换相对的集中起来，所以常把跨几个量级的数据利用对数正态分布拟合。因此，在机械零件及材料的疲劳寿命研究中，常常应用对数正态分布[7]。
（四）、威布尔分布
威布尔分布模型是以瑞典科学家 Waloddi Weibull 的名字命名的。威布尔通过最弱环节链条模型导出威布尔分布，并成功地进行了工程方面的应用分析，又指出此分布模型的优点在于它适用于小样本抽样及它对各种类型试验数据极强的适应能力，确立了威布尔分布在试验样本统计分析工作中的重要地位。 1、三参数威布尔分布的定义：
若t 的概率密度函数为
f （x ）=?
?
???<>≥???
????????
?
?
????
?
??γ
ηγηγη
γηx 00
m x -x -exp -x m m
1
-m ，； （4.1）
则称其服从三参数（m ，η，γ）的威布尔分布。 式中，m-------形状参数；
η-------尺度参数； γ-------位置参数。
2.可靠度与不可靠度函数 不可靠度为
F （t ）= 1 – exp ???
?
???????
?
?
?m
-x -η
γ
（4.2） 可靠度为
R （t ）= exp ???
?
???????
?
?
?m
-x -η
γ
（4.3） 3.威布尔分布失效率
λ（t ）=1
-m -t m ???
?
??η
γ
η （4.4）
4、图像分析
（1）下图为威布尔分布失效概率密度函数曲线
图4-1 威布尔分布失效密度函数
（1）形状参数m
形状参数会改变曲线形状，具体为
①当m>1时均为先增后减，随m 减小峰值降低，曲线与正态分布曲线接近；
②当m=1时，变为指数分布函数，曲线与垂线t=γ相交于
η
1
，即指数分布失效率； ③当m<1时，概率密度函数没有峰值，直线t=γ是它的一条竖直渐近线。 （2）尺度参数η
尺度参数影响曲线分布范围，η越大，峰值越低，分布相对越广，越均匀。 （3）位置参数γ
其大小反映了函数曲线的起始位置的横坐标，即控制曲线的左右平移，而不改变曲线的形状和大小。
（2）下图为威布尔分布可靠度与不可靠度函数曲线
图4-2 威布尔分布可靠度与不可靠度
从图4-2中观察到
①形状参数越小，不可靠度在起始阶段上升越快，处于较高水平，而后平稳上升，时间足够长时，其不可靠度相对其他较低。
②尺度参数越小，不可靠度上升越早，且上升迅速，很快接近1。
③位置参数影响可靠度及不可靠度曲线左右位置，但不会改变曲线形状。
(3)下图为威布尔分布失效率函数曲线
图4-3 威布尔分布失效率
（1）形状参数
当m<1时，失效率以纵轴为渐近线，从无穷大迅速减小，而后，逐渐趋于0；
当m=1时，失效率为常数1，一直维持此水平；
当m>1时失效率从0开始增加并一直保持上升趋势
a．1 b．m=2时，失效率为一条直线，为线性增图4-3 威布尔分布失效率曲线长； c．m>2时，失效率增长速度逐渐加快； （2）尺度参数 尺度参数变化影响失效率增长速度，η越小，增长速度越快。从公式（4.4）也可以看出，η变化时，失效率的变化是成比例的。 （3）位置参数 位置参数会改变失效率函数的左右位置（即起始位置的改变），不会引起函数曲线形状和大小的变化。 5、应用 （1）原理： 威布尔分布具有重要的的工程应用和研究价值。威布尔分布是由最弱环节模型导出的，这个模型如同许多链环串联而成的一根链条，两端受拉力时，其中任意一个环断裂，则链条失效。显然，链条断裂发生在最弱环节。一个整体的任何部分失效则整体就失效，即属于最弱环节模型。因某一局部失效而导致全局停止运行的元件、部件、器件、设备等的寿命都可以看做服从威布尔分布，机械中的疲劳强度、疲劳寿命、磨损寿命、腐蚀寿命大多服从威布尔分布。对于机电系统和电子系统，这些系统或设备的疲劳失效或真空失效和磨损失效等, 也都可以认为服从威布尔分布。因此，威布尔模型是研究机械零部件可靠性的最适合的模型之一[8]。 标准的三参数威布尔分布能够拟合各种类型的寿命数据，当其参数取特定的数值时，它可以接近于指数分布、正态分布等各种分布模型。另外，威布尔分布对于产品寿命的“浴盆曲线”的三个失效期都有较强的适应力，并且由于它是根据最弱环节模型或串联模型得到的，能充分反映材料缺陷和应力集中源对材料疲劳寿命的影响，它通常作为材料或零件的寿命分布模型或给定寿命下的疲劳强度的模型。 （2）工程应用： 威布尔分布可以用来对机械设备中许多通用的零部件（如齿轮、轴承、密封件等）进行可靠性预计与评价，用于检验失效分布形式，确定分布参数，验证和确定可靠性指标，分析失效机理和变化趋势，比较新老设计方案等[9]。 在航空领域，威布尔分布的一个重要应用就是研究发动机涡轮叶片的寿命。涡轮工作叶片在高温高压燃气包围下工作，不仅要承受转子高速旋转时叶片自身的离心力、气动力、热应力及振动负荷，还受到燃气的严重腐蚀。当发动机工况不断变化时，叶片还经受冷热疲劳，所以它是发动机中受力和受热最为严重的零件之一。涡轮叶片工作时间越接近于寿命期，涡轮叶片的失效概率越大，可靠性也越低[10]。 （3）局限性： 威布尔分布在机械可靠性工程领域已经得到了一定的应用，为可靠性设计和可靠性试验中的数据分析提供了有效的概率模型，在基于统计的可靠性领域占有非常重要的地位。但是由于威布尔分布与指数分布、正态分布和对数正态分布相比，模型相对复杂，需要确定的分布参数较多，应用范围受到一定的限制。因此，在各种样本条件下，建立高精度的参数估计方法是很重要的。同时，研究威布尔分布的改进模型，寻找有效的参数估计方法，对威布尔 分布及其改进模型在机械可靠性工程各领域的应用也具有重要的理论意义和工程应用价值。 作为在可靠性工程领域最为重要的寿命分布之一，威布尔分布自从提出以来，一直受到机械工程等领域研究人员的关注。关于威布尔分布的研究主要集中在以下几个方面： （1）对传统威布尔分布模型进行改进[11]； （2）建立传统模型参数估计的新方法，建立改进模型的参数估计算法； （3）在疲劳可靠性分析、加速试验方案的制定、退化产品的寿命分布以及维修策略的优化等方面拓展威布尔分布原有的应用范围； （4）在无失效数据条件下，威布尔分布的参数估计及可靠性分析方法研究。 三、小结 可靠性是产品在规定时间内和规定条件下完成规定功能的能力。可靠性定量分析是对产品进行可靠性设计与分析的重要环节，是通过各种可靠性数据分析工作来完成的。由于其不确定性，在分析中，往往用数学概率分布模型来研究失效时间。 