二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。

一般意义下的分部积分公式：

uv dx

uv vu dx ''=-

??

或udv uv vdv =-??

证明：

分部积分实际上是把普通积分公式f dx f '

=?中的被积函数f 换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；

把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。 格林公式：

F

dxdy Fdy x

Ω

?Ω

?=???

?

F

dxdy Fdx y Ω

?Ω

?=-???

? 一般合并写为D L

Q P dxdy Pdx Qdy x

y ??

??-=

+ ????????

证明（以第一个公式为例）：

积分域为{

}(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤，如图：

则：

(y)(y)

(y)(y)

(x,y)((y),y)((y),y)d b c a d x b x a c

d

d

c c

F

dxdy x

F

dxdy x

F dy

F b dy F a dy

Fdy

Ω

==?Ω

???=

?==-=

??

??????

类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下

的分部积分。

二重积分的分部积分公式：

()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x Ω

?Ω

Ω

??=-??????? ()g

f

f

dxdy fg dx g

dxdy y y

Ω

?Ω

Ω

??=--??????? 证明（以第一个公式为例）： 在F

dxdy Fdy x

Ω

?Ω

?=???

? 中，把F 换为fg ，则： ()

()fg dxdy fg dy x

Ω

?Ω

?=???

? ，

即()()g f f

g dxdy fg dy x x Ω

?Ω

??+=????? 即()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x

Ω

?Ω

Ω

??=-

??????? 综上：

把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；

把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。 且两种分部积分公式在形式上是很相似的：

uv dx uv vu dx ''=-??对比()g

f

f

dxdy fg dy g

dxdy x

x

Ω

?Ω

Ω

??=-???????

北航曾元圆

格林公式及其在曲线积分求解中的应用

南昌工程学院 《数分选讲》课程设计题目格林公式及其在曲线积分求解中的应用 课程名称数分选讲 系院理学院 专业信息与计算科学 班级2012级1班 学生姓名魏志辉 学号2012101316 指导教师禹海雄 设计起止时间：2015年6月11日至2015年6月15日

什么是曲线积分？？ 1.设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插 入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σf(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σf(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） 对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对 坐标轴的曲线积分了。

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 10 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分. （2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=? ?L L f x ds f y ds .

曲线积分和格林公式学习总结

高 数 作 业 姓名：徐艳涛 班级：电子商务1133 学号：201161102348

曲线积分和格林公式学习总结 §1对弧长的曲线积分 1．1由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分 化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量 最后举例巩固计算方法的掌握。 2、s z y x f d ),,(? Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数 ) ,,(z y x f 中的点) ,,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ 3、第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ = ; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ = = = ; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(2 2 += ?Γ 4、第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)() () (t z z t y y t x x ，β α ≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ =? β α )) (),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[2 2 2 ++。 例1 计算? Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π 20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++) 3 82(22)1(3 2 20 πππ + = += ?dt t 例2 ?Γds y ||，其中Γ为球面2 2 2 2 =++z y x 与平面y x =的交线； 解 Γ的参数方程为t z t y x sin 2,cos = ==，π 20≤≤t ，dt dt z y x ds 2'''222=++=， 根据对称性得到? L ds y ||=2 4d cos 24 2 =?t t π 例3 计算?Γ ds z y x )(2 2 2 ++，其中:Γ???? ?==+1 222z a y x )0(>a 解 Γ:?? ? ??===1sin cos z t a y t a x ,π20≤≤t ,dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=adt dt t t a =+=)cos (sin 222 ∴ ?Γ ds z y x )(2 22++) 1(2)1(2 2 20 +=+= ?a a adt a ππ

曲线积分和格林公式

什么是曲线积分？？ 1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界， 在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ； 其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2.曲线积分的类别: 曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx 或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。 3.两种曲线积分的联系： 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;

）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出 4.格林公式 【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有 (1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy 其中是的取正向的边界曲线. 公式(1)叫做格林(green)公式. 【证明】先证

曲线积分与格林公式学习总结

曲线积分与 格林公式学习总结 王德才 201121102340 电子商务1133班

一、 曲线积分 1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(?Γ 为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数) ,,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。 若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(?Γ （1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ?Γ 2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(?Γ =; 质心坐标为),,(z y x ，其中M ds z y x zf z M ds z y x yf y M ds z y x xf x ),,(,),,(,),,(???Γ Γ Γ ===; 对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=?Γ （2）第一类曲线积分的计算方法： 若空间曲线Γ参数方程为：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=， s z y x f d ),,(?Γ=?β α))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。 例1 计算? Γ ds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t 解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以? Γ ds z y x )(2 22++)3 82(22)1(3 2 20 πππ +=+= ?dt t 3第一类曲线积分 （1 ）公式：= 应用前提: 1）曲线L 光滑,方程可以写成为:

