专题 椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题
1．已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，
2
2
）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得
7
16
QA QB
?=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22
22
2(11)()
22
a=--++，即2
a= --3分
∴2211
b=-=，∴椭圆C 方程为
2
21
2
x
y
+=．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得
7
16
QA QB
?=-恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A （1，
2
2
），B（1，
2
2
-），由于（
52
1,
42
-）·（
52
1,
42
--）=
7
16
-，
所以
5
4
m=，下面证明
5
4
m=时，
7
16
QA QB
?=-恒成立。
当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2
-，0）则（
5
2
4
-，0）?（
5
2
4
--，0）=
7
16
-，
符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()
11
,x y，B()
22
,x y，
由x=ty+1及
2
21
2
x
y
+=得22
(2)210
t y ty
++-=有0
?>∴
1212
22
21
,
22
t
y y y y
t t
+=-=-
++
；
11
1
x ty
=+，
22
1
x ty
=+
∴
11221212
5511
(,)(,)()()
4444
x y x y ty ty y y
-?-=--+=2(1)
t+
1212
11
()
416
y y t y y
-++=
22
2
222
11212217
(1)
242162(2)1616
t t t
t t
t t t
--+
-++?+=+=-
+++
，
综上所述：在x轴上存在点Q（
5
4
，0）使得
7
16
QA QB
?=-恒成立。
2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆
1
T，
2
T都过点(0,2)
M-，且椭圆
1
T与
2
T的离心率均为2
2
．
（Ⅰ）求椭圆
1
T与椭圆
2
T的标准方程；
（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交
1
T，
2
T于点P，Q，
当4
k k
'=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不
过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）
222
2
1,1
422
x y y
x
+=+=；
（Ⅱ）直线MP的方程为2
y kx
=-，联立椭圆方程得：
22
1
42
2
x y
y kx
?
+=
?
?
?=-
?
，消去y得22
(21)420
k x kx
+-=，则
42
P
k
x=，则点P的坐标为
2
42222
:(,)
k k
P
-
，同理可得点Q的坐标为：
2
22222
:(,)
k k
Q
''-
，
又4
k k
'=，则点Q为：
2
22
42822
(,)
8181
k k
k k
-
++
，
22
22
22
822222
1
8121
2
4242
8121
PQ
k k
k k
k
k
k k
k k
--
-
++
==-
-
++
，
则直线PQ的方程为：
2
222142
()
2
k k
y x
k
-
-=--，即
2
22
222142
()
21221
k k
y x
k k k
-
-=--
++
,化简得
1
2
2
y x
k
=-+，
即当0
x=时，2
y=，故直线PQ过定点(0,2)．
3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜
率为定值，并求出这个定值．
解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（2）设直线AE方程为：，
代入得，
设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
y
x
O
P
Q
在上式中以﹣K 代K，可得，
所以直线EF 的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为．4．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，点O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F任作一直线l ，交椭圆E 于P、Q两点．
（i）求?的取值范围；
（ii）若直线l不垂直于坐标轴，记弦PQ的中点为M，过F作PQ的垂线FN交直线OM 于点N ，证明：点N在一条定直线上．
解：（Ⅰ）由题意可得b=，e==，
又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有椭圆方程为+=1；
（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），当直线的斜率不存在时，设P（x1，y1），Q（x2，
y 2），直线方程为x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），
?=4﹣=；当直线的斜率存在，设l：y=k（x+2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
代入椭圆方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）
=（1+k2）x1x2+2k2（x 1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2
==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤?＜，
综上可得，?的取值范围是[﹣6，]；
（ii）证明：由直线l的斜率一定存在，且不为0，可设PQ：y=k（x+2），FN：y=﹣（x+2），设M （x0，y0），则x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，
y0=k（x 0+2）=，直线OM的斜率为k OM==﹣，直线OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的横坐标均为﹣3，则点N在一条定直线x=﹣3上．5．椭圆C：+=1（a＞b＞0）．
（1）若椭圆C过点（﹣3，0）和（2，）．
①求椭圆C的方程；
②若过椭圆C的下顶点D点作两条互相垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M，求证：直线PM经过一定点；
（2）若椭圆C过点（1，2），求椭圆C的中心到右准线的距离的最小值．
解：（1）①∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（﹣3，0）和（2，），
∴，解得a=3，b=1，
∴椭圆C的方程．
证明：②由题意得PD、MD的斜率存在且不为0，
设直线PD 的斜率为k，则PD ：y=kx ﹣1，
由，得P （，），用﹣代k，得M（，），
∴=，∴直线PM：y﹣=，即y=，∴直线PM经过定点T（0，）．
解：（2）椭圆C 的中心到右准线的距离d=，由=1，得，
∴==，
令t=a 2
﹣5，t ＞0，则=t++9≥2+9=4+9，
当且仅当t=2
，
时，等号成立，∴椭圆C 的中心到右准线的距离的最小值为
．
6．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点到直线2
:a l x c =的距
离为45，离心率5e =，,A B 是椭圆上的两动点，动点P 满
足OP OA OB λ=+，（其中λ为常数）．
（1）求椭圆标准方程；
（2）当1λ=且直线AB 与OP 斜率均存在时，求AB OP k k +的最小值；
（3）若G 是线段AB 的中点，且OA OB OG AB k k k k ?=?，问是否存在常数λ和平面内两定点
,M N ，使得动点P 满足18PM PN +=，若存在，求出λ的值和定点,M N ；若不存在，请说明理
由．
解：（1）由题设可知：右焦点到直线2:a l x c
=的距离为： 2a c c -=455， 又53c a =，222b a c =-，
∴2
4b =．∴椭圆标准方程为22194
x y +=． （2）设()()1122,,,A x y B x y 则由OP OA OB =+得()1212,P x x y y ++．
∴22
12121222
1212124
9
AB OP
y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?==--+-． 由()0,AB k ∈+∞得，423AB OP AB OP k k k k +≥?=，当且仅当2
3AB k =±时取等号 （3）
22
1212122212121249
AB OG
y y y y y y k k x x x x x x -+-?=?==--+-．∴4
·
9OA OB k k =-．∴12124+90x x y y =． 设(),P x y ，则由OP OA OB λ=+，得)11221212,,,,x y x y x y x x y y λλλ=+=++， 即1212,x x x y y y λλ=+=+．因为点A 、B 在椭圆2
2
4+9=36x y 上，
所以()222
1212493636249x y x x y y λλ+=+++．所以2
2
2
493636x y λ+=+．
即
222219944x y λλ+=++，所以P
点是椭圆22
22
19944x y
λλ+=++上的点， 设该椭圆的左、右焦点为,M N ，则由椭圆的定义18PM PN +=得182
299λ=+， ∴22λ=±，()
35,0M ，()
35,0N -．
7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F 2（1，
0），点3(1,)2
H 在椭圆上．
（1）求椭圆方程；
（2）点00(,)M x y 在圆2
2
2
x y b +=上，M 在第一象限，过M 作圆2
2
2
x y b +=的切线交椭圆于P 、Q 两点，问|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由． 解：（1） 右焦点为2(1,0)F ，∴1=c ，左焦点为)0,1(1-F ，点3
(1,
)2
H 在椭圆上 2
2
2212332(11)(11)422a HF HF ????
=+=+++-+= ? ?????
，2=∴a ，322=-=c a b
所以椭圆方程为13
42
2=+y x
（2）设()),(,,2211y x Q y x P ，()213
412
121≤=+x y x
()()2
121212
12122)4(41)41(311-=-+-=+-=x x x y x PF
1122
1
2)4(21x x PF -=-=∴，连接OM ，OP ，由相切条件知
121212
121212222
1413)41(33||||x PM x x x y x OM OP PM =∴=--+=-+=-=
221212112=+-=+∴x x PM PF ，同理可求22
1
212222=+-=+∴x x QM QF
所以22224F P F Q PQ ++=+=为定值．
8．分别过椭圆E ：
=1（a ＞b ＞0）左、右焦点F 1、F 2的动直线l 1、l 2相交于P 点，与椭圆E 分
别交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，且满足k 1+k 2=k 3+k 4，已知当l 1与x 轴重合时，|AB|=2
，|CD|=
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在定点M ，N ，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出M 、N 点坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）当l 1与x 轴重合时，k 1+k 2=k 3+k 4=0， 即k 3=﹣k 4，∴l 2垂直于x 轴，得|AB|=2a=2，|CD|=
，
解得a=
，b=
，∴椭圆E 的方程为
．
（2）焦点F 1、F 2坐标分别为（﹣1，0），（1，0），
当直线l 1或l 2斜率不存在时，P 点坐标为（﹣1，0）或（1，0）， 当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，
===，同理k3+k4=，
∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，
由题意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，设P（x，y），则，即，x≠±1，
由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，
∴点P（x，y）点在椭圆上，∴存在点M，N其坐标分别为（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1，设R（x0，y0）是椭圆C上的任一点，
从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
解：（1）由圆R的方程知，圆R的半径的半径，
因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，
所以，即，①
又点R在椭圆C上，所以，②
联立①②，解得所以所求圆R的方程为．
（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，
所以，化简得=0
同理，
所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，
，因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以
，即，所以，即2k1k2+1=0．
（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：
法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立解得
所以，同理，得，由，
所以=
===36
（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，
综上：OP2+OQ2=36．
法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为2k1k2+1=0，所以，即，
因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以，即，
所以，整理得，
所以，所以OP2+OQ2=36．
（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，
综上：OP2+OQ2=36．
10．已知椭圆C：)0
(1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
，左焦点)0,3
(-
F，且离心率
2
3
=
e．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：m
kx
y+
=（0
≠
k）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），
且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解：（1）由题意可知???
??