失效时间的分布函数主要有指数分布，正态分布，对数正态分布，威布尔分布等。本文主要分析讨论了以上四种分布函数的失效概率密度函数，可靠度函数，不可靠度函数和失效率的影响因素，以及概率分布函数在工程上的应用，使读者对可靠性理论中的寿命概率分布有一个大致的了解。 参考文献 [1] 孙小宇. 可靠性在民用飞机维修工程中的用. 昆明理工大学工程硕士学位论文2005.5 [2] 李俊美洪延姬. 指数分布可靠性验证试验系统的设计与实现装备指挥技术学院学报2004.6 (15) 3 ：70—73. [3] 黎放,吕建伟. 关于舰用机电产品可靠性分布问题探讨. 海军工程学院学报1997（3）:54-57 [4] 郭亚中,左洪福,王华伟. 基于粗糙集的民航飞机故障诊断规则获取方法. 系统工程理论与实践2006.11 （11）139-144. [5] 韩春明. 对数正态分布密度函数有关参数的计算及其成因讨论. 新疆工学院学报1997.9 （18）3 [6] 南宫自军汪亮张铎. 结构可靠性分析的拟对数正态分布法. 西北工业大学航天工程学院弹道与制导学报1997（3）:35-38 [7] 宋保维. 系统可靠性设计与分析[M]. 西安：西北工业大学出版社，2000.24-15. [8] 凌丹. 威布尔分布模型及其在机械可靠性中的应用研究. 电子科技大学, 2010. [9] 丁湛黄双华. 基于威布尔分布的可靠性寿命分布模型的建立海军工程大学 电子测量技术2007（3）:34—35. [10] 余国林,吴海桥,丁运亮. 威布尔分布在飞机系统使用可靠性评估中的应用. 南京航空航天大学2006 [11] 王森. 航空维修工程可靠性分析方法研究及应用. 厦门大学硕士学位论文2009.8 附录 计算数据所用的C程序如下： #include #include #include #include #define PI 3.1415926 /* 宏*/ void ZhiShu_FenBu() /* 指数分布*/ { double x,f,F,R,a,t; x=0;f=0;F=0;R=0; FILE *fp; fp=fopen("c:/指数分布.xls","a"); /* 以追加写方式打开excel文件*/ if(fp==NULL) { printf("Can not open the file1!\n"); return; } printf("您选择指数分布\n\n"); for( ; ; ) { printf("请输入参数：失效率(大于0)\n"); /* 输入参数*/ scanf("%lf",&a); if(a<=0) { printf("数据无效！请重新输入\n"); /* 参数不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"指数分布\n失效率为%lf\n",a); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\n"); for(x=0;x<=10;x+=0.1) { f=a*exp(-1*a*x); /* 计算f F R */ F=1-exp(-1*a*x); R=exp(-1*a*x); fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R);/*写数据f F R*/ } printf("\t计算完毕\n\n"); x=0;f=0;F=0;R=0; /* 重置计算值*/ printf("要继续计算下一组指数分布数据点吗？\n"); printf("继续请按1\t否则按0\n"); /* 是否继续？*/ scanf("%lf",&t); if(t==0) break; /* 退出for循环*/ } system("cls"); /* 清屏*/ fclose(fp); /* 关闭文件*/ } void ZhengTai_FenBu() /* 正态分布*/ { double x,f,F,R,FailureRate,a,b,t; x=0;f=0;F=0;R=0;FailureRate=0; FILE *fp; fp=fopen("c:/正态分布.xls","a"); /* 以追加写方式打开excel文件*/ if(fp==NULL) { printf("Can not open the file2!\n"); return; } printf("您选择正态分布\n\n"); for( ; ; ) { printf("请输入参数：均值标准差(大于0)\n"); /* 输入数据*/ scanf("%lf%lf",&a,&b); if(b<=0) { printf("数据无效！请重新输入\n"); /* 数据不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"正态分布\n均值为%lf\t标准差为%lf\n",a,b); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\t失效率\n"); for(x=0;x<=15;x+=0.1) { f=1/b/sqrt(2*PI)*exp(-0.5*((x-a)/b)*((x-a)/b));/* 计算*/ F=F+f*0.1; R=1-F; FailureRate=f/R; fprintf(fp,"%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\t%3.4lf\n",x,f,F,R,FailureRate);/*写数据*/ } x=0;f=0;F=0;R=0; /* 重置计算值*/ printf("\t计算完毕\n\n"); printf("要继续计算下一组正态分布数据点吗？\n"); printf("继续请按1\t否则按0\n"); /* 是否继续？*/ scanf("%lf",&t); if(t==0) break; } system("cls"); /* 清屏*/ fclose(fp); /* 关闭文件*/ } void DuiShuZhengTai_FenBu() /* 对数正态分布*/ { double x,f,F,R,FailureRate,a,b,t; x=0;f=0;F=0;R=0;FailureRate=0; FILE *fp; fp=fopen("c:/对数正态分布.xls","a"); /* 以追加写方式打开文件*/ if(fp==NULL) { printf("Can not open the file3!\n"); return; } printf("您选择对数正态分布\n\n"); for( ; ; ) { printf("请输入参数：对数均值对数标准差(大于0)\n"); scanf("%lf%lf",&a,&b); if(b<=0) { printf("数据无效！请重新输入\n"); /* 数据不符合要求*/ continue; } fprintf(fp,"对数正态分布\n对数均值为%lf 对数标准差为%lf\n",a,b); fprintf(fp,"x\tf(x)\tF(x)\tR(x)\t失效率\n"); for(x=0.1;x<=4;x+=0.1) { 第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。 第一节基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。 关于可靠性分布函数 及其 工程应用的讨论 学号：0７1２3０320 姓名：喻浩文 ?目录 一、引言..................................................... 错误!未定义书签。 二、分布函数及其应用的讨论................................... 错误!未定义书签。 （一）、指数分布.......................................... 错误!未定义书签。 １.定义: ............................................. 错误!未定义书签。 ２．指数分布的可靠度与不可靠度函数................... 错误!未定义书签。 3．图像分析.......................................... 错误!未定义书签。 4.应用?错误!未定义书签。 （二）、正态分布.......................................... 错误!未定义书签。 １.定义:?错误!未定义书签。 ２.正态分布的可靠度与不可靠度函数.................... 错误!未定义书签。 3.失效率函数?错误!未定义书签。 4.图像分析........................................... 错误!未定义书签。 5.应用............................................... 错误!未定义书签。 （三）、对数正态分布?错误!未定义书签。 1.定义: .............................................. 错误!未定义书签。 ２.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数?错误!未定义书签。 3．对数正态分布失效率?错误!未定义书签。 4.图像分析........................................... 错误!未定义书签。 5应用............................................... 错误!未定义书签。 (四）、威布尔分布?错误!未定义书签。 1.三参数威布尔分布的定义:?错误!未定义书签。 ２．可靠度与不可靠度函数?错误!未定义书签。 3.威布尔分布失效率?错误!未定义书签。 4.图像分析?错误!未定义书签。 5．应用.............................................. 错误!未定义书签。 三、小结..................................................... 错误!未定义书签。参考文献?错误!未定义书签。 附录?错误!未定义书签。 正态概率图(normal probability plot) 方法演变：概率图，分位数-分位数图( Q- Q) 概述 正态概率图用于检查一组数据是否服从正态分布。是实数与正态分布数据之间函数关系的散点图。如果这组实数服从正态分布，正态概率图将是一条直线。通常，概率图也可以用于确定一组数据是否服从任一已知分布，如二项分布或泊松分布。 适用场合 ·当你采用的工具或方法需要使用服从正态分布的数据时； ·当有50个或更多的数据点，为了获得更好的结果时。 例如： ·确定一个样本图是否适用于该数据； ·当选择作X和R图的样本容量，以确定样本容量是否足够大到样本均值服从正态分布时；·在计算过程能力指数Cp或者Cpk之前； ·在选择一种只对正态分布有效的假设检验之前。 实施步骤 通常，我们只需简单地把数据输入绘图的软件，就会产生需要的图。下面将详述计算过程，这样就可以知道计算机程序是怎么来编译的了，并且我们也可以自己画简单的图。 1将数据从小到大排列，并从1～n标号。 2计算每个值的分位数。i是序号： 分位数＝(i－0.5)/n 3找与每个分位数匹配的正态分布值。把分位数记到正态分布概率表下面的表A.1里面。然后在表的左边和顶部找到对应的z值。 4根据散点图中的每对数据值作图：每列数据值对应个z值。数据值对应于y轴，正态分位数z值对应于x轴。将在平面图上得到n个点。 5画一条拟合大多数点的直线。如果数据严格意义上服从正态分布，点将形或一条直线。将点形成的图形与画的直线相比较，判断数据拟合正态分布的好坏。请参阅注意事项中的典型图 形。可以计算相关系数来判断这条直线和点拟合的好坏。 示例 为了便于下面的计算，我们仅采用20个数据。表5. 12中有按次序排好的20个 值，列上标明“过程数据”。 下一步将计算分位数。如第一个值9，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(1－0.5)/20＝0.5/20＝0.025 同理，第2个值，计算如下： 分位数＝(i－0.5)/n＝(2－0.5)/20＝1.5/20＝0.075 可以按下面的模式去计算：第3个分位数=2.5÷20，第4个分位数＝3 5÷20 以此类推直到最后1个分位数＝19. 5÷20。 现在可以在正态分布概率表中查找z值。z的前两 个阿拉伯数字在表的最左边一列，最后1个阿拉伯数 字在表的最顶端一行。