27)2011年中考数学-梯形

第27章 梯形

一、选择题

1. （2011江苏扬州，7,3分）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 【答案】B

2. （2011山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

3. （2011山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12

【答案】B

4. （2011浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o，对角线BD 、AC 相交于点O 。下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）

（第6题图）

E

D C

B A

（第12题图）

A.∠1=∠4

B.∠1=∠3

C.∠2=∠3

D.OB2+OC2=BC2

【答案】B

5. （2011台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且

∠90

D

C

=

AEC，AD＝3，BC＝9，CD＝8。若以AE为折线，将C折至

?

∠

=

=

∠

BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何？

A．4.5 B。5 C。5.5 D．6

【答案】B

6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD中，A D∥BC，∠BCD=90°, BC =

CD=2AD , E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交

AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确

．．．的是（）

A . CP 平分∠BCD B. 四边形ABED 为平行四边形

C. CQ将直角梯形ABCD 分为面积相等的两部分；

D. △ABF为等腰三角形

【答案】C

7. （2011山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC

＝6，∠B ＝60°，则梯形ABCD 的周长是（ ）

A ．12

B ．14

C ．16

D ．18 【答案】C

8. （2011四川绵阳11，3）如图，在等腰梯形站ABCD 中，AB//CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，∠ABD =30°，AC ⊥BC , AB = 8cm,则△COD 的面积为

A

A. 2

B. 243cm

C. 2

D. 223cm 【答案】A

9. （2011湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =DC =CB ，若∠ABD

＝25°，则∠BAD 的大小是

A ．40°．

B ．45°．

C ．50°．

D ．60°．

【答案】C

10．（2011湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=BC ，点E,F,G,H 分

别是AB,BC ，CD ，

DA 的中点，则下列结论一定正确的是( ). A. ∠HGF = ∠GHE B. ∠GHE = ∠HEF C. ∠HEF = ∠EFG D. ∠HGF = ∠HEF

第7题图

【答案】D

二、填空题

1. （2011福建福州，13，4分）如图4,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90C ∠=o ,则

A B C ∠+∠+∠= 度.

【答案】270

2. (2011 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，

△AOD 与△BOC 的面积之比为1：9，若AD =1，则BC 的长是 ．

【答案】3

3. （2011湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AC ⊥BC ，∠B=60°，BC=2cm ，则上底DC 的长是_______cm 。

【答案】2.提示：∠CAB=90°-60°=30°， 又∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD=∠B=60°， ∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=30°。

又∵CD ∥AB ，∴∠DCA=∠CAB=30°=∠DAC 。 ∴CD=AD=BC=2cm 。

4. （2011江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等

B

C

D

图4

A

腰梯形的对角线长为_______.

【答案】

5. （2011江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC

的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是▲cm．

【答案】15

6. （ 2011重庆江津， 13，4分）在梯形ABCD中,AD∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面

积是___________.

【答案】30·

7. ．(2011江苏南京，10，2分)等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线

长为___________㎝．

【答案】6

8. （2011山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，

则在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．

⑴⑵⑶

【答案】100

9. （2011湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E

是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.

【答案】2或

3

14 10．（2011江苏盐城，15，3分）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图

示画线得到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ▲ ．

D

C

B A

【答案】等腰梯形

三、解答题

1. （2011安徽芜湖，21，8分）如图，在梯形ABCD 中，DC ‖AB ，AD=BC , BD 平分

,60.ABC A ∠∠=

过点D 作D E AB ⊥，过点C 作CF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接

EF ，求证：DEF △为等边三角形.

【答案】

证明:因为DC ‖AB ，,60AD BC A =∠= ，所以60ABC A ∠=∠=

. 又因为BD 平分ABC ∠，所以130.2

ABD CBD ABC ∠=∠=

∠=

……2分 因为DC ‖AB ，所以30BDC ABD ∠=∠=

，所以,CBD CDB ∠=∠ 所以.CB CD = 4分

B

图4

因为CF BD ⊥，所以F 为BD 中点，又因为DE AB ⊥， 所以.DF BF EF == ……6分 由30ABD ∠=

，得60BDE ∠=

，

所以DEF △为等边三角形. ………………8分

2. （2011山东菏泽，17（2），7分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，∠C =45°，AD =1，BC =4， E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于点F ， 求EF 的长．

【答案】解：过点A 作AG ∥DC ，∵AD ∥BC ，

∴四边形AGCD 是平行四边形， ∴GC =AD ，

∴BG =BC －AD =4－1=3， 在Rt △ABG 中，

AG

= ∵EF ∥DC ∥AG ， ∴

12

EF BE AG

AB

==，

∴EF =

1

2

AG

=． 3. （2011山东泰安，27 ，10分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =900，BC =2AD ，E 是BC 的中点，连接AE 、AC .

（1）点F 是DC 上一点，连接EF ，交AC 于点O （如图①），求证：△AOE ∽△COF （2）若点F 是DC 的中点，连接BD ，交AE 于点G （如图②），求证：四边形EFDG 是菱形。

E

B F C

A D

【答案】证明：∵点E 是BC 的中点，BC =2AD ∴EC=BE=12BC=AD

又∵AD ∥EC

∴四边形AECD 为平行四边形 ∴AE ∥DC

∴∠AEO=∠CFO ，∠EAO=∠FCO ∴△AOE ∽△COF （2）证明：连接DE ∵AD ∥BE ，AD =BE

∴四边形ABED 是平行四边形 又∠ABE =900 ∴□ABED 是矩形

∴GE=GA=GB=GD=12BD=12AE

∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点 ∴EF 、GE 是△CBD 的两条中位线 ∴EF=12BD=GD ，GE=1

2CD=DF

又GE =GD ∴EF=GD=GE=DF 则四边形EFDG 是菱形

4. （2011四川南充市，17，6分）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC,点E,F 在BC 上，且BE=CF,连接DE,AF. 求证：DE=AF.

F

E

D

C

B A

【答案】证明：∵BE=FC ∴BE+EF=FC+EF,即BF=CE ∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴AB=DC ∠ B =∠C 在⊿DCE 和⊿ABF 中， DC=AB ∠B =∠C CE=BF

∴⊿DCE ≌⊿ABF(SAS) ∴DE=AF

5. （2011四川南充市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M 是BC 的中点。

（1）求证：⊿MDC 是等边三角形；

（2）将⊿MDC 绕点M 旋转，当MD(即MD′)与AB 交于一点E,MC 即MC′)同时与AD 交于一点F 时，点E,F 和点A 构成⊿AEF.试探究⊿AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF 周长的最小值

.

D '

C 'M F

E

D

C

B A

【答案】（1）证明：过点D 作D P ⊥BC,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q,

∵∠C=∠B=600

∴CP=BQ=

2

1

AB,CP+BQ=AB 又∵ADPQ 是矩形，AD=PQ,故BC=2AD, 由已知，点M 是BC 的中点， BM=CM=AD=AB=CD,

即⊿MDC 中，CM=CD, ∠C=600

,故⊿MDC 是等边三角形

.

（2）解：⊿AEF 的周长存在最小值，理由如下：

连接AM,由（1）平行四边形ABMD 是菱形，⊿MAB, ⊿MAD 和⊿MC ′D ′是等边三角形， ∠BMA=∠BME+∠AME=600

, ∠EMF=∠AMF+∠AME=60

∴∠BME=∠AMF ）

在⊿BME 与⊿AMF 中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600

∴⊿BME ≌⊿AMF(ASA)

∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB

∵∠EMF=∠DMC=600

,故⊿EMF 是等边三角形，EF=MF. ∵MF 的最小值为点M 到AD 的距离3，即EF 的最小值是3.

⊿AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF, ⊿AEF 的周长的最小值为2+3.

6. （2011浙江杭州，22， 10)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝

2CD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，线段OA ，OB 的中点分别为点E ，F ． (1)求证：△FOE ≌ △DOC ； (2)求sin ∠OEF 的值；

(3)若直线EF 与线段AD ，BC 分别相交于点G ，H ，求

AB CD

GH

+的值．

【答案】(1)证明：∵E ，F 分别为线段OA ，OB 的中点，∴EF ∥AB ，AB ＝2EF ，∵AB ＝2CD ，

∴EF ＝CD ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ，∴∠OEF ＝∠OCD ，∠OFE ＝∠ODC ，∴△FOE ≌ △DOC ；，

(2) 在△ABC 中，∵∠ABC ＝90°，

∴AC =

，sin BC CAB AC ∠==． ∵EF ∥AB ，∴∠OEF ＝∠CAB

，∴sin sin OEF CAB ∠=∠=

(3) ∵△FOE ≌ △DOC ，∴OE ＝OC ，∵AE ＝OE ，AE ＝OE ＝OC ，∴

2

3

CE CA =． ∵EF ∥AB ，∴△CE H ∽△CAB ，∴23EH CE AB CA ==，∴24

33

CE EH AB CD CA ===，

∵EF ＝CD ，∴4

3

EH EF =

1133FH EF CD ==，同理1

3GE CD =，∴53GH CD =，

∴

29

553

AB CD CD CD GH CD ++== 7. （2011浙江温州，18，8分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 是AB 的中点． 求证：△A DM ≌△BCM .

【答案】证明：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，

∴AD ＝BC ，∠A ＝∠B ， ∵点M 是AB 的中点， ∴ MA ＝MB ， ∴△ADM ≌△BCM

8. （2011四川重庆，24，10分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB ＝45°，CD ＝2，

BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ．点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．

(1)求EG 的长；

(2)求证：CF ＝AB ＋AF ．

【答案】 (1) 解∵BD ⊥CD ，∠DCB ＝45°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°， ∴CD ＝DB ＝2，∴CB ＝DB2+CD2＝22，

∵CE ⊥AB 于E ，点G 为BC 中点，∴EG ＝1

2

CB ＝2．

(2)证明：证法一：延长BA 、CD 交于点H ，∵BD ⊥CD ，∴∠CDF ＝∠BDH ＝90°， ∴∠DBH ＋∠H ＝90°，∵CE ⊥AB 于E ，∴∠DCF ＋∠H ＝90°，

∴∠DBH＝∠DCF，又CD＝BD，∠CDF＝∠BDH，∴△CDF≌△BDH(ASA)，

DF＝DH，CF＝BH＝BA＋AH，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADF＝45°，

∠HDA＝∠DCB＝45°，∴∠ADF＝∠HAD，又DF＝DH，DA＝DA，

∴△ADF≌△ADH(SAS)，∴AF＝AH，

又CF＝BH＝BA＋AH ，∴CF＝AB＋AF．

证法二：在线段DH上截取CH=CA，连结DH．

∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF＋∠EFB＝90°，∠DCF＋∠DFC＝90°．

又∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

又BD=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD．

∴AD=HD，∠ADB=∠HDC．

又AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°．

∴∠HDC＝45°．∴∠HDB＝∠BDC－∠HDC＝45°．

∴∠ADB＝∠HDB．

又AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF＝HF．

∴CF＝CH＋HF=AB＋AF．

9. （2011湖南邵阳，19，8分）在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB，BC，CD，DA的中点，顺次连结EF，FG，GH，HE。

（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；

（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形。（写出你所添加的条件，不要求证明）

【答案】解：（1）四边形EFGH 是平行四边形。证明如下： 连结AC ，BD ，由E ，F ，G ，H 分别是所在边的中点， 知EF ∥AC ，且EF=

12AC ，GH ∥AC ，且GH=1

2

AC ， ∴GH ∥EF ，且GH=EF ，四边形EFGH 是平行四边形。

10．（2011湖南益阳，15，6分）如图6，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =DC ，

求证：AC 是∠DAB 的平分线．

【答案】解：∵AB CD //， ∴CAB DCA ∠=∠.

∵AD DC =，∴DAC DCA ∠=∠ .

∴DAC CAB ∠=∠ ， 即AC 是DAB ∠的角平分线.

11. （2011湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC 是边长为2的等

边三角形，四边形ACDE 是等腰梯形，AC ∥ED ，∠EAC =60°，AE =1． （1）证明：△ABE ≌△CBD ；

（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；

（3）小红发现AM =MN =NC ，请证明此结论； （4）求线段BD 的长．

图6

D

A

B

C

【答案】⑴证明：ABC ? 是等边三角形 ，

AB BC ∴=，60BAC BCA ∠=∠= ．

60ACDE EAC ∠ 四边形是等腰梯形，＝， 60AE CD ACD CAE ∴=∠=∠=?，，

+120+BAC CAE BCA ACD ∴∠∠=?=∠∠， BAE BCD ∠=∠即．

在ABE BCD ??和中.AB CB BAE BCD AE CD =?

?

∠=∠??=?

，，

ABE CBD ∴???． ⑵答案不唯一．如ABN CDN ??∽．

证明：60BAN DCN ∠=?=∠ ，ANB DNC ∠=∠，

ANB CND ∴??∽ ．

其相似比为：

2

21

AB DC ==． ⑶ 由（2）得

2AN AB CN CD ==，11

23

CN AN AC ∴==． 同理1

3

AM AC =.

AM MN NC ∴==．

⑷作DF BC BC F ⊥交的延长线于，

120BCD ∠=? ，60DCF ∴∠=?．

Rt CDF ?在中，30CDF ∴∠=?，11

22

CF CD ∴==，

E

C

D

A

M N

图10

B

DF

∴=

Rt BDF

?

在中

，

15

2,

22

BF BC CF DF

=+=+=

BD

∴=

12. （2011江苏苏州，23,6分）如图，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A=90°，BC=BD，CE⊥BD，垂足为E.

（1）求证：△ABD≌△ECB；

（2）若∠DBC=50°，求∠DCE的度数

.

