质心运动定理 动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理

小结：
一、牛顿定律 牛顿第一定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律 惯性
r r r dp r dv F= =m = ma dt dt
r F12 r F 21
力
惯性参考系
m1
m2
r r F12 = ? F21
二、非惯性系、惯性力
r r r F + F惯 = m a ′
r r F惯 = ?m a0 r 2v F惯 = m ω r

三、 质心 质心运动定理
1、质点系：由多个相互作用的质点构成的系统 2.质心的概念和质心位置的确定 先考虑两个质点构成的质点系：
z
r r1
r r r dr 单个质点的动量 P = mv = m dt 对两个质点的系统: r r r dr1 dr2 r r P = m1v1 + m2 v2 = m1 + m2 dt dt
r rc
m1
c
m2
r r2
x
r r r 代表一特殊点的位置矢量，r = m1 r1 + m 2 r2 M = m c ∑ i m1 + m 2 这个特殊点称为“质心”。
（即：质点系的质量中心） 质心的位矢
有长度的量纲 r r r drc d m1r1 + m2r2 r r d ) =M = ( m1 r1 + m2 r2 ) = (m1 + m2 ) ( dt dt m1 + m2 dt 总质量M
y
0
质心的质量

z
对多个质点的质点系,
m1r rc
r1
rc
0 x
r2
r mi ri r m2
r r r r r m1r1 + m2r2 + ... + mi ri + ... + mnrn = rc = m1 + m2 + ... + mi + ... + mn
y
xC
∑
n
i =1 n
r m i ri mi
i i
∑
i =1
∑m =
M
i
xi
yC
∑m =
M
i
yi
zC =
∑m z
M
若物体的质量连续分布,则
z r
0
dm M
·
C
r rc =
r ∫r dm
xC = yc =
∫ ∫
xdm M ydm M
rc
x
y
∫dm
★ 质心和重心是两个不同的概念

例 一均匀直杆，质量为M，长为L, 求其质量中心 解：1、建立坐标系 2、取质量微元 0 x dm
xc
∫ xdm = ∫ dm
∫
L 0
x
M dm = dx L
M xc = L
xdx
M
1 = L 2
质心在杆的几何中心
均匀的直棍、圆盘、球体、 圆环等,质心在它们的几何中心上。

2、质心运动定理 质心的位矢
r rc =
r mi ri ∑
i
r r r r 质心的速度 v = drc = 1 d ( m r )= 1 d (m r ) ∑ i i ∑ dt i i dt M dt i M i
C
M
r vc =
N i=1
∑
i
r m ivi M
N
r r r r M vc = ∑ m i vi = ∑ p i = P
i=1
v r P = Mv c
质心的动量等于系统内所有质点的动量和 r r d vc r dp =M = Mac dt dt

r r d vc r dp =M = Mac dt dt n r v 系统内任意质点 i所受的力： Fi 外 + ∑ f ij
j ≠i
v 第i个质点满足牛顿第二定律 Fi 外 + ∑ j≠i r r v dpi r r ∑ Fi外 + ∑∑i f ij = ∑ dt v dpi d P i i j≠ i ∑ Fi外 = ∑ dt = d t r i =1 i ∑∑ f ij = 0
n
r r dpi f ij = dt
r r F外 = Mac
i
j≠i
质点系受 的合外力 质心的运动定理
质点系 总动量的导数
质心运动定理：质心的加速度与质点系所受合外力的 矢量和成正比，与质点系总质量成反比 2-15甩
系统内力不会影响质心的运动
手榴弹 A.exe

例：质量M=200千克、长 l =4米 的木船 浮在 静止 的水面上，一质量为m=50千克 的人站在船尾。 人以时快时慢的不规则速率从船尾走到船头， 求：船相对岸移动的距离 d =？（设船与水之间的 摩擦可以忽略） m 解： 用质心定理求解 M c 系统：人与船 水平方向：不受外力所以质 心始终静止质心的坐标值不变 c d

y x1 x2 x’1 x’2
m c M
mx 1 + Mx 2 xc = m+M ′ ′ m x1 + Mx 2 ′ xc = m+M
c d x
′ xc = xc
′ ′ M ( x 2 ? x 2 ) = m ( x1 ? x1 )
Md = m (l ? d ) m 50 d= l= × 4 = 0.8 m m+ M 50 + 200
r r r r人?地 = r人?船 + r船?地
∴ mx 1 + Mx 2 ′ = m x1 + Mx′ 2
′ x人?地 = x1 ? x1 x人?船 = l ′ x船?地 = x2 ? x2 = ?d

2.2 动量定理
动量守恒定律
r r dP F= dt
一、 质点的动量定理 由牛顿第二定律
r r Fdt = dp
∫
t2
t1
r F ( t )dt =
r I =
∫
p2 p1
r r r dp = p2 ? p1
合外力的冲量
力的时间积累 定义
∫
t2 t1
r F ( t )d t
r r r I = P2 ? P1
t2
质点动量定理
合外力的冲量等于质点在这段时间内动量的增量 分量式
I x = ∫ Fx d t = P2 x ? P1 x = mv2 x ? mv1 x
t1

例题：质量为5公斤的物体受一水平方向外力作用，在光滑 水平面上由静止开始作直线运动，外力F随时间变化情况如 图所示。在5秒至15秒时间内外力的冲量是多少？
F =0
5 ≤ t ≤ 10 10 < t < 15
F(N) 10 0 -10 5 10 15 t(s)
F = ?2t + 20
I = ∫ Fdt = ∫ 0dt + ∫ (?2t + 20)dt = ?25( N ? s)
5 10 5 10 15
15

在冲击和碰撞过程中，物体间相互作用时间较短，相互作 用力往往很大，而且随时间改变。这种力通常叫冲力。
平均冲力：冲力对作用时间的平均值
r F =
F
1 t 2 ? t1
∫
t2 t1
r r I F dt = ?t
这时动量定理可以写成： F 0 t1
I
t2
t
r r r r I = F ( t 2 ? t 1 ) = P2 ? P1
由此可以估计冲力的大小

例. 一质量为 0.1kg 的小钢球从 2.5m 处 自由下落,与地上水平钢板碰撞后回跳高度 为1.6m. 设碰撞时间为 0.01s, 求撞击力。 解 m h1 h2 y 碰前 v1 =
2gh1
碰后
v 2 = 2gh2
小球所受的撞击力 mv 2 ? mv 1 m ? 2 gh2 ? 2 gh1 F= = ?t ?t
(
) )
r v2 r v1
0.1 × ? 2 × 9.8 × 1.6 ? 2 × 9.8 × 2.5 = 0.01 = ?126 N (负号表示什么意思?) 质量1kg（=20两），重力约为10N；
(
(小球0.1Kg(2两)，重力约为1N) 撞击力126N, 约等于126个小球的重力。

二、 质点系的动量定理 r r dp r 对系统内第i个质点: Fi + ∑ f ji = i , i = 1,2,.., n j ( j ≠i ) dt r
对所有质点
n dP r r n ∑ Fi + ∑ ∑ f ji = ∑ i i =1 i =1 j ( j ≠ i ) i =1 dt r n dP n r d n r ∑ Fi = ∑ i = ∑ Pi i =1 i =1 dt dt i =1 n
内力和为零
质点系的合外力
r r F外 dt = dP
I =
t2
质点系的总动量 微分形式 质点系动量定理 （积分形式）
∫
t1
r r r F 外 d t = P2 ? P1
注意:内力只改变系统内单个质点的动量,不影响质点系的总动量！

三、动量守恒定律
v v v ∫t1 F外 ? d t = P2 ? P1 r r P = 常矢量 F外 = 0
t2
r r r P = ∑ Pi = ∑ mi vi = 常矢量
i i
动量守恒定律
若质点系所受合外力为零时，则质点系的总动量不随时间 改变。这就是质点系的动量守恒定律
说明
1.当外力<<内力且作用时间极短时（如碰撞）， 可近似认为动量守恒。

v 2. F ≠ 0 但某一方向的分量为零，则该方向
动量守恒。
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
? Px = 常量
? Py = 常量
? Pz = 常量
3. 只适用于惯性系，非惯性系中，要考虑
惯性力引起的动量变化。 4. 是自然界的普遍规律

动量守恒定律应用举例: 例1.已知:质量为M，仰角为α 的炮车发射一枚质量为m r 的炮弹，炮弹出口时相对炮筒的速度为 u 。 （忽略地面摩擦力） 求:（1）炮弹刚射出时, 炮车的反冲速度; （2）若炮筒长为 l ，发射过程中炮车移动 的距离。 r 【解】
y
V
M r
r N
m
v
l
α
x
r mg
系统:炮弹与炮车 r r r M 外力: r g , m g , N r r 发射前： N = M g + m g 发射中： N > Mg + mg
r Mg
竖直方向动量不守恒！ 系统在水平方向受外力为零, 动量守恒。

（1）求炮车反冲的速度 r 地面系：设炮车 V ，炮弹相对地面
r v ，如图
MV x + mv x = 0 r r r 由伽里略变换 v 弹地 = v 弹车 + v 车地
x方向
炮弹出口时 v x = u cos α + V x 将式（2）代入（1）得 负号代表什么 意义？
y
m Vx = ? u cos α M +m r
V
M r
r N
m
v
l
α
x
r mg
r Mg

（2）求发射过程中炮车移动的距离 若用u ′(t )表示炮弹发射过程中t 时刻炮弹相对 炮车的速度，则该时刻炮车的速度 V = ? m u cos α x M +m m r Vx (t ) = ? u ′(t )cos α y u ′(t ) M +m 设发射过程经历时间为T, 在发射过程中，炮车的位移为：
T
T
r V
l
α
x
m u ′(t )cos α d t ?x = ∫ Vx ( t )d t = ∫0 ? 0 M +m T m m l cos α =? cos α ∫ u ′(t ) d t = ? 0 M +m M +m
炮弹相对炮车的位移
（负号的意义？）

例：
质量为M的物体静止在光滑的水平面上,AB是半径为 R的四分之一圆周.质量为m的物体沿M从A点无初速 的滑下来.求m滑到B点时,M在水平地面上移动的距离.
y A m
R
解:分析受力:将m及M视为一个系统 合外力的水平分量为零,系统动量的水平 分量守恒
MV+mv=0 MV=-mv
两边对t积分
O
M
B
x
M ∫ Vdt = ?m ∫ vdt
MS=-ms
由伽利略变换有s=R+S
S与s表示M与m相对地面的水平 位移， m相对M的水平位移为R
m S =? R M +m
“–”表示什么物理意义?

例题：将一空盒放在秤盘上，称的读数调为零，然后从高出盒底 h=4.9m处将小石子流以每秒n=100个的速度注入盒中，设每一石子的质 量为m=0.02kg都从同一高度落下，且落下后就停止运动，求当石子从 开始落到盒底后10秒时称的读数。
解： 在10s时称的读数应为盘受的压力：重力＋冲力 在t-t+dt内落入盘中石子的质量为 根据动量定理
dm = nmdt
y
h
dmv ? dmv0 = Fdt
v0
落到盘子之前的速度
v0 = 2gh
dt
v=0
落到盘子上时的速度
F 盘子对石子的冲力
N = 10 nmg + F ′ 作用时间 = 215.6 N
dm v 0 nm dt v 0 F =? =? = ? nm v 0 dt dt dt秒内石子对盘的冲力 F ′ = ? F = nmv 0

第十章 质心运动定理 动量定理 习题解

x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。

r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=

质心运动定理

质心运动定理 选择题： 题号：00511001 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L的翘翘板的两端分别做了一个小孩和一个大人，大人的质量是小孩的2倍，忽略跷跷板的质量，则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人2L/3处 (C) 在距离大人L/2处(D) 由于不知道小孩的质量，无法判断 [ ] 答案：（A） 题号：00512002 分值：3分 难度系数等级： 质心运动定律描述的是： (A) 质点系的质心所遵循的定律(B) 质点系中所有质点所遵循的规律 (C) 质心和所有质点遵循的规律(D) 是关于质心的动量守恒定理 [ ] 答案：（A） 题号：00512003 分值：3分 难度系数等级： 一长度为L、质量为m，且质量沿长度方向均匀分布的翘翘板，两端分别坐了一个小孩和一个大人，大人的质量为2m，小孩质量为m。则有两人和跷跷板组成的质点系的质心，在跷跷板上的何处。 (A) 在距离大人L/3处(B) 在距离大人3L/8处 (C) 在距离大人L/2处(D) 在距离大人2L/3处 [ ] 答案：（B） 题号：00513004 分值：3分 难度系数等级： 如图，质量分别为m A=10.0kg和m B=6.0kg的两小球A和Array B，用质量可略去的刚性细杆连接，则系统质心的位置： (A) 在（0，0）处 (B) 在AB的中部处 (C) 在（1.5m，1.9m）处 (D) 在三角形ABO的内心处 [ ] 答案：（C） 题号：00514005 分值：3分

