新人教版高中数学必修第二册课时跟踪检测(二十七) 直线与平面平行的性质

课时跟踪检测（二十七）直线与平面平行的性质

A级——学考合格性考试达标练

1．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则()

A．a∥b B．a与b异面

C．a与b相交D．a与b无公共点

解析：选D由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．故选D.

2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….故选A.

3．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是() A．m∥α，m∥n?n∥α

B．m∥α，n∥α?m∥n

C．m∥α，m?β，α∩β＝n?m∥n

D．m∥α，n?α?m∥n

解析：选C A中，n还有可能在平面α内；B中m，n可能相交、平行、异面；由线面平行的性质定理可得C正确；D中m，n可能异面．故选C.

4．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()

A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

解析：选D由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.故选D.

5.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD

上的点，若GH∥平面SCD，则()

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C ．GH ∥SC

D ．以上均有可能

解析：选B 因为GH ∥平面SCD ，GH ?平面SBD ，平面SBD ∩平面SCD ＝SD ，所以GH ∥SD ，显然GH 与SA ，SC 均不平行．故选B.

6．α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条直线，有下面三个条件：

①a ∥γ，b ?β；②a ∥γ，b ∥β；③a ?γ，b ∥β.

命题“α∩β＝a ，b ?γ，且________，则a ∥b ”是真命题(在横线处填写条件)．

解析：①中a ∥γ，b ?β，γ∩β＝b ，得出a ∥b ；③中a ?γ，b ∥β，b ?γ，α∩β＝a ，β∩γ＝a ，得出a ∥b .

答案：①或③

7.如图所示，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，AD ，

BC 与平面α分别交于点M ，N ，且点M 是AD 的中点，AB ＝4，CD ＝6，

则MN ＝________.

解析：因为AB ∥平面α，AB ?平面ABCD ，平面ABCD ∩平面α＝

MN ，所以AB ∥MN ，又点M 是AD 的中点，所以MN 是梯形ABCD 的中位线，故MN ＝5.

答案：5

8.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，

点F 在CD 上. 若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.

解析：因为EF ∥平面AB 1C ，平面AC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF ?平

面AC ，所以EF ∥AC . 又E 为AD 的中点，所以F 为DC 的中点，EF ＝12

AC ＝ 2. 答案： 2

9.如图所示，已知AB ∥平面α，AC ∥BD ，且AC ，BD 与α分别相交于点

C ，

D .求证：AC ＝BD .

证明：如图所示，连接CD ，

因为AC ∥BD ，所以AC 与BD 确定一个平面β，

又因为AB ∥α，AB ?β，α∩β＝CD ，

所以AB ∥CD .

所以四边形ABDC 是平行四边形．

所以AC ＝BD .

10.如图所示，E ，F ，G ，H 为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，

DA 上的点，且EH ∥FG .

求证：EH ∥BD .

证明：因为EH ∥FG ，EH ?平面BCD ，

FG ?平面BCD ，所以EH ∥平面BCD .

又因为EH ?平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，

所以EH ∥BD .

B 级——面向全国卷高考高分练

1．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是( )

A ．平行

B ．平行或异面

C ．平行或相交

D ．异面或相交

解析：选B 由AB ∥CD ，AB ?平面α，CD ?平面α，得CD ∥α，所以直线CD 与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．故选B.

2．如图所示的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直

线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )

A ．异面

B ．平行

C ．相交

D ．以上均有可能

解析：选B 因为A 1B 1∥AB ，AB ?平面ABC ，A 1B 1?平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1?平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE ∥AB .故选B.

3.如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，

E 为AD 中点，

F 在P A 上，AP ＝λAF ，PC ∥平面BEF ，则λ的值为( )

A ．1

B.32 C ．2 D ．3

解析：选D 设AO 交BE 于点G ，连接FG (图略). 因为O ，E 分别是BD ，AD 的中点，所以AG AO ＝23，AG AC ＝13

. 因为PC ∥平面BEF ，平面BEF ∩平面P AC ＝GF ，所以GF ∥PC ，所以AF AP ＝AG AC ＝13

，即λ＝3.故选D. 4.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中

心，点Q 是面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，

则线段PQ 的长为( )

A.22

B.32

C ．1 D. 2

解析：选A 如图，连接AD 1，AB 1，

∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，

平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1，PQ ?平面AB 1D 1，

∴PQ ∥AB 1，∴PQ ＝12AB 1＝12 12＋12＝22

.故选A.

5．如图所示，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，

AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形

状是______．

解析：平面ADC ∩α＝EF ，且CD ∥α，得EF ∥CD ；同理可证GH ∥

CD ，EG ∥AB ，FH ∥A B.所以GH ∥EF ，EG ∥FH .所以四边形EFGH 是平

行四边形．

答案：平行四边形

6．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有________条．

解析：过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．

答案：0或1

7.如图所示的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，如何作出过点A 1，B ，C 1的

平面与平面ABC 的交线？并说明理由．

解：在平面ABC 中，过点B 作直线l ，使l ∥AC ，则l 即为平面BA 1C 1

与平面ABC 的交线．

证明如下：

在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，AC ?平面ABC ，A 1C 1?平面ABC ，

所以A 1C 1∥平面ABC .

又A 1C 1?平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面ABC ＝l ，

所以A 1C 1∥l .

又因为直线l 过点B ，且l ?平面ABC .

根据线面平行的性质定理，l 即为所求．

C 级——拓展探索性题目应用练

如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置．

解：若MB ∥平面AEF ，如图过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于N ，

连接MN ，NF .

因为BF ∥平面AA 1C 1C ，

BF ?平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .

又MB ∥平面AEF ，MB ?平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ， 所以BFNM 是平行四边形，

所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1.

而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，

所以MN ∥EC ，MN ＝12

EC ＝1， 故MN 是△ACE 的中位线．

所以当M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF .