2018--2020年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数
一、选择题.
1、（2018年高考全国卷1文科8）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，
=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，
=4cos2x+sin2x，
=3cos2x+1，
=，
=，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为，
故选：B．
2、（2018年高考全国卷1文科11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）
A．B．C．D．1
解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，
∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，
∴|cosα|=，∴|sinα|==，
|tanα|=||=|a﹣b|===．
故选：B．
3、（2018年高考全国卷3理科4）若sinα=，则cos2α=（）
A．B．C．﹣ D．﹣
解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故选：B．
4、（2018年高考全国卷3理科9文科11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）
A．B．C．D．
解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为，
∴S△ABC==，
∴sinC==cosC，
∵0＜C＜π，∴C=．
故选：C．
5、（2018年高考全国卷2理科6文科7）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）
A．4 B． C． D．2
解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，
BC=1，AC=5，则AB====4．
故选：A．
6、（2018年高考全国卷2理科10）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π
解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，
由，k∈Z，
得，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，
由f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得，∴．
则a的最大值是．
故选：A．
7、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）
A．B．C． D．π
解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），
由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，
得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤．
则a的最大值是．
故选：C
8、（2018年高考全国卷3文科4）若sinα=，则cos2α=（）
A．B．C．﹣ D．﹣
解：∵sinα=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．
故选：B．
9、（2018年高考全国卷3文科6）函数f（x）=的最小正周期为（）
A．B．C．πD．2π
解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，
故选：C．
10、（2018年高考北京卷理科7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：由题意d==，tanα=﹣，
∴当sin（θ+α）=﹣1时，
d max=1+≤3．
∴d的最大值为3．
故选：C．
11、（2018年高考北京卷文科7）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）
A．B．C．D．
解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．
B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．
C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，
满足tanα＜cosα＜sinα，
D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，
满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．
故选：C．
12、（2018年高考天津卷文理科6）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减
C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减
解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的函数为：y=sin2x，
增区间满足：﹣+2kπ≤2x ≤
，k ∈Z ， 减区间满足：≤2x ≤，k ∈Z ，
∴增区间为[﹣+kπ，
+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[
+kπ，
+kπ]，k ∈Z ，
∴将函数y=sin （2x+）的图象向右平移
个单位长度，
所得图象对应的函数在区间[，
]上单调递增．
故选：A ．
13、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=
2
sin cos ++x x
x x 在[,]-ππ的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数
又01
)(2>-=πππf ，1244
1
2)2(2
2>+=+=ππππ
π
f ，故选D 14、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数
②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④
C ．①④
D ．①③
答案：C
解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；
),2
(ππ
∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；
],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，
函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；
函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。故选C
15、（2019年高考全国I 卷文科7）tan255°= A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
解析：32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=?+?=?=?+?=?故选D
16、（2019年高考全国I 卷文科11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，
cos A =-14
，则
b c
=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
答案：A
解析：由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=
又4
1
2)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ，联立求得6=c b 故选A
17、（2019年高考全国II 卷理科4）019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
121
223
()()M M M R r R r r R +=++.
设r
R
α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532
333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A
B
C
D
答案：D
解析：R
r
=α则R r α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++得
1232
2
)1(1)1(M M ααα+-+=即3
2
54322312)
1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M 所以R M M r 3
1
2
3=.故答案选D 19、（2019年高考全国II 卷理科9）下列函数中，以
2
π为周期且在区间(
4
π，
2
π)单调递增的是
A ．f (x )=│cos2x │
B ．f (x )=│sin 2x │
C ．f (x )=cos│x │
D ．f (x )= sin │x │ 答案：A
解析：将|2cos |)(x x f =的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间)2
,4(π
π上是增函数.故答案选A 20、（2019年高考全国II 卷理科10，文科11）已知α∈(0，
2
π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A ．
15
B ．
5
C ．
3
D ．
5
答案：B
解析：ααα2cos 212cos 2sin 2=+=，与αααcos sin 22sin =联立求得2
1tan =
α 又)2
,
0(π
α∈，所以5
5
sin =
α故答案选B 21、（2019年高考全国II 卷文科8）若x 1=
4
π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则
ω=
A ．2
B ．
3
2 C ．1
D ．
12
答案：A 解析：
πππ=-=T T ,4432,又ω
π2=T ,所以2=ω。故答案选A
22、（2019年高考全国II 卷文科10）曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为
A ．10x y --π-=
B ．2210x y --π-=
C ．2210x y +-π+=
D ．10x y +-π+=
答案：C
解析：由题意知道x x y sin cos 2-='，则在点)1,(-π的斜率2sin cos 2-=-=ππk 。 故切线方程为)(21π--=+x y ，即0122=+-+πy x 。故答案选C 23、（2019年高考全国III 卷理科12）设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④ 答案：D
解析：由题设可画出图像因为)(x f 在]2,0[π有且仅有5个零点,所以π2所对应的位置应该在x 轴的第5和第6个零点之间,在这段范围内,一定会有3个极大值点,但是可能有2个或者3个极小值点,因此①对,②不对；由公式ω
π
2=
T 求出函数的周期,并通过三角函数的零点坐标公式求出函数第5和第6个零点的坐标
分别为ωπ524和ωπ529。根据题意可以得到不等式≤≤πωπ 2524ωπ529解得≤
≤ω51210
29，故④正确；同理③正确。故选D
24、（2019年高考全国III 卷文科5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案：B
解析：)cos 1(sin 2cos sin 2sin 22sin sin 2)(x x x x x x x x f -=-=-=，]2,0[π∈x 由0)(=x f 得0sin =x 或1cos =x
ππ2,,0=∴x ，所以函数)(x f 在]2,0[π上的零点由3个。故答案选B
25、（2019年高考北京卷文科6）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函
数”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 答案：C
解析：若b=0，则()cos f x x =为偶函数，
若()cos sin f x x b x =+为偶函数，
则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,
综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.