难度系数等级： 已知地球的质量约为月亮质量的81倍，地月距离是地球半径的60倍。忽略月亮的半径，则地月系统质心的位置： (A) 在地球和月亮的中心处 (B) 在地月连线上距离地球E 6082 R 处 (C) 在地球半径以外 (D) 在地球的中心 [ ] 答案：（B ） 判断题： 题号：00521001 分值：2分 难度系数等级： 刚体的一般运动可以看作由质心的平动和绕质心的转动组成。 答案：正确 题号：00521002 分值：2分 难度系数等级： 由若干个质点组成的质点系的质心一定是质点系的几何中心。 答案：错误（和质量分布有关） 题号：00522003 分值：2分 难度系数等级： 两人在光滑的冰面上，初始时刻两人静止，突然其中一人推动另一人，后两人向相反的方向做匀速直线运动运动。假设人作为质点，则在运动过程中，由两人组成的质点系的质心的位置将不断变化。 答案：错误（合外力为0，质心位置不变） 题号：00523004 分值：2分 难度系数等级： 质点系的一对内力不能改变质心的运动状态。 答案：正确（质心运动定律） 题号：00524005 分值：2分 难度系数等级： 如果质点系的质心加速度不等于零，则不能用质心运动定律描述质心的运动。 答案：错误（质心运动定律）

12-5推导--质点系相对质心的动量矩定理

12.5 质点系相对于质心的动量矩定理 1．引言 前述的动量矩定理的适用条件：惯性参考系中的固定点或固定轴。 问： 1）对一般的动点和动轴，动量矩定理的形式如何？ 2）对质心的形式又如何？ 2．质点系相对于任意动点A 的动量矩 设在固定参考系oxyz 中有一动点A ，其速度为A v ，现以动点A 为原点建立平移参考系 '''Ax y z ，设质点系中任意一质点相对于动点A 的矢径为i r '，相对于动参考系的速度为ir v '，如图 1所示。 现做如下定义： 质点的绝对动量：各质点的质量与其在惯性参考系中的绝对速度的乘积，即i i m v ； 质点系相对于任意点A 的绝对动量矩：质点系中各质点的绝对动量i i m v 对动点A 的矩的矢量和，即A L ，表达式如下： x y 图1.

()()1 1 N N A A i i i i i i i L L m v r m v =='= =?∑∑ （1） 质点的相对动量：各质点的质量与其在动参考系'''Ax y z 中的相对速度的乘积，即i ir m v ； 质点系相对于任意点A 的相对动量矩：质点系中各质点的相对动量i ir m v 对动点A 的矩的矢量和，即r A L ，表达式如下： ()()1 1 N N r r A A i i i i ir i i L L m v r m v =='= =?∑∑ （2） 质点i m 的绝对速度为 i ir A v v v =+ （3） 将（3）式代入式（1）中， ()()() () 11 1 1 1 N N N A A i i i i i i i ir i A i i i N N i i ir i i A i i r A c A L L m v r m v r m v m v r m v r m v L r mv =====''==?=?+''=?+?'=+?∑∑∑∑∑ （4） 其中，1 N i i i c m r r m =' '= ∑。 式（4）即为质点系对任意动点A 的动量矩。 3．质点系相对于质心C 的动量矩 取动点A 为质点系的质心C 时，式（4）即变为质点系对质心C 的动量矩，即0C r '=，有 r C C L L = （5） 即 ()()1 1 N N i i i i i ir i i r m v r m v ==''?=?∑∑ （6） 表明：以质点的相对速度或以其绝对速度计算质点系对质心的动量矩，其结果是相等的。 4．质点系相对于任意固定点O 的动量矩 定义质点i m 对固定点O 的矢径为i r ，绝对速度为i v ，根据定义有 ()()1 1 N N O O i i i i i i i L M m v r m v === =?∑∑ （7） 由图可知，若取质心C 为动系的原点，则

动量定理 质心运动定理

动量定理质心运动定理 动量定理质心运动定理 质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。用公式 d(mv),Fdt表达为 (17-7) d(mv),Fdt (17-8) tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区 tt21间为从到，得 t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9) t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。 (e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得 dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即 mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。如果质点的质量不 dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有 上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得 n dm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1ii

nn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于 零。上式中是质点 dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10) 1 这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于 作用在质点系上外力的矢量和。 (e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 R tptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积 分，得 t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11) p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即 这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。 由式(17-10)可知，动量定理在直角坐标轴的投影为 ndp,(e)x,F,ix,dti,1,ndp,y(e)F,,,iydti,1,ndp,(e)zF,,iz,dti,1, (17-12) 如果外力的矢量和不为零，但在某个坐标轴上的投影为零，则质点系的动量并不守恒， n(e)F,0,ixpi,1x但在该轴上的投影守恒。例如外力在x轴的投影为零，即， 则为常量，这是质点系动量守恒的一种特殊情况。 h,1.5m例17-1 如图17-2所示，锤从高度处自由下落到受锻

