人教版数学-竞赛培训专题1-----等差数列与等比数列

竞赛培训专题1-----等差数列与等比数列

例1.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13

解：由求和公式

知问题转化为求a7

由条件得：a7=12

例2.已知数列{a n}满足

(1)计算：a2,a3,a4(2)求数列的通项公式

解：(1)由可计算出

a2= -1,a3=，a4= -1

有两种解法，一由a2,a3,a4的值猜想通项公式然后用数学归纳法证明

二是由已知得：

(*)

两式相减得：(a n-1-1)(a n-a n-2)=0

显然不存在a n-1-1=0的情况，否则代入(*)有a n=a n+1即0=1矛盾，故只有a n=a n-2

这样可得或

例3.已知数列{a n}的各项均为正数，且前n项之和S n满足6S n=a n2+3a n+2.若a2，a4,a9成等比数列，求数列的通项公式。

解：当n=1时，由题意有6a1=a12+3a+2

于是a1=1 或a1=2

当n32时，有6S n=a n2+3a n+2，6S n-1=a n-12+3a n-1+2

两式相减得：(a n+a n-1) (a n-a n-1-3)=0

由题意知{a n}各项为正，所以a n-a n-1=3

当a1=1时，a n=1+3(n-1)=3n-2

此时a42=a2a9成立

当a1=2时，a n=2+3(n-1)=3n-1

此时a42=a2a9不成立，故a1=2舍去

所以a n=3n-2

例4.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有多少项？

解设a1,a2…,a n是公差为4的等差数列，则

a12+a2+a3+…+a n￡100,

即

a12+(n-1)a1+(2n2-2n-100)￡0(1)

因此，当且仅当D=(n-1)2-4(2n2-2n-100)30时，至少存在一个实数a1满足(1)式。

因为D30，所以

7n2-6n-401￡0,

解得n1￡n￡n2(2)

其中，所以满足(2)的自然数n的最大

值为8。故这样的数列至多有8项。

例5.各项均为实数的等比数列{a n}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。

解记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{a n}的公比，则b1,b2,b3,b4构成以r=q10为公比的等比数列。于是

70=S30=b1+b2+b3

=b1(1+r+r2)

=10(1+r+r2)

即r2+r-6=0. 解得r=2 或r=-3

由于r=q10>0 , 所以r=2

故S40=10(1+2+22+23

例6.给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+a n+12￡M的所有等差数列a1,a2,a3…试求

S=a n+1+a n+2+…+a2n+1的最大值。

解设公差为d,a n+1=a. 则

S=a n+1+a n+2+…+a2n+1

=(n+1)a+

故

又M3a12+a n+12

=(a-nd)2+a2

=

所以|S|

且当时，

S=

=

=

由于此时4a=3nd，所以

所以S的最大值为。

例7.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项之和为972，这样的数列共有多少个？

解设等差数列首项为a，公差为d，依题意有

即[2a+(n-1)d]n=2′972, (3)

因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2′97,972,2′972四者之一。若d>0,则由(3)知

2′9723n(n-1)d3n(n-1).

故只可能有n=97.于是(3)化为a+48d=97.

此时可得n=97,d=1,a=49 或n=97,d=2,a=1.

若d=0时，则由(3)得na=972,此时n=97,a=97 或n=972,a=1。

故符合条件的数列共有4个。

例8.设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是前n项之和

(1)证明

(2)是否存在常数c>0，使得成立，并证明你的结论

证明：(1)设{a n}的公比为q,由已知得：a1>0,q>0

i)当q=1时，S n=na1,从而，

S n×S n+2-S n+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12= -a12<0

ii)当q11时，

∴

由i)、ii)均有S n×S n+2

(2)要使成立，则有

分两种情况讨论

i)当q=1时

(S n-c)×(S n+2-c)-(S n+1-c)2=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2= -a12<0

即不存在常数c>0使结论成立

ii)当q11时，若条件(S n-c)×(S n+2-c)=(S n+1-c)2成立，则

(S n-c)×(S n+2-c)-(S n+1-c)2=

= -a1q n[a1-c(1-q)]

而a1q n10，故只能是a1-c(1-q)=0

即，此时，由于c>0,a1>0，必须0

不满足S n-c>0，即不存在常数c>0满足条件

综合i)、ii)可得，不存在常数c>0，满足题意

例9.设任意实数x,y满足|x|<1,|y|<1,求证：(第19届莫斯科数学竞赛试题)

证明：∵|x|<1,|y|<1，∴x2<1,y2<1，故

=(1+x2+ x4+ x6+…)+(1+ y2+ y4+ y6+…)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+…

≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=

例10.设x,y,z为非负实数，且x+y+z=1,求证：0￡xy+yz+zx-2xyz￡

证明：由对称性，不妨设x3y3z∵x+y+z=2×

∴x+y,, z成等差数列，故可设x+y=+d,z=-d

由x+y32z，得，则

xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=30

当且仅当x=1,y=z=0时取等号

又￡

=

当且仅当x=y=z=时取等号

故0￡xy+yz+zx-2xyz￡

例11.解方程组

解：由(1)得解得

即xy=15=,则x,，y成等比数列，于是可设x=q,y=代入(2)整理得：

15q4-34q2+15=0

解得：

故经检验都是原方程组的解

例12.解方程：

解：显然成等差数列，故可设

(1)2-(2)2得

-2(3x+2)= -2(3x+2)d解得d=1或

当d=1时，代入(1)解得是增根，舍去

∵符合题意，∴是原方程的根

例13.等差数列{a n}中，，试求(l-m)ab+(m-n)bc+(n-l)ca的值

解：在直角坐标系中，对于任意n?N,点(n,a n)共线，所以有，点

共线，于是

，由，化简得：

，所以

=

所以所求的值为0

例14.从n个数1,a, a2,…, a n (a>2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等

证明：当a>2时，，上式对任意k?N成立，

不妨设剩下的数中最大的数a m(m31)在第一部分中，

则第一部分各数之和3a m>1+a+…+a m-13第二部分之和

作业：

1.设{a n}是等比数列，首项a1>1,公比q>1，求证：数列{}是递减数列

2.确定最大的实数z，使得x+y+z=5，xy+yz+zx=3，并且x与y也是实数

3.将奇数{2n-1}按照第n组含有n个数的规则分组：

1，

3,5

7,9,11,

13,15,17,19

…………………

(1)求第8组中的所有奇数

(2)求1993属于第几组中的第几号数

(3)求第100组中所有奇数的和

(4)求前100组的全体奇数的总和

4.设{a n}与{b n}分别是等差数列和等比数列，且a1=b1>0，a2=b2>0试比较a n和b n的大小

5.设S={1,2,3,…,n}，A为至少含有两项的公差为正的等差数列，其每一项均在S中，且添加S中的其它元素于A以后，均不能构成与A有相同公差的等差数列，求这种数列A的个数(只有两项的数列也看成等差数列)

6.数列{a n}的前n项之和为S n，若S1=1且S n1=S n+(5n+1)a n,n=1,2,…,|a|11，求S n

摘自数学教育之窗

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

等差数列和等比数列的总结与联系

等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。

例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：

微专题11等差数列与等比数列(教学案)

微专题11等差数列与等比数列 1.掌握并活用等差、等比数列的基本量和性质，进行基本运算． 2.运用定义域分析通项公式，判断或证明一个数列是等差(比)数列． 3.从分析数列特征入手，综合运用通项公式、求和公式、不等式、函数等方法求解最值或参数范围问题． 考题导航题组一等差数列、等比数列的基本量及基本运算 1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝________． 2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 1.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________． 2.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2 ＝________．题组二等差数列、等比数列的判定与证明 1.已知数列{a n }的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝a n 4a n ＋1 ，则a n ＝________．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

1.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n＋1，则S6＝________． 2.设数列{a n}中，S1＝1，S2＝2，S n＋1－3S n＋2S n－1＝0(n≥2)，则命题“{a n}是等比数列”是________命题．(填“真”或“假”) 题组三与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问 题 1.设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为________． 2.已知数列{a n}为等差数列，若a7 a6 <－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为________． 3.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n的最小值为________． 1.已知首项为3 2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设T n＝S n－1 S n (n∈N*)，求数列{T n}最大项的值与最小项的值．

初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值

初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值 分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值． 例1 化简分式： 分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多． ＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］ 说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式． 例2 求分式 当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， 可将分式分步通分，每一步只通分左边两项． 例3 若abc=1 ，求 分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法． 解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零． 解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0． 例4 化简分式：

分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分 母分解因式，然后再化简． 说明 互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法， 它是分式化简中常用的技巧． 例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)： 似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解 说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求 分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成 (x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解． 解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w ，则分式变为 u 2+v 2+w 2 +2(uv+vw+wu)=0． 由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2 +v 2 +w 2 ≠0，从而有 说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算 过程简化． 例7 化简分式： 适当变形，化简分式后再计算求值． (x -4)2 =3，即x 2 -8x+13＝0． 原式分子=(x 4 -8x 3 +13x 2 )+(2x 3 -16x 2 +26x)+(x 2 -8x+13)+10 =x 2 (x 2 -8x+13)+2x(x 2 -8x+13)+(x 2 -8x+13)+10

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

高中数学竞赛培训工作总结

高中数学竞赛培训工作总结篇一：高中数学竞赛精华(小结) 高中数学竞赛精华小结 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）：半角公式： sin 21cos 2 1cos 2 1cos1cossin 1cossin1coscos2tan 2 积化和差： sincos1sinsin 2 1cossinsinsin 2 1coscoscoscos 2 1sinsincoscos 2 和差化积： sinsin2sin

22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 万能公式： cos sin22tan 21tan 1tan2cos2 21tan tan22tan 1tan2 三倍角公式： sin33sin4sin34sin60sinsin60 cos34cos33cos4cos60coscos60 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去。 举个例子

246coscos 777 2提示：乘以2sin，化简后再除下去。 7求值：cos 求值：cos10cos50sin40sin80 来个复杂的 设n为正整数，求证22sin i1ni2n1 2n12n 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲。 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x为锐角，则sinxxtanx；还有就是正余弦的有界性。例 求证：x为锐角，sinx+tanx 设xyz 12，且xyz 2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值。 注：这个题目比较难 数列 1给递推式求通项公式 (1)常见形式即一般求解方法 ①an1panq 若p=1，则显然是以a1为首项，q为公差的等差数列，若p≠1，则两边同时加上qq，变为an1p1p1qpanp1 显然是以a1q为首项，p为公比的等比数列 p1

初中数学竞赛专题培训 -生活中的数学(2)

初中数学竞赛专题培训第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米(图2-171)，那么买哪种鱼更便宜呢？ 有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13∶10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算．这种想法是合理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！ 在平面几何中，我们已经知道以下定理． 定理1 相似形周长的比等于相似比． 定理2 相似形面积的比等于相似比的平方． 例1 已知：△ABC∽△A′B′C′，并且AB=2c，BC＝2a，AC=2b，A′B′＝3c， B′C′=3a，A′C′=3b．求证：△ABC和△A′B′C′周长的比是2∶3(图2-172)． 证△ABC的周长是 2a＋2b＋2c=2(a＋b＋c)， △A′B′C′的周长是 3a＋3b+3c=3(a＋b＋c)， 所以△ABC和△A′B′C′的周长的比是 2(a+b+c)∶3(a＋b＋c)=2∶3． 例2 图2-173是两个相似矩形，如果它们的相似比是3∶4，求证：它们面积的比是32∶42． 证矩形ABCD的面积是3a·3b=32ab，矩形A′B′C′D′的面积是4a·4b=42ab，所以矩形ABCD和矩形A′B′C′D′的面积之比是 32ab∶42ab=32∶42． 从定理1和定理2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子． 例3 图2-174是两个相似的长方体，它们的相似比为3∶5，求它们的体积之比． 解长方体(a)的体积是3a·3b·3c=33abc， 长方体(b)的体积是5a·5b·5c=53abc， 所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是 33abc∶53abc＝33∶53 例4 图2-175是两个相似圆柱，它们的相似比为2∶3，求它们的体积之比． 解小圆柱的体积是 (2a)2π·2b＝23a2bπ，大圆柱的体积是 (3a)2π·3b＝33a2bπ，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为23∶33． 定理3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方．

等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)

1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列， 其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.

初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值

初中数学竞赛专题培训第六讲代数式的求值 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 1．利用因式分解方法求值 因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用． 分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件． 解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以 6x4+15x3+10x2 =(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1 =(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1 =0+1=1． 说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答． 例2 已知a，b，c为实数，且满足下式： a2+b2+c2=1，① 求a+b+c的值． 解将②式因式分解变形如下 即 所以 a+b+c=0或bc+ac+ab=0． 若bc+ac+ab=0，则 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab) =a2+b2+c2=1， 所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1． 说明本题也可以用如下方法对②式变形： 即 前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式． 2．利用乘法公式求值 例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值． 解因为x+y=m，所以 m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy， 所以 求x2+6xy+y2的值． 分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法． 解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3．设参数法与换元法求值

初中数学竞赛专题培训

第一讲：因式分解(一) (1) 第二讲：因式分解(二) (4) 第三讲实数的若干性质和应用 (7) 第四讲分式的化简与求值 (10) 第五讲恒等式的证明 (13) 第六讲代数式的求值 (16) 第七讲根式及其运算 (19) 第八讲非负数 (23) 第九讲一元二次程 (27) 第十讲三角形的全等及其应用 (30) 第十一讲勾股定理与应用 (34) 第十二讲平行四边形 (37) 第十三讲梯形 (40) 第十四讲中位线及其应用 (43) 第十五讲相似三角形(一) (46) 第十六讲相似三角形(二) .......................................... 49 第十七讲* 集合与简易逻辑 (52) 第十八讲归纳与发现 (57) 第十九讲特殊化与一般化 (61) 第二十讲类比与联想 (65) 第二十一讲分类与讨论 (68) 第二十二讲面积问题与面积法 (72) 第二十三讲几不等式 (75) 第二十四讲* 整数的整除性 (79) 第二十五讲* 同余式 (82) 第二十六讲含参数的一元二次程的整数根问题 (85) 第二十七讲列程解应用问题中的量 (88) 第二十八讲怎样把实际问题化成数学问题 (92) 第二十九讲生活中的数学(三) ——镜子中的世界 (96) 第三十讲生活中的数学(四)──买鱼的学问 (99) 第一讲：因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决多数学问题的有力工具．因式分解法灵活，技巧性强，学习这些法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-… -ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 w

等差等比数列专项练习题(精较版)

等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（） A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（） A、1 4B、 1 3C、 1 3或 1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{ C n }，其通项公式为（）A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（） A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，则数列{a n + b n}的前100项和为（） A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从a15到a30的和是 ______ 。 12、已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 13、在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2 + a3 = 13，则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中，a3 +a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1 = 3，a5 = 11，S7 = 16、已知{a n}为等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 +a4 + a6 = 99，则a20 =

初中数学竞赛专题培训(7)：根式及其运算

初中数学竞赛专题培训第七讲根式及其运算 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析． 二次根式的性质： 二次根式的运算法则： 设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且 仅 当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式． 例1 化简： 法是配方去掉根号，所以 因为x-2＜0，1-x＜0，所以 原式=2-x+x-1=1． ＝a-b-a+b-a+b=b-a． 说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简． 例2 化简： 分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．

解法1 配方法． 配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则 解法2 待定系数法． 例4 化简： (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简． 分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以 看成 解设 两边平方得 ②×③×④得 (xyz)2=5×7×35=352． 因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以 xyz=35．⑤ ⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以 解设原式=x，则

解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解． 将方程左端因式分解有 (x-4)(x2＋4x＋10)＝0． 因为 x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0， 所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4． 解法2 说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法． 例8 化简： 解(1) 本小题也可用换元法来化简． 解用换元法． 解直接代入较繁，观察x，y的特征有 所以

专题10等差数列与等比数列—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编

1.【2017浙江，6】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【考点】 等差数列、充分必要性 【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过公式的套入与简单运算，可知 4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若q p ?，则p 是q 的充分条件，若q p ?， 则 p 是q 的必要条件，该题“0>d ”?“02564>-+S S S ”，故为充要条件． 2.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若 844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）19 2 （C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)2 2 a a +??=+??，解得1a =1 2 ， ∴101119 9922 a a d =+= += ，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 3.【2014高考重庆文第2题】在等差数列{}n a 中,1 352,10a a a =+=，则7a =（ ） .5A .8B .10C .14D 【答案】B

【解析】 试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，1 10216 a d -== 所以，7 16268a a d =+=+=.故选B. 考点：等差数列通项公式. 【名师点睛】本题考查了等差数列的概念与通项公式，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的和相等更能快速作答. 4. 【2014天津，文5】设 {}n a 是首项为1 a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若 ， ，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.2 1 D .1 2- 【答案】D 考点：等比数列 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出. 5. 【2014辽宁文9】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，11122n n a a a a -<，即111212 n n a a a a -<，1 n 1(a ) 21n a a --<， 又n 1a n a d --=，故121a d <，从而10a d <，选C ． 【考点定位】1、等差数列的定义；2、数列的单调性． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等， 解答本题的关键，是写出等差

初中数学竞赛专题培训

初中数学竞赛专题培训第一讲：因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =(a-b+c)2． 本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下： 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b) =(a-b+c)2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立． 如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

等差数列与等比数列

等差数列与等比数列 一.选择题 (1)在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=-2, 则a 25= ( ) A -22 B -24 C 60 D 64 (2) 在等比数列｛a n ｝中, 存在正整数m, 有a m =3, a m+5=24, 则, a m+15= ( ) A 864 B 1176 C 1440 D 1536 (3)已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4)设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{}n a 的前n 项和，则 ( ) A S 4+><，则使前n 项和0n S >成 立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 (7) 数列｛a n ｝的前n 项和S n =3n -c, 则c=1是数列｛a n ｝为等比数列的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列｛a n ｝中, a 1<0, 若对正整数n 都有a n 1 B 0