26、（2019年高考北京卷文科8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点， ∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A. 4β+4cos β B. 4β+4sin β C. 2β+2cos β D. 2β+2sin β 答案：B
解析：设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=
故扇形AOB 的面积为2
2242πββπ
??=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，
故阴影部分面积最大值4,AOB
PAB
S S S
β=-+
而2sin 22cos 4sin cos 2
AOB
S
ββ
ββ??=
=，
()
2sin 222cos 4sin 4sin cos 2
PAB
S
βββββ??+=
=+，
故阴影部分面积最大值444sin ,AOB
PAB
S S S
βββ=-+=+
故答案为：B.
分析：根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值.
27、（2019年高考天津卷文理科7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，所得图像对应的函数为()g x .若()
g x 的最小正周期为2π，且4g π??
= ???38
f π??= ???
A.2-
B.2 答案：C
解析：本题主要考察三角函数的图像变换,函数的奇偶性
由f(x)是奇函数,可知f(0)=0,即0sin =?且π?<||,所以0=?.
f(x)横坐标伸长到原来的2倍得到g(x),所以g(x)=Asin(
2
x
ω)
又g(x)最小正周期为2π,所以2=ω,x A x g sin )(= ,22
2
)4
(==
A g π
所以A=2,f(x)=2sin2x
所以24
3sin 2)83(
==ππf 由上可知,故答案选C 28、（2019年高考上海卷15）已知ω∈R ，函数2()(6)sin()f x x x ω=-?，存在常数a ∈R ，使得()
f x a +为偶函数，则ω的值可能为（ ） A.
2π B. 3π C. 4
π
D. 5π
答案：C
解析：当6=a 时，)]6(sin[)6(2
+=+x x x f ω如果为偶函数即可 只需要)]6(sin[+=x y ω为偶函数，故)(2
6Z k k ∈+=
ππ
ω，所以)(6
12
Z k k ∈+
=
π
π
ω 当1=k 时，4
π
ω=
故答案选C
29、（2019年高考上海卷16）已知tan tan tan()αβαβ?=+，有下列两个结论：① 存在α在第一象限，
β在第三象限；② 存在α在第二象限，β在第四象限；则（ ）
A. ①②均正确
B. ①②均错误
C. ①对②错
D. ①错②对 答案：D
解析：设y x ==βαtan ,tan ，则y x xy xy xy
y
x xy +=-?-+=
2)(1
可写成:0)1(2
2=-+y x y x ,其判别式△=3
2
4)1(x x --
设函数g(x)= 3
2
4)1(x x -- ,并设21x x <, 则
)(42)()(2
22121212
121x x x x x x x x x g x g ++--+=--
02
3)21()21()(22
22122212
21<------
-+-=x x x x x x 即g(x)单调递减
而g(0)=1g(1)=-4,故g(x)=0的零点在(0.1)上,设为a ; 则当a x <时,g(x)>0.当a x ≥时,g(x)≤0 故存在0>x 使得△=04)1(3
2
>--x x
而对方程0)1(2
2
=-+y x y x .根据书达定理x y y x
x y y 1
,1212
21=-=+ 存在0>x 时,而10< 而此时0,02121 ><+y y y y ,故此时y 必为负数,即β在I 或IV 象限 同样存在0 故此时必存在一个y 值为负数、另一个y 值为正,即β在II 、IV 象限或I 、III 象限均可，故选D 30、（2020?北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）． A. 30303sin tan n n n ???? + ??? B. 30306sin tan n n n ???? + ??? C. 60603sin tan n n n ????+ ?? ? D. 60606sin tan n n n ????+ ?? ? 答案:A 解：单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ??=?，每条边长为302sin n ?， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n ? ， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n ?，其周长为3012tan n n ? ， 303012sin 12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π?? +????∴= =+ ?? ?，则30303sin tan n n n π? ???=+ ???. 故选：A. 31、（2020?全国1卷）设函数()cos π ()6 f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（） A. 10π9 B. 7π6 C. 4π 3 D. 3π2 答案：C 解析：由图可得：函数图象过点4,09π??- ???，即可得到4cos 096ππω??-?+= ???，结合4,09π?? - ??? 是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962 πππω-?+=-，即可求得3 2ω=，再利用三角函数周期公 式即可得解. 解：由图可得：函数图象过点4,09π??- ???，将它代入函数()f x 可得：4cos 09 6π πω??-?+= ??? 又4,09π?? - ??? 是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-?+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为 224332 T π ππ ω = = =故选：C 32、（2020?全国1卷）已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） B. 23 C. 13 答案：A 解析：用二倍角的 余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 解：3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2 cos 3 α=-或cos 2α=（舍去）， 又 (0,),sin απα∈∴== 故选：A. 33、（2020?全国2卷）若α为第四象限角，则（） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 答案：D 解析：由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 解：方法一：由α为第四象限角，可得 3222,2 k k k Z π παππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈ 此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D. 方法二：当6 π α=- 时，cos 2cos 03πα?? =- > ??? ，选项B 错误； 当3π α=- 时，2cos 2cos 03 π α?? =-< ??? ，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D. 34、（2020?全国3卷）在△ABC 中，cos C =2 3 ，AC =4，BC =3，则cos B =（） A. 19 B. 13 C. 12 D. 23 答案：A 解析：根据已知条件结合余弦定理求得AB ，再根据222 cos 2AB BC AC B AB BC +-=?，即可求得答案. 解：因为在ABC 中，2 cos 3 C = ，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-??,2 2 2 4322433 AB =+-???, 可得2 9AB =，即3AB =,由 22299161 cos 22339 AB BC AC B AB BC +-+-===???, 故1 cos 9 B = .故选：A. 35、（2020?全国3卷）已知2tan θ–tan(θ+π 4 )=7，则tan θ=（） A. –2 B. –1 C. 1 D. 2 答案：D 解析：利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 解： 2tan tan 74πθθ? ?-+= ?? ?，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +- =-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D. 36、（2020?新全国1山东）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （） A. π sin(3 x +） B. π sin( 2)3x - C. π cos(26 x +） D. 5π cos( 2)6 x - 答案：BC 解析：首先利用周期确定ω的值，然后确定?的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 解：由函数图像可知： 22362T πππ=-=，则222T ππωπ ===，所以不选A, 当2536212 x π ππ+ ==时，1y =-∴()5322122k k Z ππ?π?+=+∈， 解得：()2 23 k k ?ππ=+∈Z ，即函数的解析式为： 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ???????? =++=++=+=- ? ? ? ????????? . 而5cos 2cos(2)66 x x ππ ? ? + =-- ?? ?,故选：BC. 37、（2020?天津卷）已知函数()sin 3f x x π? ? =+ ?? ? ．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π?? ??? 是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3 π 个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 答案：B 解析：对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可. 解：因为()sin()3f x x π=+ ，所以周期22T π πω = =，故①正确； 51()sin()sin 122362 f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π 个单位长度，得到sin()3 y x π=+的图象， 故③正确.故选：B. 二、填空题. 1、（2018年高考北京卷理科11）设函数f （x ）=cos （ωx﹣）（ω＞0），若f （x ）≤f （）对任意 的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 解：函数f （x ）=cos （ωx﹣）（ω＞0），若f （x ）≤f （ ）对任意的实数x 都成立， 可得： ，k ∈Z ，解得ω= ，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：． 故答案为：． 2、（2018年高考北京卷文科14）若△ABC 的面积为（a 2+c 2﹣b 2 ），且∠C 为钝角，则∠B= ；的 取值范围是 （2，+∞） ． 解：△ABC 的面积为（a 2+c 2﹣b 2 ）， 可得： （a 2 +c 2 ﹣b 2 ）=acsinB ， ， 可得：tanB=，所以B= ，∠C 为钝角，A ∈（0， ），cotA ∈（ ，+∞）． = = =cosB+cotAsinB=cotA ∈（2，+∞）． 故答案为： ；（2，+∞）． 3、（2018年高考全国卷2理科15）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin （α+β）= ． 解：sinα+cosβ=l， 两边平方可得：sin 2 α+2sinαcosβ+cos 2 β=1，①， cosα+sinβ=0， 两边平方可得：cos 2 α+2cosαsinβ+sin 2 β=0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin （α+β）=1， ∴2sin （α+β）=﹣1． ∴sin （α+β）=． 故答案为： ． 4、（2018年高考全国卷2文科15）已知tan（α﹣）=，则tanα=． 解：∵tan（α﹣）=， ∴tan（α）=， 则tanα=tan（α+）=====， 故答案为：． 5、（2018年高考全国卷3理科15）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为 3 ． 解：∵f（x）=cos（3x+）=0， ∴3x+=+kπ，k∈Z， ∴x=+kπ，k∈Z， 当k=0时，x=， 当k=1时，x=π， 当k=2时，x=π， 当k=3时，x=π， ∵x∈[0，π]， ∴x=，或x=π，或x=π， 故零点的个数为3， 故答案为：3 6、（2018年高考全国卷1理科16）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是． 解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1， 可得此时x=，π或； ∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到， 计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0， ∴函数的最小值为﹣， 故答案为：． （2018年高考全国卷1文科16）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB=4asinBsinC，7、 b2+c2﹣a2=8，则△ABC的面积为． 解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． bsinC+csinB=4asinBsinC， 利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC， 由于sinBsinC≠0， 所以sinA=， 则A= 由于b2+c2﹣a2=8， 则：， ①当A=时，， 解得：bc=， 所以：． ②当A=时，， 解得：bc=﹣（不合题意），舍去． 故：． 故答案为：． 8、（2019年高考全国I 卷文科15）函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 解析：2 2 )4 3 (cos 22cos 3cos 2cos 32cos )(+-=+--=--=x x x x x x f 4)(min -=x f 9、（2019年高考全国II 卷理科15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为__________. 答案：36 解析：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，解得3,32==a c 所以36sin 2 1 == B ac S 10、（2019年高考全国II 卷文科15）AB C △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B = 0，则B =___________. 