勾股定理讲义

勾股定理

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么 2

2

2

a b c += 。

强调说明：勾——最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

2、勾股定理的逆定理：如果三角形三边a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2

，那么这个三角形就为直角三角形。

3、定理的证明方法

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：

c

b

a

H

G F E

D

C

B A

方法二：

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以

a

c

b

方法三：

a b

c

c b

a

E D C

B

A

4

利用勾股定理作长为

的线段

易错点

1,,,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。因此，在非直角三角形中或者是在不知道三角形是不是直角三角形的情况下，不能盲目地使用勾股定理。另一方面，若已知三角形中有直角，使用勾股定理时也需谨慎，不能机械地把它记为222c b a =+，这只是

o C 90=∠时的情形。当o A 90=∠时，有222a c b =+；当o B 90=∠时，有222b c a =+

2,,注意隐含条件

已知直角三角形的两边长分别为3cm ，4cm ，求第三边的长

由于思考不周全，忽略隐含条件，误认为一边是3cm ，一边是4cm ，所以第三边就应该是5cm ，实际上，题目隐含着两种情况 3,注意应用的区别

在直角的三角形中需要用到三边关系时用勾股定理，而已知三边长想用勾股定理进行有关计算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角形。

4,注意遇到求高问题常考虑用勾股定理解决

【知识点 1】 勾股定理内容

1.在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2

AB +2AC +2

BC =__

2.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A.a=1.5，b=2,c=3 B.a=7,b=24,c=25 C.a=6,b=8,c=10 D.a=3,b=4,c=5

3.中学.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25 B.14 C.7 D.7或25

4.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.

→

← 3m

4m “路”

5.下列各组数中，以它们为边长的线段不能．．

构成直角三角形的是（ ）． A ．6，8，10 B ．8，15，17 C ．1，3，2 D ．2，2，32 6.中学如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点AB 之间的距离是（ ）

A ． 13

B ． 9

C ． 18

D ． 10

7.如图,64、 400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 ___ .

8.如右图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，而他们仅仅少走了 步（假设1米 = 2步），却踩伤了花草. 9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 、E 、F 的面积之和是______2

cm

10.下列各组数中，以它们为边长的线段能．

构成直角三角形的是（ ）． A ．3，4，6 B ．5，12，14 C ．1，1，3 D ．2，23 ，4 11.下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是直角三角形的是（ ）

A. 5c ,4b ,3a ===，

B. 13c ,12b ,5a ===

C. 5c ,2b ,1a ===

D. 3

c ,2b ,23

a ===

12.直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的高线的长为 13.中下列各组数中， 能成为直角三角形的三条边长的是 （ ） A ．8、15、17 B. 10、24、25 C. 9 、15、20 D. 9、 80、 81

14.为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一

架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够。要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（ ） A ．0.7米 B ．0.8米 C ．0.9米 D ．1.0米 15若直角三角形的两边长分别为6cm 和8cm ，则第三边长为

16.如图，四边形ABCD 中，A B ⊥BC ，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD 的面积。

B

C

A

D

C

B

A

_ F

_ E

_ D

_ C

_ B

_ A

17小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多

1 m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面， 则旗杆的高为

18.老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积。老李测量了

草坪各边得知：AB=3米,BC=4米,AD=12米,CD=13米,且AB ⊥CB .请同学们帮老李

家计算一下这块草坪的面积.

19.中学,如图在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17。

求ABC

S ? （7分）

20如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ） Ａ．4 Ｂ．6

C ． 16 Ｄ．55

21.如图已知正方形ABCD 中，AD AF EB AE 4

1

,=

=， 求证：EF CE ⊥

22.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．如图1中是以格点为顶点面积为5的正方形；

（1）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3、4、5；

A B

C D a

b

c l

5m

3m B C

A E

C

D

B

A F G

D

E A

C

B

（2）在图3中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、5、13．

23.在高为3米,斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少需要多少米?

24.如果正方形ABCD 的面积为2，则对角线AC 的长度为 25.如图，在单位正方形组成的网格图中标有四条线段，其中能构

成一个直角三角形三边 的线段是（）

A. CD ，EF ，GH

B. AB ，EF ，GH

C. AB ，CD ，GH

D. AB ，CD ，EF 26.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一

只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了___________米． 27.一个三角形的三个内角之比为1∶2∶1，其相对应的三边之比为（ ） A . 1∶2∶1 B ．1:2:1

C ．1∶4∶1

D ．2∶1∶2

28.如图是2002年北京第24届国际数学家大会

会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图 中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角 形的两直角边分别为_________．

29.一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在

离树底部C 的12米处，则大树数断裂之前的高度为（ ） A ． 9米 B. 15米 C. 21米 D. 24米

30.如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5

米，求梯子顶端A 下落了多少米？

31.如图，ABC RT ?中，0

90=∠C ，若AB=15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为（ ）

H

G

D

E

F

C

B

A

A

A 1

B

B 1 Q P

E

C

A

B

D

F

A 、2225cm

B 、2200cm

C 、2

150cm D 、无法计算

【知识点】 勾股数

能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数，∵32+42=52

∴3、4、5是一组勾股数 同理 6、8、10是一组勾股数，

32.显然，若(a ，b ，c)为一组基本勾股数，则(ka ，kb ，kc)也为勾股数，其中k 为正整数

观察一下几组勾股数，并寻找规律：① 3， 4， 5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25；

④ 9，40，41；……

请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 【知识点 3】 勾股定理与方程的综合运用

运用勾股定理解决几何问题时，常常要构造方程求解。

33.折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长。

34将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E

处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，求线段CN 的长．

【知识点 5】 最近问题

在本章中，求解长方体、圆柱体等例题图形表面上两点间最短距离问题，通常是将其表面展开为平面图形，然后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算出结果 36.如图是一个边长6厘米的立方体ABCD ---EFGH ， 一只甲虫在棱EF 上且距F 点1厘米的P 处. 它要爬到顶点D ，需要爬行的最近距离是__________厘米.

37.有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1、BB 1为相对

的两条母线。在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA =4cm ；在BB 1上有一 只苍蝇P ，PB 1=3cm 。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短 的路径是 cm .（结果用带π和根号的式子表示）

第19题 A

B

C

D

E

F G H P

A

B C

D E

F

G

20题图

【知识点6】规律

38.第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：

39.已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等

腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．

OA 2 OA 3 OA 4 OA 5 OA 6 OA 7 OA 8