【答案】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC.

又∵CE⊥BD，∠A=90°，∴∠A=∠CEB.

在△ABD和△ECB中，

?

?

?

?

?

=

∠

=

∠

∠

=

∠

CB

BD

EBC

ADB

CEB

A

∴△ABD≌△ECB.

（2）解法一：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠EDC=65°.

又∵CE⊥BD，∴∠CED=90°.

∴∠DCE=90°-∠EDC=25°.

解法二：∵∠DBC=50°，BC=BD，∴∠BCD=65°.

又∵∠BEC=90°，∴∠BCE=40°.

∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=25°.

13. （2011湖北黄石，19，7分）如图（6），在中，AD∥BC，AB＝DC，E是BC的中点，

连接AE，DE，求证：AE＝DE

【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形

∴∠B＝∠C

∵E是BC的中点

∴BE＝EC

在△ABE的△DCE中

AB＝D C

∠B＝∠C

BE＝EC

∴△ABE≌△DCE

∴AE＝DE

14. （2011广东茂名，22，8分）如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的

点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2．

(1)求证：OD＝OE；(3分)

(2)求证：四边形ABＥD是等腰梯形；(3分)

(3)若AB＝3DE, △DCE的面积为2, 求四边形ABED的面积．(2分

)

【答案】(1)证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，又∵AB＝BA、∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，

∴BD＝AE，又∵∠１＝∠２，∴OA＝OB，

∴BD－OB＝AE－OA，即：OD＝OE．·

(2) 证明：由(1)知：OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，

∴∠OED ＝

180(2

1

－∠DOE )， 同理：∠1＝

180(2

1

－∠AOB )， 又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，

∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形， 又由(1)知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD ＝BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．

(3)解：由(2)可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ，

∴

2)(AB

DE ACB DCE =??的面积的面积，即：

91

)3(22==?DE DE ACB 的面积， ∴△ACB 的面积＝18，

∴四边形ABED 的面积＝△ACB 的面积－△DCE 的面积＝18－2＝16 ．

15. （2011山东东营，19，8分）(本题满分8分)如图，在四边形ABCD 中，DB 平分∠ADC ，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30

；延长CD 到点E ，连接AE ，使得∠E=

1

2

∠C 。

（1）求证:四边形ABDE 是平行四边形；

（2）若DC=12，求AD 的长。

【答案】（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180° ∴AB ∥DC 。即AB ∥ED 。

又∵∠C=60°，∠E=1

2∠C ，∠BDC=30°

∴∠E=∠BDC=30° ∴AE ∥BD 所以 四边形ABDE 是平行四边形 （2）解：由第（1）问，AB ∥DC 。 ∴四边形ABCD 是梯形。 ∵DB 平分∠ADC ，∠BDC=30° ∴∠ADC=∠BCD=60° ∴四边形ABCD 是等腰梯形 ∴ BC=AD

∵ 在△BCD 中，∠C=60°，∠BDC=30° ∴ ∠DBC=90°。又已知DC=12

∴AD=BC=1

2DC=6

16. （2011重庆市潼南,24,10分） 如图,在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD,AD ⊥DC,AB=BC,且AE ⊥BC .

⑴ 求证：AD=AE ；

⑵ 若AD =8，DC =4，求AB 的长.

【答案】解：（1）连接AC -------------------------------1分

∵A B ∥CD ∴∠ACD=∠BAC ∵AB=BC ∴∠ACB=∠BAC

∴∠ACD=∠ACB --------------------------------2分 ∵A D ⊥DC AE ⊥BC ∴∠D=∠AEC=900

∵AC=AC

--------------------------------3分 ∴△ADC ≌△AEC -------------------------------4分 ∴AD=AE --------------------------------5分

24题图

（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC

设AB ＝x , 则BE=x －4 ，AE=8 -----------------------6分 在Rt △ABE 中 ∠AEB=900

由勾股定理得： 2228(4)x x +-= ----------------------8分 解得：x=10

∴AB=10 ----------------------10分

17. （2011山东枣庄，24，10分）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，

6AB AD ==，DE DC ⊥交AB 于E ，DF 平分∠EDC 交BC 于F ，连结EF ．

（1）证明：EF CF =； （2）当tan ADE ∠=

3

1

时，求EF 的长．

解：（1）过D 作DG ⊥BC 于G ．

由已知可得，四边形ABGD 为正方形． …………１分 ∵DE ⊥DC ，

∴∠ADE +∠EDG =90°=∠GDC +∠EDG ，

∴∠ADE =∠GDC ． ………………………3分 又∵∠A=∠DGC ，且AD =GD ，

F

D

B

A E

C

24题图