答案： 4 3π 解析：因为0cos sin =+B a A b ，所以0cos sin sin sin =+B A A B 又),0(π∈A ，则0sin >A ，所以1tan -=B 又),0(π∈B ，所以4 3π= B 11、（2019年高考北京理科卷9）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________。 答案： 2 π 解析：2 42,24cos 12sin 2 π π==-= T x x 12、（2019年高考天津卷文科11）曲线2 cos x x y -=在点)1,0(处的切线方程为__________. 答案：022=-+y x 解析：曲线2cos x x y - =，则21sin '--=x y ，所以曲线在点)1,0(处的切线斜率为2 1|0-='==x y k 所以曲线在点)1,0(处的切线方程为022=-+y x 13、（2019年高考浙江卷14）在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD = ，cos ABD ∠= . 答案：，4.5 解答：如图所示，设CD x =，则5AD x =-，再设DBC α∠=，2 ABD π α∠=-，在BDC ?中，正弦 定理有： 3sin sin sin 4 x απ α= =?= ABD ? 中，正弦定理有：5 4cos 3sin s ()in 24 αππα=== -，2222 (5)sin cos 11832x x αα-+=+=，解得135x =（舍去），299 22 x BD = ?=，在ABD ?中，正弦定理有：0.84 sin sin 4 ABD π=? ∠sin cos ABD ABD ∠= ?∠=. 14、（2019年高考江苏卷13）已知 tan 2 3tan()4 α πα=-+，则sin(2)4πα+的值是 . 答案： 10 解析： 法一 32tan 1)tan 1(tan ) 4 tan(tan -=+-=+ αααπαα，解得2tan =α或3 1 - ααα αααααπ α2222cos sin sin cos cos sin 22)2cos 2(sin 22)42sin(+-+= +=+ 102tan 1tan 1tan 2222=+-+=ααα 法二 令y x =+ =4 ,π αα，则y tan 2tan 3-=α，22 )sin(= -x y 则,cos sin 2cos sin 3x y y x -=2 2sin cos cos sin = -x y x y 解得10 23sin cos ,52cos sin =- =y x y x 则10 2sin cos cos sin )4 2sin(= +=+ y x y x π α 15、（2020?北京卷）若函数()sin()cos f x x x ?=++的最大值为2，则常数?的一个取值为________． 答案： 2 π（2,2k k Z π π+∈均可） 解：因为()() ()cos sin sin 1cos f x x x x ??θ=++= +， 2=，解得sin 1?=，故可取2?π= .故答案为：2 π（2,2k k Z π π+∈均可）. 16、（2020?全国3卷）关于函数f （x ）=1 sin sin x x +有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2 π 对称． ④f （x ）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③ 解析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 解：对于命题①，152622f π??=+= ???，152622f π?? -=--=- ???，则66f f ππ???? -≠ ? ????? ， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数()f x 的定义域为{} ,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ? ?-=-+ =--=-+=- ?-? ?， 所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ????-=-+=+ ? ??? ????- ??? ， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ???? +=++=+ ? ??? ????+ ??? ，则22f x f x ππ???? -=+ ? ????? ， 23、锐角三角函数 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 3 5 B ． 43 C ．4 D ．4 5 【解析】选C. tan α4 3 == 角的邻边角的对边αα. 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝ 1 3 ，则sin B ＝（ ） A B ．23 C ． 3 4 D ． 【解析】选D. 3 1 tan == AB BC A ,设BC=k,则AC=3k,由勾股定理得 ,10)3(2222k k k BC AC AB =+=+=sin 10 AC B AB = = 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 【解析】选A.连接CD,由O ⊙的半径为 32.得AD=3. sin B =.3 2 sin ==AD AC D 4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A = B ．1 tan 2 A = C ．cos B = D ．tan B = 【解析】选D 在直角三角形ABC 中，1BC =，2AB =， 所以AC ；所以1 sin 2 A ＝ ，cos 2A ，tan 3A = ；sin 2B ＝，1cos 2 B ＝ ，tan B =； 5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =， 3AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ． 32 C ． 34 D ． 43 【解析】选C.由CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，得AB=2CD=4.∴sin B 4 3 == AB AC 6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若AC = AB =tan BCD ∠的值为（ ） （A （B （C （D 答案：B A C B D 2010~2018高考三角函数汇编 1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及应用B 2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力. 三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值 见2014年三角解答题，第二类是给出在三角形中见2011年、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见2013年、2017年三角解答题.而2012年三角解答题则是二、三类的混合. 通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。一、三角公式 ★7．（5分）（2011?江苏）已知，则的值为． ★★11．（5分）（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为． （2015?江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．★8． （5分） ★5．（5分）（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=． ★★★15．（14分）（2013?江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|=，求证：⊥； （2）设=（0，1），若+=，求α，β的值． 2019年高考试题分类汇编（三角函数） 考法1 三角函数的图像及性质 1．