2019-2020年初三数学二模试题及答案
2019-2020年初三数学二模试题及答案
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． －3的绝对值是
A ． 3
B ． －3
C ． ±3
D ． 1
3
2．函数1
1
y x =
-的自变量x 的取值范围是 A ．x ≠0 B ．x ≠1 C ．x ≥1 D ．x ≤1 3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A ． 长方体
B ． 正方体
C ． 三棱柱
D ． 圆锥
4．一组数据1，－1，2，5
，6，5的平均数和极差分别是
A ．7和3
B ．3和7
C ．5和7
D ．3和5
5． 若2(2)0x +=，则y x 的值为
A ．－8
B ．－6
C ．8
D ． 6
6．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是
A ．
16 B ．13 C ．12 D ．23
7．如图，AB 是半⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD BC ⊥于D ，
若:4:3AC BC =，10AB =cm ，则OD 的长为 A ．2 cm
B ．4 cm
C ．6 cm
D ．8 cm 8．如
图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，P 是斜边AB
上一动点（不与点A 、B 重合），PQ ⊥AB 交△ABC 的直角边于 点Q ，设AP 为x ，△APQ 的面积为y ，则下列图象中，能表示 y 关于x 的函数关系的图象大致是
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．已知32A x =-，12B x =+，则A B -= ．
10．不等式组211,
1(6)2
x x x -≥??
?-??的解集是 ．
11．已知关于x 的一元二次方程2
2410x x k ++-=有实数根，则的最大值是 ． 12．如图，在边长为1的等边△ABC 中，若将两条含120?圆心角的 AOB 、BOC 及边AC 所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积的比是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13
1
tan 602-+- 14．用配方法解方程：01632=--x x ．
15．已知：如图，∠C =∠CAF =90°，点E 在AC 上，且AE =BC ，
EF ⊥AB 于点D ．求证：AB =FE ． 16．已知2a ＋b －1＝0，求代数式2
2
()(1)()a
a b a b a b
-+÷-+的值． 17．如图，A 、B 两点在反比例函数k
y x
=
（x ＞0）的图象上． （1）求该反比例函数的解析式；
（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积． 18．列方程解应用题：
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，P A 、PC 是⊙O 的切线，
A 、C 为切点，∠BAC =30． （1）求∠P 的大小； （2）若A
B =6，求P A 的长．
20．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．
设CD ＝CB AD ＝9，AB ＝15． 求B ∠的余弦值及AC 的长．
21．国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，某区就“你每天在校
体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的条形统计图（部分）如图所示，其中分组情况是： Ａ组：0.5h t <；
Ｂ组：0.5h 1h t <≤ Ｃ组：1h 1.5h t <≤
Ｄ组： 1.5h t ≥
请根据上述信息解答下列问题： （1）Ｃ组的人数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）本次调查数据的中位数落在
组内；
（4）若该区约有4300名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的人大约有
多少？
22．定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内．．
点．．如图1，PH PJ =，PI PG =，则点P 就是四边形ABCD 的准内点．
（1）如图2， AFD ∠与DEC ∠的角平分线,FP EP 相交于点P ．
求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．
（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要
有必要的说明）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数．
（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．
24． 如图，在直角坐标系xoy 中，以y 轴为对称轴的抛物线经过直线2y x =+与y 轴
的交点A 和点M (-
0)． （1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿x 轴向右平移，使其经过坐标原点．
①在题目所给的直角坐标系xoy 中，画出平移后的 抛物线的示意图；
②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB （B 是直线2y x =+与x 轴的交点）相交于C 点，判断以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由； （3）P 点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P 点的坐标，使得以O 、A 、C 、P 四
点为顶点的四边形是平行四边形．
25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、
CB 于点E 、F ．
（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角
线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；
（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出
11
DM DN
+
的值．
密云县年2012初三第二次
综
合检测
数学试卷答案参考及评分标准
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分）
1
tan 602-+-
1
2
= ·
········································································ 4分 1
2
=．······························································································ 5分 14．（本小题满分5分） 解：原方程化为：03
1
22=--x x …………………………………………1分 13
1
122+=+-x x ………………………………………………2分 ()34
1-2
=
x ………………………………………………3分 ∴3
3
21,332121-
=+=x x ………………………………………………5分 15．（本小题满分5分）
证明：∵EF ⊥AB 于点D ，∴ ∠ADE =90°．
∴ ∠1 +∠2=90°．-----------------------------1分 又∵∠C =90°， ∴ ∠1+∠B =90°． ∴ ∠B =∠2． -------------------------------2分 在△ABC 和△FEA 中，
2,,
.B BC AE C FAE ∠=∠??
=??∠=∠?
-----------------------------------------------------------3分 ∴ △ABC ≌△FEA ． -----------------------------------------------------------4分 ∴ AB =FE ． -------------------------------------------------------------------------5分
16．（本小题满分5分）
解：2
2
()(
1)()a
a b a b a b
-+÷-+ ＝ 21
()()a b a b a b a b a b
+-+??