第17章 动量定理和动量矩定理总结

第17章 动量定理和 动量矩定理

工程力学学习指导 第17章 动量定理和动量矩定理 17.1 教学要求与学习目标 1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。 2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。 3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。 4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。 5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。 6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。 7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。 17.2 理 论 要 点 17.2.1 质点系的动量 质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。即 i i i m v p ∑=

质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即 ?? ?? ? ?? ?? ===∑∑∑i iz i z i iy i y i ix i x v m p v m p v m p 质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即 C m v p = 这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 17.2.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。其微分形式为 (e)(e)R d d i i t ==∑p F F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。式中(e)i i ∑F 或 (e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。 质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 2 1 (e)(e)21d t i i t i i t ?==∑∑∫p p F I 质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。此式将广 泛应用于求解碰撞问题。 17.2.2 动量守恒定理 1. 质点系动量守恒定理 当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。即 112C p p == 式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。 2. 质点系动量在某轴上的投影守恒 质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即

大学物理3.4质心 质心运动定理

第 2 章质点和质点系动力学 2.1 牛顿运动定律惯性系质心运动定理21牛顿运动定律 2.2动量定理动量守恒定律 22 2.3角动量定理角动量守恒定律 2.4功能原理和机械能守恒定律 1

i i r m r ∑ = i c m ∑m m r r c ?= d k z j y c c +m x ?d 2 2 2m x m ++m x c = () c x x m -=22杠杆原理

杠杆原理 http://210.44.195.12/dxwl/kpcl/kpcl9.htm 古希腊科学家阿基米德：“假如给我一个支点，我就能把地球挪动！”阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中最早提出杠杆原理他把杠杆实际应用中的一些经验知识当作“不证自明的公理”逻辑论证杠杆原理： （1）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上相等的重量，它们将平衡（2）在无重量的杆的两端离支点相等的距离处挂上不相等的重量，重端下倾）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量距端下倾（3）在无重量的杆的两端离支点不相等距离处挂上相等重量，距端下倾（4）一重物的作用与几个重物的作用等效，只要重心的位置保持不变（5）相似图形的重心以相似的方式分布…… 他从这些公理出发，在“重心”理论的基础上，现了杠杆原理：“二重物平衡时它们离支点的距离与重量成反比“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比。 阿基米德发明：他曾经借助杠杆和滑轮组，使停放在沙滩上的桅船顺利下水 利用杠杆原理制造远近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城3 利用杠杆原理制造远、近距离的投石器把罗马人阻于叙拉古城外达3年之久

F a m c =c a m F =外

转动惯量和动量矩定理

77 第十三章 转动惯量和动量矩定理 一、 内容提要： 1． 动量矩： （1） 质点对固定点的动量矩：v m r v m m o ?=)( （2） 质点系对固定点的动量矩：v m r v m m H o o ?==∑ ∑)( （3） 质点系对固定轴的动量矩：) ()() (v m m H v m m H v m m H z z y y x x ∑ ∑∑=== （4） 定轴转动刚体对转轴的动量矩：w J v m m H z z z == ∑ )( （5） 质点系对任一固定点O 的动量矩与相对于质心的动量矩间的关系： c c c o H v m r H +?= 2． 动量矩定理 （1） 质点对固定点的动量矩定理：[])()(0F m v m m dt d o = （2） 质点对固定轴的动量矩定理： [])()(F m v m m dt d z z = （3） 质点系对固定点的动量矩定理：)(e o O F m dt H d ∑ = （4） 质点系对固定轴的动量矩定理： )(e z z F m dt dH ∑ = （5） 质点系动量矩守恒定律： 若,0)(=∑e o F m 则常矢量=o H ； 若常量。，则==∑Z e z H F m 0)( （6） 质点系相对于质心的动量矩定理：)(e c c F m dt H d ∑= 3． 刚体的定轴转动微分方程：∑=)(e Z Z F M J ? 4． 刚体的平面运动微分方程：∑∑∑=== )(e c c e y cy e x cx F M J F Ma F Ma ? 5． 刚体转动惯量的计算： （1） 定义：∑=2 i i Z r m J （2） 转动惯量的平行轴定理：2 Md J J cz Z +='