（2019·全国卷Ⅰ·文科）tan 225= A ．2- ．2-+ ．2 D ．2 2.（2019·全国卷Ⅱ·文科）若14x π =，234 x π=是函数()sin f x x ω=（0ω>）两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 3．（2019·全国卷Ⅲ·文科）函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）函数2 sin ()cos x x f x x x +=+在[,]ππ-的图像大致为 5.（2019·全国卷Ⅰ·理科）关于函数()sin sin f x x x =+有以下四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2 ππ单调递增 ③()f x 在[,]ππ-有个零点 ④()f x 有最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 6.（2019·全国卷Ⅱ·理科）下列函数中，以2 π为周期且在区间(,)42ππ单调递增的是 A ．()cos2f x x = B ．()sin 2f x x = C ．()cos f x x = D ．()sin f x x = 7.（2019·北京卷·理科）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 . 8.（2019·全国卷Ⅱ·理科）已知(0,)2 π α∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α= A ．15 B 9．（2019·全国卷Ⅰ·文科）函数3π()sin(2)3cos 2 f x x x =+ -的最小值为 ． 10.（2019·全国卷Ⅲ·理科）设函数()sin()5f x x ωπ=+(0ω>)，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,10π )单调递增 ④ω的取值范围是1229[)510 ， 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 11.（2019·天津卷·文理科）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且()4 g π=，则 3()8 f π= A.2- B. D.2 12.（2019·浙江卷）设函数()sin f x x =，x R ∈. （Ⅰ）已知[0,2)θ∈π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 考法2 解三角形 1．（2019·浙江卷）在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD = ，cos ABD ∠= ． 2．（2019·全国卷Ⅰ·文科）ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，14cos A =-，则b c = 6．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( ) 图1-1 A B C D 6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为1 2|sin x cos x |，在 直角三角形OPM 中，根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝1 2|sin 2x |， 且当x ＝π 2 时上述关系也成立， 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像． 9．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ? ???2x ＋π 3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对 应的函数( ) A ．在区间????π12，7π 12上单调递减 B ．在区间????π12，7π 12上单调递增 C ．在区间????－π6，π 3上单调递减 D ．在区间??? ?－π6，π 3上单调递增 9．B [解析] 由题可知，将函数y ＝3sin ? ???2x ＋π3的图像向右平移π 2个单位长度得到函数 y ＝3sin ????2x －23π的图像，令－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12 ＋k π，k ∈Z 时，函数单调递增，即函数y ＝3sin ? ???2x －2 3π的单调递增区间为????π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，可知当k ＝0时，函数在区间????π12，7π12上单调递增． 3．[2014·全国卷] 设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) 三角函数 1（2017北京文）在平面直角坐标系xOy 中，角与角均以Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若sin = ，则sin =_________． 2（2017北京文）（本小题13分） 已知函数. （I ）f (x )的最小正周期； （II ）求证：当时，． 3（2017新课标Ⅱ理） ．函数2 3()sin 4f x x x =- ([0,])2 x π ∈的最大值是____________． 4（2017新课标Ⅱ理）（12分） ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2 sin 8sin 2 B A C +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ． 5（2017天津理）设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π.若5()28 f π =，()08 f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω= ，12 ?π= （B ）23ω= ，12?11π =- （C ）13 ω=，24?11π =- （D ） αβα1 3 β())2sin cos 3f x x -x x π =-[,]44x ππ ∈- ()1 2 f x ≥- 13 ω=，24?7π= 6．（2017新课标Ⅲ理数）设函数f (x )=cos(x + 3 π )，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π B ．y =f (x )的图像关于直线x = 83 π 对称 C ．f (x +π)的一个零点为x = 6 π D ．f (x )在( 2 π ,π)单调递减 7（2017新课标Ⅲ理数）（12分） △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A =0，a ,b =2． （1）求c ； （2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积． 8（2017山东理）在C ?AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ?AB 为锐角三角形，且满足 ()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9（2017山东理）设函数()sin()sin()62 f x x x π π ωω=- +-，其中03ω<<.已知()06 f π =. （Ⅰ）求ω； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 4 π 个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 1、锐角三角函数 要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题 1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（ ） A ． 35 B ． 43 C ．34 D ．4 5 2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1 3 ，则sin B ＝（ ） A ． 10 B ．23 C ． 3 4 D ． 10 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 23 B ．32 C ．34 D ．43 4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 2A = B ．1 tan 2 A = C ．cos 2 B = D ．tan B = 5.（2008·温州中考）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =， 3AC =，则sin B 的值是（ ） A ． 2 3 B ． 32 C ． 34 D ． 43 6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若AC = AB =tan BCD ∠的值为（ ） （A （B ）2 （C （D 二、填空题 7.（2009·梧州中考）在△ABC 中，∠C ＝90°， BC ＝6 cm ，5 3sin = A ，则A B 的长是 cm ． .（2009·孝感中考）如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3 sin 5 A = ，则这个菱形A C B D 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 2020年高考试题分类汇编（三角函数） 考点1三角函数的图像和性质 1.（2020·全国卷Ⅰ·文理科）设函数()cos() f x x π ω=+在[,]ππ-的图像大致 如下图，则()f x 的最小正周期为 A ． 109 π B ．76 π C 2.（2020·山东卷）如图是函数 sin()y x ω?=+的部分图像，则sin()x ω?+= A ．sin()3x π+ B ．sin(2)3x π- C ．cos(2)6x π+ D ．5cos(2)6 x π - 3.（2020·浙江卷）函数cos sin y x x x =+在区间[,]ππ-的图象大致为 4.（2020·全国卷Ⅲ·理科）关于函数1 ()sin sin f x x x =+ 有如下四个命题： ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称； ③()f x 的图像关于2 x π= 轴对称； ④()f x 的最小值为2. 其中所有真命题的序号是 . 5.（2020·全国卷Ⅲ·文科）设函数1 ()sin sin f x x x =+ ，则 A ．()f x 有最小值为2 B ．()f x 的图像关于y 轴对称 C ．()f x 的图像关于x π=轴对称 D ．()f x 的图像关于2 x π =轴对称 6.（2020·上海卷）已知()sin f x x ω=（0ω>）. （Ⅰ）若()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1 ()2 f x = 的解集； （Ⅱ）已知1ω=，2()()()()2g x f x x f x π=--，[0,]4x π ∈，求()g x 的值域. 7.（2020·天津卷）已知函数()sin()3f x x π =+．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②()2 f π 是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3 π 个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 8.（2020·北京卷）若函数()sin()cos f x x x ?=++的最大值为2，则常数?的一个取值为 ． 9.（2020·全国卷Ⅱ·理科）已知函数2()sin sin 2f x x x =. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； （Ⅱ）证明：()f x ≤ ； 高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级姓名座号评分 一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（） A． B．－ C． D．－ 3、已知的值为（） A．－2 B．2 C． D．－ 4、已知角的余弦线是单位长度的有向线段;那么角的终边（） A．在轴上 B．在直线上 C．在轴上 D．在直线或上 5、若,则等于 ( ) A． B． C． D． 6、要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单 位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位 7、如图，曲线对应的函数是（） A．y=|sin x| B．y=sin|x| C．y=－sin|x| D．y=－|sin x| 8、化简的结果是 ( ) A． B． C． D． 9、为三角形ABC的一个内角,若,则这个三角形的形状为（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数的图象（） A．关于原点对称B．关于点（－，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称 11、函数是 （） A．上是增函数 B．上是减函数 C．上是减函数 D．上是减函数 12、函数的定义域是 （） A． B． C． D． 二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知的取值范围是 . 14、为奇函数， . 15、函数的最小值是． 16、已知则 . 三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值 18、（8分）已知,求的值. 19、（8分）绳子绕在半径为50cm的轮圈上，绳子的下端B处悬挂着物体 W，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W的位置向上提升100cm? 20、（10分）已知α是第三角限的角，化简 21、（10分）求函数在时的值域(其中为常数) 2019年高考试题汇编：三角函数 1．（2019?新课标Ⅰ）tan255°＝（） A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+ 2．（2019?新课标Ⅰ）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（） A．B． C．D． 3．（2019?新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A．①②④B．②④C．①④D．①③4．（2019?新课标II）下列函数中，以为周期且在区间（，）单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x| 5．（2019?新课标II）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D． 6．（2019?新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅 有5个零点．下述四个结论： ①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点 ②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点 ③f（x）在（0，）单调递增 ④ω的取值范围是[，） 其中所有正确结论的编号是（） A．①④B．②③C．①②③D．①③④ 7．（2019?北京）设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（2019?