如第1个分位数＝0. 025，它位 于－1.9在行与0.06所在列的交叉处，故z＝－1.96。 用相同的方式找到每个分位数。 如果分位数在表的两个值之间，将需要用插值法 进行求解。例如：第4个分位数为0. 175，它位于0.1736 与0.1762之间。0.1736对应的z值为－0.94，0.1762 对应的z值为－0.93，故 这两数的中间值为z＝－0.935。 现在，可以用过程数据和相应的z值作图。图表5. 127显示了结果和穿过这些点的直线。注意：在图形的两端，点位于直线的上侧。这属于典型的右偏态数据。图表5.128显示了数据的直方图，可进行比较。 概率图( probability plot) 该方法可以用于检验任何数据的已知分布。这时我们不是在正态分布概率表中查找分位数，而是在感兴趣的已知分布表中查找它们。 分位数-分位数图（quantile-quantile plot） 同理，任意两个数据集都可以通过比较来判断是否服从同一分布。计算每个分布的分位数。一个数据集对应于x轴，另一个对应于y轴。作一条45°的参照线。如果这两个数据集来自同一分布，那么这些点就会靠近这条参照线。 注意事项 ·绘制正态概率图有很多方法。除了这里给定的程序以外，正态分布还可以用概率和百分数来表示。实际的数据可以先进行标准化或者直接标在x轴上。 ·如果此时这些数据形成一条直线，那么该正态分布的均值就是直线在y轴截距，标准差就是直线斜率。 ·对于正态概率图，图表5.129显示了一些常见的变形图形。 短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈S型。表明数据比标准正态分布时候更加集中靠近均值。 长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲——如果倾斜向右看，图形呈倒S型。表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。 第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。 工程结构设计安全与可持续发展研讨会论文 2010年 非概率可靠性理论与边坡稳定分析 刘春原，张军其，龚攀，宋海超 (河北工业大学，天津 300401) 摘要：某高速公路的路线高填方路基左侧路基发生滑移，按常规计算（极限平衡法）的安全系数为K=1.55，其概率可靠度指标β=3.1，失效概率为P f =0.001。通过引入区间分析理论，建立非概率可靠性计算模型。其非概率可靠性指标η=0.7，表明非概率可靠性理论在没有足够的数据信息和可行的主观分布假设下也能得到比较准确的结果。 关键词：安全系数法路基边坡稳定性概率可靠性非概率可靠性区间分析模型 Non-probabilistic slope stability analysis LIU Chun-yuan, Zhang Jun-qi, Gong Pan, Song Hai-chao (Hebei University of Technology, Tianjin,300401, China) Abstract:A high filled subgrade of a highway slipped on the left of the line. According to conventional calculations (limit equilibrium method) ,we can know that the safety factor K = 1.55 and t he probability of reliability index β = 3.1, failure probability P f = 0.001. Through the introduction of interval analysis theory, non-probabilistic reliability calculation model is established, and the non-probabilistic reliability index is η = 0.7. Showing that the non-probabilistic reliability theory in the absence of adequate data distribution of information and possible subjective assumptions can also obtain more accurate result s Key words:safety factor method; subgrade slope stability; probabilistic reliability; non-probabilistic reliability; interval model 0前言 随着沿海地区高速公路建设的快速发展，软土地区高填方路基稳定性评价是沿海高速公路建设与施工中亟待解决的重要问题。同时路基失稳分析也是岩土工程中十分重要的研究课题之一，工程实践表明[1]，用极限平衡理论计算得安全系数K不足以全面评价路基稳定性状态，而有关研究表明[2-6]，概率可靠性模型在用于路基稳定性的可靠性分析时存在着两方面的重大缺陷。一是由于土体的性质存在很大的变异性，概率可靠性模型的适用性较差；二是土体的参数统计属于小样本问题，在主观的分布假设下，概率可靠性计 算的结果将会失真。因此，研究非概率的可靠性方法[7]，不但可使可靠性理论进一步完善，使不确定性的评价更为合理，而且也是非常必要的。 九十年代,Ben-Haim[10]提出了基于凸集模型的非 概率可靠性方法。一些学者[11,12]也提出了基于非概率模型的结构优化设计方法。在工程数据（参数）缺乏足够数量难以准确定义概率模型时,非概率可靠性方法是一种较好的选择。在实际工程中一般都能容易的给出各参数的变化区间,而不是概率分布, 由于非概率模型对已知数据的要求相对较低,所以非概率可靠性分析方法具有较好的工程实用性。 1 非概率可靠度性分析方法 非概率可靠性的基本思想是通过系统波动范围与要求的变化范围相比较，以确定结构的安全性，有时也称 收稿日期： 作者简介：刘春原（1957年- ），男，陕西黄陵县人，河北工业大学教授、博士生导师。 