??+====2222
33c b a a c
e c ，解得2=a ，1=b 所以椭圆的方程为1422=+y x ． （2）由方程组?????=++=14
2
2y x m kx y 得0448)41(2
22=-+++m kmx x k ，
0)44)(41(4)8(222>-+-=?m k km ， 整理得01422>+-m k ，
设),(11y x M ，),(22y x N ，则2
21418k km
x x +=
+，22
2
14144k m x x +-= 由已知，AN AM ⊥，即0=?AN AM ，又椭圆的右顶点为)0,2(A ，所以0)2)(2(2121=+--y y x x ，
∵2
212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=，
∴04))(2()1(2
21212
=+++-++m x x km x x k ，
即04418)2(4144)1(22
222
=+++?-++-?+m k
km
km k m k ． 整理得01216522=++k mk m ， 解得k m 2-=或5
6k
m -
=均满足01422>+-m k ． 当k m 2-=时，直线l 的方程为k kx y 2-=，过定点)0,2(，与题意矛盾，舍去；
当56k m -=时，直线l 的方程为)56(-=x k y ，过定点)0,5
6
(，
故直线l 过定点，且定点的坐标为)0,5
6
(．
11．已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b
y a x
，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，是否存在圆心在坐标原点，半径为定值的定圆C ，使得l 与圆C 相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，满足12k k ?为定值，若存在，求出定圆的方程并求出12k k ?的值，若不存在，请说明理由.
解：
（Ⅰ）由题意，得c a =a 2=b 2+c 2
，又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b
+=， 解得a=2，b=1
，c =C 的方程为2
214
x y +=． （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2
+y 2
=5．
证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2
（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．
由方程组22
14
y kx m x y =+??
?+=??得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，
所以222
1(8)4(41)(44)0km k m ?=-+-=，即m 2=4k 2+1．
由方程组222y kx m
x y r
=+??
+=?得（k 2
+1）x 2
+2kmx+m 2
﹣r 2
=0，则2222
2(2)4(1)()0km k m r ?=-+->．
设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221
km
x x k -+=+，221221m r x x k -=+，
设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，
所以22
1212121212121212
()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++===
222
2
22222222222111
m r km
k km m m r k k k m r m r
k --?+?+-++==--+，将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r
-=-，即r 2
=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2
=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14
-．
当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2
+y 2
=5与l 的交点P 1，P 2也满足121
4
k k =-
． 综上，当圆的方程为x 2
+y 2
=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14
-
． 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C ，经过点)22
,1(，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右顶点的两条斜率乘积为2
1
-
的直线分别交椭圆于N M ,两点，试问：直线MN 是否过定点？若过定点，请求出此定点，若不过，请说明理由．
解：（1）根据题意1212121122
222
2222=+????==??????+==+=y x b a c
b a b a
c b ．
当MN 的斜率存在时，设0224)21(2
2:2222
2=-+++????=++=m kmx x k y x m
kx y MN ，
????
?
????
+-=
+-=+>+-=?22
212
212221222140)12(8k m x x k km x x m k ，∴21222222112211-=-+?-+=-?-=?x m kx x m kx x y x y k k NA MA ， ∴k m m km m m x x km x x k 200202))(22()12(2
221212-==?=+?=++-++或（舍）． ∴直线MN kx y =过定点(0,0)，当MN 斜率不存在时也符合，即直线MN 恒过定点(0,0)． 14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为6
，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半
径的圆与直线2260x y -+=相切． （1）求椭圆C 标准方程；
（2）已知点,A B 为动直线(2)(0)y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，
使2
EA EA AB +?为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．
解：（1）由3
6=e 得36=a c ，即a c 36
=
① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆为2
22a y x =+
且与直线0622=+-y x 相切，所以6)
2(26
22=-+=
a 代入①得c=2， 所以22
2
2
=-=c a b ．所以椭圆C 的标准方程为12
62
2=+y x （2）由?????-==+)
2(12
622x k y y x 得061212)31(2222=-+-+k x k x k
设()()1122,,,A x y B x y ，所以2
2212221316
12,3112k
k x x k k x x +-=+=+ 根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），
使得2
()EA EA AB EA AB EA EA EB +?=+?=?为定值． 则()()()11221212,,()EA EB x m y x m y x m x m y y ?=-?-=--+
=(
)(
)()(
)()()
2
222
2
2212
212
316
10123421k m k m m
m k x x m k x x k +-++-=++++-+
要使上式为定值，即与k 无关，()63101232
2-=+-m m m ，得3
7=m ．
此时，225
69
EA EA AB m +?=-=-，
所以在x 轴上存在定点E （
37，0）使得2EA EA AB +?为定值，且定值为9
5
-． 15．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，则椭圆在其上一点00(,)
A x y 处的切线方程为00221x x y y
a b
+=，试运用该性质解决以下问题：已知椭圆221:12x C y +=和椭圆2
22:4
x C y λ+=（1,λλ>为常数）．
（1）如图（1），点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，求OCD ?面积的最小值； （2）如图（2），过椭圆2C 上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ，切点分别为,M N ，当点P 在椭圆2C 上运动时，是否存在定圆恒与直线MN 相切？若存在，求出圆的方程；若
不存在，请说明理由． 解：（1）设22(,)B x y ，则椭圆1C 在点B 处的
切线方程为
2
212x x y y += 令210,D x y y ==，令220,C y x x ==，所以22
1
OCD S x y ?=
又点B 在椭圆的第一象限上，所以2222220,0,12x x y y >>+=∴22
22
22222212222x x y y x y =+≥= ∴221222
OCD S x y ?=≥=
，当且仅当22
222x y =2221x y ?== 所以当2(1,
)2B 时，三角形OCD 的面积的最小值为22
． （2）设(,)P m n ，则椭圆1C 在点33(,)M x y 处的切线为：3312
x
x y y +=
又PM 过点(,)P m n ，所以3312x m y n +=，同理点44(,)N x y 也满足4412
x
m y n +=
所以,M N 都在12x m yn +=上，即直线MN 的方程为12
x
m yn +=，又(,)P m n 在2C 上，
224m n λ+=，故原点O 到直线MN 的距离为：224
d m n λ==
+， 所以直线MN 始终与圆221
x y λ
+=相切．
16．已知直线1y x =+被圆2
2
3
2
x y +=截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相
等，椭圆C 的离心率2
2
e =．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知过点1
(0,)3
M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点
T ，使
得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理
由。 解：（Ⅰ）由题设可求得1b =，又2
2e =，则2a =，所以椭圆C 的方程是
2212
x y +=． （Ⅱ）若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆为22
1x y +=，若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为
直径的圆为2
2116()39x y ++=，由22
2
21
116()39x y x y ?+=?