第二节 第二类曲线积分与格林公式

第二节第二类曲线积分与格林公式 一、单项选择题 ()()() ()()()()() 2()A.2 B.1 C. 1 1.L 1A 1,0B 0,1L 12A D.2 2.2 A. 1 B.e 1 1,0B 1,2 L y y L x y x y x y dx dy e x dx xe y dy e y +-=--++-=-+=-=+??设为直线上从点到的直线段，则设为抛物线-上从点到的一段弧，则()()2223222 C.e 5 .5 sin 3.A(2,0)B(0,0)31cos 1sin 3 A. e (12)1 B. 2e (12)1 C. 3e (12)1 D. 4x L D e x t t L x y xe dx y t x y y dy πππππππ-+=-?+?=-? ??+ ??-? ??----?? ??--???从点到点如果是摆线的一段弧，则的值为( )()()()()() 22223e (12)14..d d .d d .d d .d d 5.0,01,1d (sin )d 7 A. cos1 B. 4L L L L L A x y x y B x x xy y C x xy y D y x x y L y x x y x x y y ππ??--?? +++++=--+=-?????积分值与路径无关的是设是上从点到点之间的有向弧，则()()()()()()()() 26.L 1,0,0,00,1L 7.0,0077 7cos1 C. D. 4444 (3)d (2)d A. 0 B. 1 C. 2 D ,11,1. 1 A. L L x y x x y y x dy ydx L π----+-=-+=-?? 设为三个顶点分别为和的三角区域的边界，的方向为顺时针的方向，则为从点经点到点的折线，则1 B. 2 C. 0 D. 1 -

第十一章曲线积分及格林公式习题课

第十一章 曲线积分及格林公式习题课 一、原式111000(11xdx x x ydy = ++?+=∫∫∫ 二、原式40002(1)4a a x a a ae e dx e ad e ππθ= ++=?+∫∫ 三、原式2222001(cos sin cos sin )(1cos 4)44 t t t t dt t dt π ππ=+=?∫∫= 四、（1）22 22(1)((1))Q P x y 2 x y x y ????==???+，原式0= （2）:1cos ,sin ,:02l x r t y r t t π=+=→ 原式()()2222222201cos sin 21l ydx x dy r t r t dt r x y ππ????==?+∫∫ v =? 五、2y xy ?′=2()，x x ?= 原式()()22 1,122 (1,1)(0,0) 0,01|22x y xy dx yx dy =+=∫= 六、 22 :()()1D x a y a ?+?≤ 左式11[ ()][()]22()()D D D x d x d d y x ?σ?σσ??=+=+≥=∫∫∫∫∫∫π §11.4 对面积的曲面积分 §11.5 对坐标的曲面积分(1) 一 . 1. :z Σ=，，22:D x y a +≤ 2dS = 原式D zdS a 3πΣ===∫∫∫∫ 2. 原式2222dS Rh h R R R ππΣ ===∫∫ 3. 原式1100(1(1)120 x D xy x y dx xy x y dy ?=??=??=∫∫∫ 二 . 222 1)2x y M zdS rdr 15πσπΣ+≤====∫∫∫∫ 三. (,,)(,,0)R x y z dxdy R x y dxdy ∑∑=±∫∫∫∫

格林公式及其应用教案

丽水学院 教案 课程名称：高等数学 课程代码：B2 授课专业班级：电信121、122本授课教师：洪涛清 院别：理学院 2013年5月13 日

一、授课题目 §10.3 格林公式及其应用 二、教学时间安排： 共3课时 三、教学目的、要求 1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。 2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。 3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。 4．会求全微分的原函数。 四、教学重点和难点 重点: 格林公式的应用 难点: 灵活应用格林公式进行简化计算。 五、教学方法及手段 启发式讲授法结合多媒体教学。 六、教学过程设计 准备知识 1．单连通与复连通区域: 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 2．边界曲线的正向： 对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边. （一）格林公式 1．定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有 ???+=??-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q )( , 其中L 是D 的取正向的边界曲线. 2．简要证明分析: 先就D 既是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明. 设D ={(x , y )|?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b }. 因为 y P ??连续, 所以由二重积分的计算法有

dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a x x b a D )]}(,[)](,[{}),({12)()(21????-=??=???????. 另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有 ?????+=+=a b b a L L L dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[212 1 ?? dx x x P x x P b a )]}(,[)](,[{21??-=?. 因此 ???=??- L D Pdx dxdy y P . 设D ={(x , y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ), c ≤y ≤d }. 类似地可证 ???=??L D Qdx dxdy x Q . 由于D 既是X －型的又是Y －型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得 ???+=??? ? ???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 注意: 对复连通区域D , 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D 来说都是正向. 3．格林公式的简单应用： （1）化曲线积分为二重积分，如课件例1 例1/ 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明 ?=+L dy x xydx 022. 证: 令P =2xy , Q =x 2, 则 022=-=??-??x x y P x Q . 因此, 由格林公式有 0022=±=+???dxdy dy x xydx D L . (为什么二重积分前有“±”号？ ) （2）化二重积分为曲线积分 例2. 计算 ??-D y dxdy e 2 , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭区域. 分析: 要使 2y e y P x Q -=??-??, 只需P =0, 2 y xe Q -=. 解: 令P =0, 2 y xe Q -=, 则 2 y e y P x Q -=??-??. 因此, 由格林公式有