基金项目：河北省自然科学基金（E2008000075） 概率思考题 1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。 请问，该主持人的说法是否正确？ 2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？ 3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？ 4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？ 5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？ 6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？ 7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？ 8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？ 9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？ 练习题 1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。 3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。 试求这种零件的次品率。 4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。 5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？ 6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。 7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。则第二次取出的是次品的概率为多少？ 8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出以一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少；（2）若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少？ 9．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？ 10．设M件产品中有件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另 2．4正态分布 复习引入： 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积． 观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课： 一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位． 说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 名 称记号概率分布及其定义域、参数 条件 均值 E(X) 方差 D(X) 图形 二 项 分 布 np npq 二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工 作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。 返回 可靠性中常用的概率分布 名称记号概率分布及其定义域、参 数条件 均值 E(X) 方差 D(X) 图形 泊松 分布 P（λ） λλ 泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一 随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出 现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开 始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。例 如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字 通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从 泊松分布。 名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值 E(X) 方差D(X)图形 超几何分 布 H(n,M,N) 返回 可靠性中常用的概率分布名 称记号概率分布及其定义域、参数条件 均值 E(X) 方差 D(X) 图形 指 数 分 布 e(λ) 指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。 有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。 可靠性中常用的概率分布 名称记号概率分布及其定义域、 参数条件 均值E(X)方差D(X)图形 第六章 概率与概率分布 第一节 概率论 随机现象与随机事件·事件之间的关系（事件和、事件积、事件的包含与相等、互斥事件、对立事件、互相独立事件）·先验概率与古典法·经验概率与频率法 第二节 概率的数学性质 概率的数学性质（非负性、加法规则、乘法规则）·排列与样本点的计数·运用概率方法进行统计推断的前提 第三节 概率分布、期望值与变异数 概率分布的定义·离散型随机变量及其概率分布·连续型随机变量及其概率分布·分布函数·数学期望与变异数 一、填空 1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ 机会均等 ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或 )(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ 概率 ）。 