?++=
??
，解得01x y =??=?，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)．
事实上点(0,1)T 就是所求的点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为
直径的圆为
22
1x y +=，过点(0,1)T ；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13
y kx =-，代入椭圆方程并整理得22
(189)12160k x kx +--=，设点A B 、的坐标为1
1
2
2
(,),(,)A x y B x y ，
则1221221218916189k x x k x x k ?
+=??+?-?=
?+?
，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，
所以有21212121212416
()1(1)()39
TA TB x x y y y y k x x k x x ?=+-++=+-+
222216161632160189
k k k k ---++==+，
所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒定过点(0,1)T ，综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)
T 满足条件．
17．已知直线l ：y ＝x ＋，圆O ：x 2
＋y 2
＝4，椭圆E ：＋＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝，直
线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；
（2）已知动直线（斜率存在）与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝1，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个定点A ，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存
在，求出A ，B 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝
＝
，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，
由题意得e ＝，∵b ＝1，∴a 2
＝4，b 2
＝1．∴椭圆E 的方程为＋＝1． （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m ．
则消去y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0． x 1＋x 2＝－，x 1·x 2＝．
|PQ|＝
·|x 1－x 2|＝
．
原点O 到直线l 1的距离d ＝，则S △OPQ ＝|PQ|·d＝
＝1，
∴2|m|·＝1＋4k 2
，令1＋4k 2
＝n ，∴2|m|·
＝n ，
∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2
． ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝＝－，y N ＝＝，
∵1＋4k 2
＝2m 2
，∴x N ＝－
，y N ＝
．∴＋2y ＝1．
假设x 轴上存在两定点A （s ，0），B （t ，0）（s≠t），则直线NA 的斜率k 1＝，
直线NB 的斜率k 2＝
，
∴k 1k 2＝＝·＝－·．
当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝－，则s ＝，t ＝－
．
综上所述，存在两定点A （
，0），B （－
，0），使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值．
18．在平角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率2
1=e ，且过点)3,0(，椭圆C
的长轴的两端点为A ，B ，点P 为椭圆上异于A ，B 的动点，定直线4=x 与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在定点经过以MN 为直径的圆，若存在，求定点
坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）???==???
???==
-==343412
22222222b a b a b a a c e ，∴椭圆C 的方程为1342
2=+y x ； 设PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，),(00y x P ，则0102y k x =+，0
202
y k x =-，
4
3
44434)41(34202
2020202
021-=--?=--=-=x x x x x y k k ，由PA l ：1(2)y k x =+知)6,4(1k M ，由PB l ：
2(2)y k x =-知)2,4(2k N ，∴MN 的中点)3,4(21k k G +，
∴以MN 为直径的圆的方程为2212212212)3()26(4
1
)3()4(k k k k k k y x -=-=--+-，
令0=y ，∴2
2212122212126969168k k k k k k k k x x +-=++++-，
∴012168212
=++-k k x x ，∴0)4
3(121682=-?++-x x ，
即0782=+-x x ，解得7x =或1x =，∴存在定点(1,0)，(7,0)经过以MN 为直径的圆．
19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右
焦点，B A ,分别是椭圆E 的左、右顶点，)0,1(D 为线段2OF 的
中点，且2250AF BF +=．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于
点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、
2k ．试问是否存在常数λ，使得021=+k k λ恒成立？若存在，
求出λ的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，∵)(5c a c a -=+，化简得c a 32=， 点)0,1(D 为线段2OF 的中点，∴2=c ，从而3a =，5b =
，左焦点)0,2(1-F ，故椭圆E 的方程
为15922=+y x ；（2）存在满足条件的常数λ，74
-=λ，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，
则直线MD 的方程为1111+-=y y x x ，代入椭圆方程159
2=+x ，整理得，0415112211=--+-y y x y y x ，
∵5)1(11131--=+x x y y y ，∴54113-=x y y ，从而595113--=x x x ，故点)54,595(11
11
---x y x x P ， 同理，点)54,595(2222---x y x x Q ，∵三点N F M ,,1共线，∴2
222
11+=+x y x y ， 从而)(2211221y y y x y x -=-，从而12
341212211221234121144555()
59594()
55
y y y y x x x y x y y y k x x x x x x x x -
----+-===-------
121127()74()4y y k x x -==-，故07421=-k k ，从而存在满足条件的常数λ，74-=λ． 20．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的标准方程为22
162
x y +=，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点．
（1）若点E 的坐标为3,02??