+- ---------------------------------------------------3分 ＝ 2a ＋b ． ------------------------------------------------------------------------------ 4分
∵ 2a ＋b －1＝0，∴ 2a ＋b ＝1．
∴ 原式＝1 ． ----------------------------------------------------------------------------- 5分 17．（本小题满分5分）
解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)m
y x x
=>的图象上， ∴166m xy ==?= ．
∴反比例函数解析式为6(0)y x x
=．-------------------------------------2分
（2）△AOB 的面积是
35
2
． --------------------------------------------------------5分 18．（本小题满分5分）
解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑， ····························· 1分
依题意得：1(1)81x x x +++=， ················································ 3分 解得 12810x x ==-，（舍去），
∴ 8x =． ---------------------------------------------------------------------------4分 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． ······································ 5分 四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题5分，第21题6分，第22题5分） 19．（本小题满分5分）
（1）解：∵P A 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ PA AB ⊥．
∴90BAP ∠=．----------------------------------1分
∵ ∠BAC =30，
∴ 9060PAC BAC ∠=-∠=． 又∵P A 、PC 切⊙O 于点A 、C ，
∴ PA PC =．-------------------------------------------------------------------2分 ∴△P AC 是等边三角形．
∴ 60P ∠=． ------------------------------------------------------------------3分
( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90．---------------------------------------4分 在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30，
∴cos 6cos3033AC AB BAC =?∠==． 又∵△P AC 是等边三角形，
∴ PA AC == ----------------------------------------------------------------5分
20．（本小题满分5分）
解：如图，在AB 上截取AF AD =，连结CF ． -------------------------------------1分
∵ AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠． 又AC AC =，
∴△ADC ≌△AFC ．
∴ AF =AD =9，CF=CD =CB =------------2分 ∴△CBF 是等腰三角形． 又∵CE AB ⊥于E ， ∴ EF =EB =
21BF =2
1
（AB －AF ）=3．--------------------------------------------------3分
在Rt △BEC 中，cos
BE B BC =
== ---------------------------------4分 在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE =5．
在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC =13．-------------------------------------------5分
∴ B ∠AC 的长为13． 21．（本小题满分5分）
解：（1）120； ---------------------------------1分 （2）图形正确 -------------------------------2分 （3）Ｃ；--------------------------------------3分 （4）达国家规定体育活动时间的人数约占
12060
100%60%300
+?=．------------4分 ∴ 达国家规定体育活动时间的人约有 430060%2580?=（人）．-----------5分
22．（本小题满分5分）
证明：（1）如图2，过点P 作AD PJ CD PI BC PH AB PG ⊥⊥⊥⊥,,,，
∵EP 平分DEC ∠，
∴PH PJ =． -----------------------------------------1分
同理 PI PG =．
∴P 是四边形ABCD 的准内点．----------------------2分
（2）
说明：①平行四边形对角线,AC BD 的交点1P （或者取平行四边形两对边中点连线
的交点1P ）是准内点，如图3（1）和图3（2）； -------------------------4分 ②梯形两腰夹角的平分线与梯形两腰中点连线的交点2P 是准内点，如图4. --5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分）
解：（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=．整理，得 2
a
b =． ∵ 0a <， ∴ 2
a
a <
，即a b <． ---------------------------------------------3分 （2） 2244(2)448a a b a a b ?=--+=+-．
∵ 对于任何实数a ，此方程都有实数根，
∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0． ∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +．
∵ 22111()2228
a a a +=+- ，
当 12a =-时，22a a +有最小值18
-．
∴ b 的取值范围是b ≤1
8
-
． ----------------------------------------------7分
24．（本小题满分7分）
（1）设0x =，则2y =．∴A （0,2）．
设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：2
2y ax =+．
∵过点M (0)，∴有2(20a ?+=．解得8
3
a =-． ∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为2
823
y x =-
+．----------2分 （2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------------------------------------------3分
②相切．
理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的
对称轴为直线x =
∵C 点是对称轴与直线AB 的相交，
∴易求得点C 32
）．
由勾股定理，可求得OC =
设原点O 到直线AB 的距离为d ，则有 AB d AO BO ?=?．
∵点A 为（0，2），点B 为（0），∴4AB =．
42d =?∴d OC ==．
这说明，圆心O 到直线AB 的距离d 与⊙O 的半径OC 相等．
∴以O 为圆心、OC 为半径的圆与直线AB 相切． -------------------------------------5分
（3）设P 点的坐标为（
2
，p ）． ∵抛物线的对称轴与y 轴互相平行，即AO ∥PC ．
∴只需PC AO =2=，即可使以O ，A ，C ，P 为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）知，点C 32
）， ∴322p -
=．∴22p -=±．解得 172p =，21
2
p =-．
∴ P 点的坐标为1p 72）或2p （，1
2
-）．----------------------------7分
25．（本小题满分8分）
证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴A D D C C B ==
，AC BD ⊥，DO BO =， 且1
12302
ADC ∠=∠=∠=．
∴在Rt △AOD 中，有1
2
AO AD =．
又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴11
22
EO CB DC OF ===．
∴AO EO FO ==．
∴点O 即为等边△AEF 的外心． -------------------------------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．
证明：如图2：分别连结PE 、P A ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ．
则90PQE PHD ∠=∠=．
∵60ADC ∠=，
∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=．
又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，
∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=?=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．
∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠，
∴ 点P 落在对角线DB 所在的直线上． ----------------------------------- 6分 ②
11
2DM DN
+=． ---------------------------------------------------------------- 8分