3．如果A 和B （ 互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．（ 大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。 5．抽样推断中，判断一个样本估计量是否优良的标准是（ 无偏性 ）、（ 一致性 ）、（ 有效性 ）。 6．抽样设计的主要标准有（ 最小抽样误差原则 ）和（ 最少经济费用原则 ）。 7．在抽样中，遵守（ 随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。 8．抽样平均误差和总体标志变动的大小成（ 正比 ），与样本容量的平方根成（ 反比 ）。如果其他条件不变，抽样平均误差要减小到原来的1/4，则样本容量应（ 增大到16倍 ）。 9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ 互斥 ）事件。 10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（ 1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．古典概率的特点应为（A ） A 、基本事件是有限个，并且是等可能的； B 、基本事件是无限个，并且是等可能的； C 、基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； 参考医学 正态分布概率表 1 — f? 0( u )= t P⑴t F(t)t F(0t卩⑴0.00 0.000 00.230. 181 9 0.46 0.354 5 W9 0. 50 9 8 0.01 0.008 00.24 0. 1H9 70.47 0.361 6 0.70 0,516 1 0+02 0,0160 0. 25 0,197 4 0,48 0.368 80+71 0.522 3 0.03 0*023 9(1. 26 0.205 1 0.49 0.375 9 0.72 0. 52 8 5 044 0.031 9(1.27 0,212 8 0.50O.3R2 9 0.73 "4 6 0R5 0039 90.28 0.220 5 0,51 0.389 9 0.74 0.540 7 0.06 0.047 80.29 0.228 20.52 036 9 0.75 0*546 7 0+07 0 €55 g0,30 0,235 8 0,53 0.403 9 276 0.552 7 0+08 0.063 80 31 0.243 4 0.54 0.410 8 0+77 0.558 7 0+09 (1.(171 7(J. 32 0.251 00.55 0.417 70.78 0.564 6 0. 10 0.0797 fl. 33 0.258 6 0.56 0,424 50.79 0.570 5 0.110,(J87 60.34 0.266 1 0.57 0.431 3 0.B0 0.576 3 0.12 0.09$ 50. 35 0.273 7 0.5S 0.43S 10.S1 O.5S2 1 0+13 OJ03 40. 36 0.281 20.59 0.444 8 0+82 0.587 8 0+14 (1.111 3 0. 37 0.288 6 0.60 0.451 5 M3 0.593 5 0.15 0J19 2 0. 38 0.296 1 0.61 0.458 10.84 0.599 1 0+160.127 10.39 0. 303 50.62 0.464 7 0.85 0.604 7 0.17 0.135 0 040 0330 8 0.63 0.471 3 0.S6 0.610 2 0+18 0.142 S0.41 0.318 20,64 0.477 8 0.87 0.6157 0+19 0.150 7 0 42 0, 325 50.650.484 3 0.88 0.621 1 0,20 0J58 5(J. 43 0. 332 8 0.66 0.490 10.89 0 . 62 6 5 0,21 0J66 3(J.44 0,340 1 0.67 0.497 10.90 0.631 9 0 + 220.174 10.45 0347 3 0.68 0.503 50.91 0.637 2 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 第三章概率、概率分布与抽样分布 计算题： 1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。 2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。 3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？ 4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。 5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。 6. 某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？ 7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样 的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的回答；⑵对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率呢？在209美元和217美元之间的概率呢？ 解： a. 正态分布, 213, b. , , 连续型随机变量的分布 (一)连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X的分布函数F(X),若存在非负函数f(x),使 对于任意的实数x,有F(W(M，则称X为连续性随机变量，f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 注：尺劝表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为 lo 2 .