? ???
，点A 在第一象限且横坐标为
3，连结点A 与原点O 的直线交椭圆C 于另一点P ，求PAB ?的面积；
（2）是否存在点E ，使得22
11
EA EB
+为定值？若存在，请指出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将3x =代入22
162
x y +=，解得1y =±，因点A 在第一象限，从而(3,1)A ，由点E 的坐标为3(,0)2，所以3AB k =，直线PA 的方程为3
()23
y x =-，联立直线PA 与椭圆C 的方程，解得37
(,)5
B -
-，又PA 过原点O ，于是(3,1)P --，4PA =，所以直线PA 的方程为30x y -=，所以点B 到直线PA 的距离373
5533
5
h -
+=
=
，1336342PAB S ?=??=
（2）假设存在点E ，使得
22
11
EA EB
+为定值，设0(,0)E x ，
x
O y
2F
B P
E
A
1F
l
当直线AB 与x
轴重合时，有202222012211(6)x EA EB x ++=+=- 当直线AB 与x 轴垂直时，2222
00
1126
62(1)
6
x EA EB x +==--， 由20222
00
1226
(6)6x x x +=--，解
得0x =，20626x =-，所以若存在点E ，此
时(E ，22
11
EA EB +
为定值2．根据对称性，只需考虑直线AB
过点E ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 又设直线AB
的方程为x my =+C 联立方程组，
化简得22
(3)30m y ++-=
，所以1223y y m -+=
+，122
3
3
y y m -=+，
又
222222111111
(1)EA m y y m y ===++， 所以21212222222222
1212
()21111(1)(1)(1)y y y y EA EB m y m y m y y +-+=+=+++， 将上述关系代入，化简可得22112EA EB +=
．综上所述，存在点(E ，使得22
11
EA EB +
为定值2．
21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
与直线0x y -+=相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
解：⑴由题意知c e a ==，所以2222
22
34
c a b e a a -===，即224a b =，
又因为1b ==，所以22
4,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．…4分
⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ①
联立22
(4)14
y k x x y =-???+=??消去y 得：2222
(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ?=-+->得21210k -<，又0k =不合题意， 所以直线PN
的斜率的取值范围是0k <<
或0k <<
⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，
直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=
--， 令0y =，得221221
()
y x x x x y y -=-+， 将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()
8
x x x x x x x -+=+-． ②
由得①22121222
32644
,4141
k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．
22．已知椭圆C 的中心在坐标原点，短轴长为4
，且有一个焦点与抛物线2
y =的焦点重合．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过定点()2,0M 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点P 使得PM 始终平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=椭圆的短轴长为4，242b b ∴=∴=，又
抛物线
2
y =
的焦点为
)
,c ∴=，则2229,a b c =+=∴所求椭圆方程为22194
x y +=；
（2）设:2l x my =+代入椭圆方程整理得：()22
4916200m y my ++-=，则12212216492049m y y m y y m ?
+=-??+?
?=-?+?
假设存在定点(),0P t 使得PM 平分APB
∠，则121200
PA PB y y
k k x t x t
+=?+=--()()()()()12211212220220290y my t y my t my y t y y m t ?+-++-=?+-+=?-=①
要使得①对于m R ?∈恒成立，则92t =
，故存在定点P 使得PM 平分APB ∠，坐标为9,02?? ???
． 23．已知椭圆()2222:10x y C a b
b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆
120-+=相切． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别
交直线16
3
x =
于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
解：（1
）由题意得22212
42
c a a b b c a b c ?=?=??
?=∴=??=??=+??
C 的方程为2211612x y +=． （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由
()2222
341821016123x y m y my x my ?+?∴++-=??=+?
121222
1821,3434m y y y y m m --∴+==++，由,,A P M 三点共线可知()11
11281643443
M M y y y y x x =∴=+++ 同理可得()222834N y y x =+，所以()()12
1212916161649443333
N M N M y y y y y y k k x x =?==
++-- ()()()()()2121212124477749x x my my m y y m y y ++=++=+++ ()1212212121612
7497
y y k k m y y m y y ∴=
=-+++．
椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题 解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理； （2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围； （4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。 一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a-c （近日点）。 推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -， 2 2 01)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(2202 0a x b y -=，将其代入 2 0201)(||y c x PF ++=并化简得a x a c PF += 01||。所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a a c PF +=+?= max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。c a a a a c PF -=+-?= )(||min 1。当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。 1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 12 22 =+y x 不同的点A 、B 关于直线2 1 + =mx y 对称。 （1）求实数m 的取值范围； （2）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）。 解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为y =联立?? ???+-==+b x m y y x 1122 2，消y 去，得012)121(222=-+- +b x m b x m 。 因为直线b x m y +-=1与椭圆 12 22 =+y x 有两个不同的交点， 所以04 222 2 >+ +-=?m b 。-------① 设),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 的中点 ),(M M y x M ，则2 4221+= +m mb x x ，
高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题
圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．
圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+
椭圆中定点定值问题(与顶点有关)
椭圆中的“定” 四、与椭圆的顶点有关 22. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点() 0,m M 的动直线与椭圆相交与不同的两点 C B ,（都不与点A 重合） ，记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则 ()() a m a a m b k k +-=2221. 23. 已知A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点()(),0N a n n ≠的动直线与椭圆相交与不同的两点C B ,（都不与点A 重合），记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则n a k k 21121=+. 24. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非短轴端点）与短轴两端 点21B B 、的连线，交x 轴于点M 和 N ，O 为原点，则2a ON OM =?.
25. 若椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 上任一点P （非长轴端点）与长轴两端点21A A 、的连 线，交y 轴于点Q 和R ，O 为原点，则 2b OR OQ =?. 26.（1） 12,A A 是椭圆()0122 22>>=+b a b y a x 的左右顶点，直线l 与椭圆交于,C D 两点，并 与x 轴交于点P ，直线1AC 与直线2A D 交于 点Q ，当点P 异于12,A A 两点时， 2OP OQ a =. 27.已知点A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的左顶点，点C B ,在椭圆上，直线AC AB ,的斜率为21,k k （1）若q k k =21（不等于零的常数），则直线BC 过定点()2222,0a b a q b a q ??+ ? ?-?? ，此定点的另一个表达式是22,02e a e ?? ?-?? （e 是离心率）. （2）若q k k =+2 111（不等于零的常数），则直线BC 过定点??? ? ?? q a a 2,. （3）若12k k q +=（不等于零的常数），则直线 BC 过定点22,b a aq ??- ?? ? .
解析几何中的定点和定值问题(同名5575)
解析几何中的定点和定值问题(同名5575)
解析几何中的定点定值问题 考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。 一、 定点问题 解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。 例1、已知A 、B 是抛物线y 2 =2p x (p >0)上异于原点O 的两 个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。 例2．已知椭圆C ：22 2 21(0)x y a b a b +=>>3，以原点为 圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线20 x y -=相切．⑴求椭 圆C 的方程； ⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同 A B y O x
焦距为2，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 例3、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 4x y =的焦点，离心率5 e =过椭圆的右焦点F 作与坐 标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。（I ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r ， 求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存 在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。 二、 定值问题 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
椭圆中定点定值问题(一般结论)
椭圆中的“定” 五、一般结论 30. 已知点()()0,0000≠y x y x A 是椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上一定点，过点A 的两直线21,l l 与椭圆C 的另一个交点分别为Q P 、，直线21,l l 的斜率分别为21,k k . （1）若2221a b k k =?，直线PQ 的斜率为定值0 0x y -.反之亦然. （2）若021=+k k ，直线PQ 的斜率为定值0 202x a y b .反之亦然. 31.椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之积为定值()122≠m m a b ，则直线BC 必定过定点()()??? ??-+--+11,1100m m y m m x M . 32.椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的动弦BC 的两端点与椭圆上定点()00,y x A 连线的斜率存在，若斜率之和为定值()02≠n n a b ，则直线BC 必定过定点?? ? ??---0000,y x an b y bn a x N . 33.（1）一条经过点()0,m M 的直线l 与椭 圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 交于B A ,两点，作A 关于长轴的对称点A ',则直线A B '过定点2,0a T m ?? ??? . （2）一条经过点()()0,M m b m b -<<的直线l 与椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 交于,P R 两点，
设点20,b Q m ?? ??? ，则PQM RQM ∠=∠. 34.（1）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的 切线，切点为B A ,，则直线AB 必过椭圆的左（右）焦点，反之，当圆锥曲线的焦点弦AB 绕焦点F 运动时，过弦的端点,A B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线. （2）过椭圆C 的左（右）准线上任意一点N 作椭圆的切线，切点为A ，则以NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即090NFA ∠=. 35.过点()00,P x y 作直线交12222=+b y a x C ：()0>>b a 于,A B 两点，点,P Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB 上，若A P Q B A Q P B =，则点Q 在定直线00221x x y y a b +=上. 36.已知()00,P x y 是椭圆 22 22:1x y E a b +=外一点，过点P 作椭圆的切线，切点为,A B ，再过P 作椭圆的割线交椭圆于,M N ，交AB 于点Q ，令111,,s t u PM PN PQ ===，则
圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法
寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B
椭圆定值定点、范围问题总结
椭 圆 一、直线与椭圆问题的常规解题方法: 1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K 是否存在） ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ?“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?12120x x y y +>等； ③“等角、角平分、角互补问题” ?斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题” （如：AQ QB λ= ?数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线?直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
椭圆大题定值定点取值范围最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；
圆锥曲线中的定值定点问题
圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析
试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.
专题 椭圆中的定点、定值问题
椭圆中的定点、定值问题 椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思想运用常见题型． 例1已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P 1(1，1)，P 2(0,1)，P 3? ????－1，32，P 4? ????1，32四点中恰有三点在椭圆C 上． (1) 求C 的方程； (2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点? ????1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 思维变式题组训练 1. 已知椭圆E ：x 2 a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为M (0,1)，两条过M 的动弦MA ，MB 满足MA ⊥MB .对于给定的实数a (a >1)，动直线AB 是否经过一定点？如果是，求出定点坐标(用a 表示)；反之，请说明理由． 2. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12 ，右准线方程是直线l ：x ＝4，点P 为直线l 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B (点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方)． (1) 求椭圆的标准方程； (2) ① 求证：分别以PA ，PB 为直径的两圆都恒过定点C ；
椭圆定点定值专题(精选.)
一．解答题（共30小题） 1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为 4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上 位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值； ②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由． 2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2， 且过点．（1）求椭圆E的方程； （2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是 椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M． （ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值； （ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标． 4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中． （1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围； （2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上． （1）求椭圆的方程； （2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使． （i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2． 6．已知椭圆的左焦点为F（﹣，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点． （Ⅰ）求椭圆标准方程； （Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2| 为定值？，若存在，求出F1，F2的坐标，若不存在，说明理由． （Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，
圆锥曲线的定点定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值. 一、主要知识及主要方法： 1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算 证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线） 上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征 选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动 点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆 2214 2x y +=上的两个动点,P Q 及定点M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标.
椭圆中的定点与定值问题
椭圆中的定点与定值问题 江苏省苏州第十中学 朱嘉隽 【教学目标】 1. 在解决椭圆定值定点问题的过程中，体验以动态的观点研究解析几何问题的思维方式； 2. 综合、灵活地使用对称、共线以及变量之间的关系，掌握等价转化、数形结合等思想方法. 【基础训练】 1. 已知椭圆 22 1164 x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点，直线MN 过x 轴上的一定点，该定点为___________． 【解析】通过特殊位置判断，不妨设直线AM 的斜率为1，直线AN 的斜率为-1，联立椭圆与直线 方程解之，即22 21125324804 1645=+4 x y x x x x y x ?+=??++=?=-=-??? 或（舍去），由此时点M 、N 的对称性可知，直线MN 过x 轴上的定点12 (,0)5 T - ． 【反思】填空题中涉及定点定值问题的，往往采用特殊位置带入求解，猜测得到答案，在解答题中也经常采用先猜后证的方法，但要注重严格的计算证明． 2. 椭圆22 :182 x y C +=上一点(2,1)A ，若,M N 是椭圆上关于原点对称的两个点，当直线AM 、AN 的斜率都存在时，AM AN k k ?=_____________. 【解析】设点求解，抓住点在椭圆上，构建关系，设00(,)M x y 、00(,)N x y --，则001 2 AM y k x -= -，0012AN y k x --=--，20002000 111224AM AN y y y k k x x x ----∴?=?=----，又22 002(1)8x y =-，14AM AN k k ∴?=-. 【反思】有关重要结论可识记，若,M N 是椭圆22 221x y a b +=上关于原点对称的两个点，点A 是椭圆 上一定点，则2 2AM AN b k k a ?=-．
椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定” 二、与椭圆的焦点弦有关 4. 椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ 的中垂线交x 轴于R ，则 22PQ F R e =. 5.PQ 为过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K +=. 6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆. （2）弦MN （异于长轴）过椭圆 122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N 交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为 直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2 F 关于准线的对称点 .
（3）弦MN 过椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交 椭圆的对称轴于点D ,则 22MDF NDF ∠=∠. （4）P 为椭圆122 22=+b y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切 线交椭圆的右准线于点N ，则 222ON PF b k k a =-. 7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦 点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的 对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的 圆必交于同一点2,0a c ?? ??? . 8. 弦AB （异于长轴）过椭圆122 22=+b y a x C ： ()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切 线交圆222x y a +=于,M M '两点，则 （1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形 MM BA '为梯形； （2）角APB ∠为锐角； （3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ?? ???时，APB ?的面积最小，其最小值为4 b ac .