天津）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数 为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（）＝，则f（）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2 9．（2019?新课标II）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（） A．2B．C．1D． 10．（2019?新课标Ⅲ）函数f（x）＝2sin x﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5 11．（2019?江苏）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 12．（2019?新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x的最小值为． 13．（2019?北京）函数f（x）＝sin22x的最小正周期是． 14．（2019?浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R． （Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y＝[f（x+）]2+[f（x+）]2的值域． 历届江苏高考试题汇编（三角函数1） （2010江苏高考第10题） 10、定义在区间?? ? ??20π, 上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。 （2010江苏高考第13题） 13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=， 则tan tan tan tan C C A B +=____▲_____。 （2010江苏高考第17题） 17、（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。 (1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？ （2011江苏高考第7题） 7、已知,2)4 tan(=+πx 则 x x 2tan tan 的值为__________ （2011江苏高考第8题） 8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________ （2011江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6 sin(A A =+π求A 的值； （2）若c b A 3,3 1cos ==，求C sin 的值. （2012江苏高考第11题） 11.设α为锐角，若4 cos 65 απ??+= ? ? ? ，则)12 2sin(πα+的值为▲． （2012江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分） 在ABC ?中，已知3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ． （1）求证：tan 3tan B A =； （2）若5 cos C = ，求A 的值． （2013江苏高考第1题） 1．（5分）（2013?江苏）函数y=3sin （2x+）的最小正周期为 ． （2013江苏高考第15题） 15．（14分）（2013?江苏）已知=（cos α，sin α），=（cos β，sin β），0＜β＜α＜π． （1）若|﹣|= ，求证：⊥； （2）设=（0，1），若+=，求α，β的值． （2012江苏高考第18题） 9第题图 《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的 2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：2 2cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值. 5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12 A f a ?? == ??? ,求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 2010年全国高考数学试题分类汇编——三角函数 （２０１0上海文数）1８.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则△ABC （A)一定是锐角三角形． (B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形． (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形． (2010湖南文数）7.在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为a ，b,c ，若∠C=１20°，a ，则 Ａ.a ＞b B.a ＜b C ． a=b D.ａ与ｂ的大小关系不能确定 （2０10浙江理数）(９)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （Ａ）[]4,2-- (B)[]2,0- （C)[]0,2 （D ）[]2,4 (2010浙江理数）（４）设02 x π ＜＜ ,则“2 sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 (Ａ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C ）充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (２010全国卷２理数）(7)为了得到函数sin(2)3 y x π =- 的图像,只需把函数 sin(2)6y x π =+的图像 (A)向左平移4π个长度单位 (B)向右平移4π 个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D)向右平移2 π 个长度单位 (2０10陕西文数)3.函数f (x )=2si ｎｘc ｏｓｘ是???? ??? （Ａ）最小正周期为２π的奇函数?? （B)最小正周期为2π的偶函数 (C ）最小正周期为π的奇函数? ? （D)最小正周期为π的偶函数 (２010辽宁文数）（6)设0ω>，函数sin()23 y x π ω=+ +的图像向右平移 43 π 个单位后与原图像重合,则ω的最小值是 (A)23 (B ） 43 （Ｃ) 3 2 (Ｄ） 3 (2010全国卷２文数）(3)已知2 sin 3 α=，则cos(2)x α-= (A ）19-(C ）1 9 （Ｄ 3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀. 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ? =- - ??? 是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2 π 的奇函数 D ．最小正周期为 2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2 π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为 2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得 图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32 π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π中心对称，那么φ 的最小值为 A.6 π B. 4 π C. 3 π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 32 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712f π?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数2 2cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝ 2018年高考试题分类汇编（三角函数） 考点1 任意角的三角函数 考法1 三角函数的定义 1.（2018·全国卷Ⅰ文）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半 轴重合，终边上两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2 cos 23 α=，则a b -= A. 151 考法2 三角函数的图像与性质 1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数()cos(3)6f x x π =+在[0,]π的零点的个数为 . 2．（2018·江苏）已知函数sin(2)y x ?=+,（22ππ?-<<）的图象关于直线3x π = 对称，则?的值是 ． 3.（2018·天津文科）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10 π 个单位长度，所 得图象对应的函数 A.在区间[,]44ππ -上单调递增 B.在区间[,0]4π -上单调递减 C.在区间[,]42 ππ 上单调递增 D.在区间[,]2π π上单调递减 4.（2018·天津理科）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10 π 个单位长度，所得 图象对应的函数 A.在区间[,]443π5π 上单调递增 B.在区间[ ,]4π3π 上单调递减 C.在区间[,]42 5π3π 上单调递增 D.在区间[,2]2 3π π上单调递减 5.（2018·北京理科）设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()4 f x f π ≤对任意的 实数x 都成立，则ω的最小值为_______． 6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值为 A ．4π B ．2 π C ．34π D ．π 7.（2018·全国卷Ⅱ理科）若函数()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最 2019年全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 一、选择题 1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 4 3 C.43- D.34- 【答案】C 2 ．（2019年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B 3 ．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中, ,2,3,4 AB BC ABC π ∠== 则sin BAC ∠ = 10 10 310 5 【答案】C 4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴 向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π- 【答案】B 5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长 分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠= A.6π B.3 π C.23π D.56π 【答案】A 6 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数 ()=cos sin 2f x x x , 下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π=对称 (C)()f x 3 ()f x 既奇函数,又是周期函数 【答案】C 7 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数cos sin y x x x = +的图象大致 20１5《三角函数》高考真题总结 1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．ｙ=ｓｉn (2ｘ＋错误!未定义书签。) B ．ｙ=c ｏs （2x ＋π 2) C ．y =sin 2x +cos 2x D ．ｙ＝sin x ＋c ｏs x 2.（2015·陕西卷9）设f （x )＝x -sin x ,则f (x )( ） A.既是奇函数又是减函数 Ｂ．既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 3.(2015·北京卷3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝ｘ２sin x Ｂ．y ＝x 2cos x C ．y =|ｌn x | D ．ｙ=2-ｘ 4．(2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ｌn x B ．y ＝ｘ2+1 C ．y =ｓin x D.ｙ=c ｏs ｘ ５．(20１5·广东卷3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) Ａ.y ＝x ＋ｓin 2x B.ｙ＝x 2－cos ｘ C.y ＝２x +错误!未定义书签。 D ．y ＝x 2 ＋sin x 6．(2015·广东卷５)设△A ＢＣ的内角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,ｃ．若ａ＝2,c =2错误!未定义书签。,c ｏｓ A ＝错误!未定义书签。且b 2020年高考各地三角函数真题 (1)【2020全国高考III卷(文)第5题】已知sin?θ+sin?(θ+π 3)=1，则sin?(θ+π 6 )=() A. 1 2B. √3 3 C. 2 3 D. √2 2 (2)【2020全国高考（浙江卷）第4题】函数y=xcosx+sinx在区间[?π,π]的图象大致为() A. B. C. D. (3)【2020全国高考III卷(理)第9题】已知2tanθ?tan(θ+π 4 )=7,则tanθ=() A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 (4)【2020全国高考（天津）卷第7题】已知函数f(x)=sin(x+π 3 ).给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f(π 2 )是f(x)的最大值； ③把函数y=sinx的图象上的所有点向左平移π 3 个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象．其中所有正确结论的序号是() A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ (5)【2020全国高考（浙江卷）第13题】已知tttt=2，则ttt2t=______；tan(t?t 4 )=______． (6)【2020全国高考（江苏卷）第10题】将函数y=3sin(2x+π 4)的图象向右平移π 6 个单位长度，则平移后的图象中 与y轴最近的对称轴的方程是______． (7)【2020全国高考（江苏卷）第18题】在△ttt中，角A、B、C的对边分别为a、b、t.已知t=3，t= √2，t=45°． (1)求sin C的值； (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ttt=?4 5 ，求tan∠ttt的值． (8)【2020全国高考I卷(理)第16题】如图，在三棱锥t?ttt的平面展开图中，tt=1，tt=tt=， AB AC，AB AD，ttt=，则ttt=__________．锐角三角函数中考试题分类汇编
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