密度函数f(x)的性质：注：不是概率。 1)??f(x)M0?? 2)? j f(x)dx = \ 3)P{x, < X < x2} = ~f(x)(/x =F(x2) -F(Xj) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{X = x} = 0.(但{脸力并不一定是不可能事件) 因此PQWXWb)二P(a 注：iv)与离散型随机变量不同, 易知 Generated by Foxit PDF Creator ? Foxit Software https://www.wendangku.net/doc/854522498.html, For evaluation only. 教学内容、设计与时间安排： A.随堂测试（30分钟） 测试内容：统计数据的整理与显示 测试内容详见阶段测试二 答案及采分点详见阶段测试文件 B.课程导入（10分钟） 美国鱼类和野生动物管理局要求对任何一次捕捞，每只扇贝的平均重量至少为磅，该要求旨在保护小扇贝。 一只渔船抵达马萨诸塞州一个港口，船上装着11000袋扇贝，港口负责人随机挑选了100袋检查重量。港口员工从每一袋中取出一大勺扇贝，然后用着一大勺扇贝的重量除以扇贝的数量，以此估算出袋子中每只扇贝的平均重量。根据用这种方法所产生的100个样本统计量，港口负责人估算出该渔船的每只扇贝平均重量为磅。样本标准差为.联邦政府认为这是违反重量标准的确凿证据，立刻没收了该渔船95%的扇贝并随后将其进行拍卖。 渔船主对美国政府非常不满，船长宣城渔船完全遵守了重量标准，并对政府提出了诉讼。他聘请了波士顿一家律师事务所为代表，该律师事务所想请你来评定该渔船主是否有理由对联邦政府提出诉讼。你该怎么办 C.新课讲授（50分钟） 一、随机事件的几个基本概念（10分钟） 1、实验 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果 2、 事件 1. 事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合) 例如：掷一枚骰子出现的点数为3 2. 随机事件(random event)：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数 3. 必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用?表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 4. 不可能事件(impossible event)：每次试验一定不出现的事件，用?表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6 3、 事件与样本空间 1. 基本事件(elementary event) 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 例如：点数大于2，奇数点 2. 样本空间(eample Space) 一个试验中所有基本事件的集合，用?表示 例如：在掷枚骰子的试验中，??{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，??{正面，反面} 4、 事件的关系和运算 包含、并与和、交与积、互斥、对立、差 二、 事件的概率（10分钟） 1、 古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A 发生的概率为该事件所包含的基本事件个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为 【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从 该公司中随机抽取1人，问： （1）该职工为男性的概率 （2）该职工为炼钢厂职工的概率 某钢铁公司所属企业职工人数 工厂 男职工 女职工 合计 事件个数 样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数 事件n m A A P ＝事件个数样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数事件 )( 图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程： f(x)= （6.16 ） 式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.14 159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ，但对某一定总体的μ是一个常数；δ也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ，但对某一定总体的δ是一个常数。 上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作 N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ 2 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。 （二）正态分布的特性 1 、正态分布曲线是以 x= μ为对称轴，向左右两侧作对称分布。因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。 2 、正态分布曲线有一个高峰。随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ时， f(x) 最大；在（μ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。 3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ处有拐点。曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。 4 、正态曲线是由μ和δ两个参数来确定的，其中μ确定曲线在 x 轴上的位置 [ 图 6-3] ，δ确定它的变异程度 [ 图 6-4] 。μ和δ不同时，就会有不同的曲线位置和变异程度。所以，正态分布曲线不只是一条曲线，而是一系列曲线。任何一条特定的正态曲线只有在其μ和δ确定以后才能确定。 5 、正态分布曲线是二项分布的极限曲线，二项分布的总概率等于 1 ，正态分布与 x 轴之间的总概率（所研究总体的全部变量出现的概率总和）或总面积也应该是等于 1 。而变量 x 出现在任两个定值 x1到x2(x1≠x2)之间的概率，等于这两个定值之间的面积占总面积的成数或百分比。正态曲线的任何两个定值间的概率或面积，完全由曲线的μ和δ确定。常用的理论面积或概率如下： 区间μ ± 1 δ面积或概率 =0.6826 μ ± 2 δ =0.9545 μ ± 3 δ=0.9973 μ± 1.960δ=0.9500 μ ±2.576 δ =0.9900 4．6 可靠性设计的基本概念与方法 一、结构可靠性设计概念 1．可靠性含义 可靠性是指一个产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力；而一个工业产品(包括像飞机这样的航空飞行器产品)由于内部元件中固有的不确定因素以及产品构成的复杂程度使得对所执行规定功能的完成情况及其产品的失效时间(寿命)往往具有很大的随机性，因此，可靠性的度量就具有明显的随机特征。一个产品在规定条件下和规定时间内规定功能的概率就称为该产品的可靠度。作为飞机结构的可靠性问题，从定义上讲可以理解为：“结构在规定的使用载荷／环境作用下及规定的时间内，为防止各种失效或有碍正常工作功能的损伤，应保持其必要的强刚度、抗疲劳断裂以及耐久性能力。”可靠度则应是这种能力的概率度量，当然具体的内容是相当广泛的。例如，结构元件或结构系统的静强度可靠性是指结构元件或结构系统的强度大于工作应力的概率，结构安全寿命的可靠性是指结构的裂纹形成寿命小于使用寿命的概率；结构的损伤容限可靠性则一方面指结构剩余强度大于工作应力的概率，另一方面指结构在规定的未修使用期间内，裂纹扩展小于裂纹容限的概率．可靠性的概率度量除可靠度外，还可有其他的度量方法或指标，如结构的失效概率F(c)，指结构在‘时刻之前破坏的概率；失效率^(()．指在‘时刻以前未发生破坏的条件下，在‘时刻的条件破坏概率密度；平均无故障时间MTTF(MeanTimeToFailure)，指从开始使用到发生故障的工作时间的期望值。除此而外，还有可靠性指标、可靠寿命、中位寿命，对可修复结构还有维修度与有效度等许多可靠性度量方法。 2．.结构可靠性设计的基本过程与特点 设计一个具有规定可靠性水平的结构产品，其内容是相当丰富的，应当贯穿于产品的预研、分析、设计、制造、装配试验、使用和管理等整个过程和各个方面。从研究及学科划分上可大致分为三个方面。 (1)可靠性数学。主要研究可靠性的定量描述方法。概率论、数理统计，随机过程等是它的重要基础。 (2)可靠性物理。研究元件、系统失效的机理，物理成固和物理模型。不同研究对象的失效机理不同，因此不同学科领域内可靠性物理研究的方法和理论基础也不同． (3)可靠性工程。它包含了产品的可靠性分析、预测与评估、可靠性设计、可靠性管理、可靠性生产、可靠性维修、可靠性试验、可靠性数据的收集处理和交换等．从产品的设计到产品退役的整个过程中，每一步骤都可包含于可靠性工程之中。 由此我们可以看出，结构可靠性设计仅是可靠性工程的其中一个环节，当然也是重要的环节，从内容上讲，它包括了结构可靠性分析、结构可靠性设计和结构可靠性试验三大部分。结构可靠性分析的过程大致分为三个阶段。 一是搜集与结构有关的随机变量的观测或试验资料，并对这些资料用概率统计的方法进行分析，确定其分布概率及有关统计量，以作为可靠度和失效概率计算的依据。概率与概率分布
可靠性概率分布
正态概率图(normal probability plot)
统计学统计学概率与概率分布练习题
非概率可靠性理论与边坡稳定分析
MXT-概率与概率分布习题
正态分布讲解(含标准表)
可靠性中常用的概率分布
统计学习题 第六章 概率与概率分布
正态分布概率表
连续型随机变量的分布与例题讲解
概率与概率分布习题及答案
连续型随机变量的分布与例题讲解
正态分布概率公式(部分)
图 62正态分布概率密度函数的曲线 正态曲线可用方程式表示。 n 当 →∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态 分布曲线的方程：
fx= （61 ） () .6
式中： x—所研究的变数； fx —某一定值 x出现的函数值，一般称为概率 () 密度函数 （由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某 一区间的概率， 不能计算变量取某一值， 即某一点时的概率， 所以用 “概率密度” 一词以与概率相区分），相当于曲线 x值的纵轴高度； p—常数，等于 31 .4 19……； e— 常数，等于 2788……； μ 为总体参数，是所研究总体 5 .12 的平均数， 不同的正态总体具有不同的 μ ， 但对某一定总体的 μ 是一个常数； δ 也为总体参数， 表示所研究总体的标准差， 不同的正态总体具有不同的 δ ， 但对某一定总体的 δ 是一个常数。 上述公式表示随机变数 x的分布叫作正态分布， 记作 N μ ,δ2 )， “具 ( 读作 2 平均数为 μ，方差为 δ 的正态分布”。正态分布概率密度函数的曲线叫正态 曲线，形状见图 62。 （二）正态分布的特性
1、正态分布曲线是以 x μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。因 =
的
数值无论正负， 只要其绝对值相等， 代入公式 61 ） （ .6 所得的 fx 是相等的， () 即在平均数 μ 的左方或右方，只要距离相等，其 fx 就相等，因此其分布是 () 对称的。在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于 μ 点上。教案6概率与概率分布
正态分布概率公式(部分)
可靠性设计的基本概念与方法讲解