专题 椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题 1．已知椭圆C： 22 22 1 x y a b +=（0 a b >>）的右焦点为F（1，0），且（1-， 2 2 ）在椭圆C上。 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 7 16 QA QB ?=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22 22 2(11)() 22 a=--++，即2 a= --3分 ∴2211 b=-=，∴椭圆C 方程为 2 21 2 x y +=． （2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得 7 16 QA QB ?=-恒成立。 当直线l的斜率不存在时，A （1， 2 2 ），B（1， 2 2 -），由于（ 52 1, 42 -）·（ 52 1, 42 --）= 7 16 -， 所以 5 4 m=，下面证明 5 4 m=时， 7 16 QA QB ?=-恒成立。 当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2 -，0）则（ 5 2 4 -，0）?（ 5 2 4 --，0）= 7 16 -， 符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A() 11 ,x y，B() 22 ,x y， 由x=ty+1及 2 21 2 x y +=得22 (2)210 t y ty ++-=有0 ?>∴ 1212 22 21 , 22 t y y y y t t +=-=- ++ ； 11 1 x ty =+， 22 1 x ty =+ ∴ 11221212 5511 (,)(,)()() 4444 x y x y ty ty y y -?-=--+=2(1) t+ 1212 11 () 416 y y t y y -++= 22 2 222 11212217 (1) 242162(2)1616 t t t t t t t t --+ -++?+=+=- +++ ， 综上所述：在x轴上存在点Q（ 5 4 ，0）使得 7 16 QA QB ?=-恒成立。 2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆 1 T， 2 T都过点(0,2) M-，且椭圆 1 T与 2 T的离心率均为2 2 ． （Ⅰ）求椭圆 1 T与椭圆 2 T的标准方程； （Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交 1 T， 2 T于点P，Q， 当4 k k '=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不 过定点，请说明理由． 解：（Ⅰ） 222 2 1,1 422 x y y x +=+=； （Ⅱ）直线MP的方程为2 y kx =-，联立椭圆方程得： 22 1 42 2 x y y kx ? += ? ? ?=- ? ，消去y得22 (21)420 k x kx +-=，则 42 P k x=，则点P的坐标为 2 42222 :(,) k k P - ，同理可得点Q的坐标为： 2 22222 :(,) k k Q ''- ， 又4 k k '=，则点Q为： 2 22 42822 (,) 8181 k k k k - ++ ， 22 22 22 822222 1 8121 2 4242 8121 PQ k k k k k k k k k k -- - ++ ==- - ++ ， 则直线PQ的方程为： 2 222142 () 2 k k y x k - -=--，即 2 22 222142 () 21221 k k y x k k k - -=-- ++ ,化简得 1 2 2 y x k =-+， 即当0 x=时，2 y=，故直线PQ过定点(0,2)． 3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜 率为定值，并求出这个定值． 解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去） 所以椭圆方程为． （2）设直线AE方程为：， 代入得， 设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上， 所以由韦达定理得：，， 所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数， y x O P Q
圆锥曲线中的定值定点问题
2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 ??????1?0a?b:C22,C上的离心率为在, 已知椭圆1.. 22yx2 点22ba2C的方程；）求（I lOlCABABM, ,与线段有两个交点,（II）直线中点为不经过原点,且不平行于坐标轴,OMl的斜率乘积为定值证明：直线. 的斜率与直线 22yx??1过点A（2,0），B（0,1）两点已知椭圆2.C：. 22ba）求椭圆C的方程及离心率；（I ，求轴交于点直线轴交于点M，PB与xNyPA上，为第三象限内一点且在椭圆设（Ⅱ）PC直线与. 证：四边形的面积为定值ABNM
????2,1P0a?1b??C:?10，其左焦点到点椭圆3.的距离为的离心率为 22yx1 22ab2C的标准方程I）求椭圆（C A,BA?m,Bl:y?kx AB为直径的圆与椭圆相交于，且以（Ⅱ）若直线不是左右顶点）两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标. 过椭圆的右顶点。求证：直线
<圆锥曲线中的定值定点问题>答案22yx 1（II）见试题解析）【答案】（1.I2248 试题解析：
2222b,a,ab,,本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于通过解方程组求出的两个方程【名师点睛】解析几何中的证明问题通常有以下几类：解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,. 证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题 2. c3??e．2a ????的面积为定值．从而四边形再证明定点、定值、定线，解决定值定点方法一般有两种：(1)
从特殊入手，求出定点、【名师点睛】直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线与变量无关；(2)应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的定值、定线.. 运用可有效地简化运算 1c??,0?cF:1:3ce??2??a:b:），设左焦点3.解：（112a 22????1c?10PF???c?20??1?，解得122yx1??3a?2,b???椭圆方程为34??2,0D 1）可知椭圆右顶点（2）由（??????2,0y,y,BDxA,x AB，以设为直径的圆过21210??DB?DA DBDA?DBDA??即 ????y?2,xDA?yx?2,?,DB2211 ???????4?yy?x??x?yy?2????DADBxx2?x2x0①2121211212 y?kx?m?????222??0?8mkx?3?4k43xm?联立直线与椭圆方程： ?22123y?x?4???23m?48mk?x?x??,xx? ??????22mx?mk?kx?mx?k?x?yy?xkx?m 212122?334k4k? 21212211??2234km?22k?mk3m128mk?2???m?，代入到① ??23m4?22k?3m128mkDA?DB??2??4??0 2224k?34k4?3k?3 2224k?34k?34k?32222km12??12?34m16?12?16mk?k??0 ????22?02kkmk?0??7m?m?72?16mk?4 2?34k 2m??2k k???m或72222?????l,0k?l:y?kxx?k?km??恒过当时，????