2020年初中数学总复习 (第一章 数和式) 学案
第一章 数与式 第一节 实数及其运算
一、实数的分类：
按定义分：有理数：整数
正整数
0 负整数
分数 正分数 (有限小数和
负分数 无限_______小数）
无理数: 正无理数
负无理数 (无限______小数）
按大小分：____ 正整数
正分数
0 （ 0既不是也不是负数）
负数 负整数
负分数
注意：1.有理数：任何一个有理数总可以写成
q
p
的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数：
（1）开方开不尽的数，如2、3、5、32等 （2）含有根号的三角函数值，如45sin °、sin60°等。 （3）特定结构的无限不巡环小数，如1.101001000100001……；（相邻两个1之间依次多写1个0） （4）π及化简后含π的数、如π+3，
3
π等 （判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。）
3、____即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； 二、实数的相关概念
（一）数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
1、三要素： ________、_______、_________
2、数轴上的点和实数是一一对应的应关系：数轴上的每一个点都表示一个_______，而每一个实数都可以用
数轴上的唯一的______来表示。 3、在数轴上的两个点表示的数，右边的数总比左边的数_____。 4. 数轴上两点之间的距离，即两点所表示数的差的______。
（二）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
1.非零实数a 的相反数是_______； 0的相反数还是______；
2. a 和b 互为相反数?a+b=______
3.几何意义：数轴上表示相反数（0除外 ）的两个点在原点______，且到原点的距离______。 （三）绝对值：
2
3
1.一个数a 的绝对值有以下三种情况：???
??<-=>=)
0a (a )0a (0)0a (a a
正数的绝对值是其____，0的绝对值是_____，负数的绝对值是它的______；绝对值最小的数是___。 2. 几何意义：数轴上表示这个数对应的点到原点的______，离原点越远的数绝对值越_____。 （四）倒数：乘积为1的两个数互为倒数
1. 实数a （a≠0）的倒数是__________；注意：0没有倒数；倒数等于它本身的数是1和-1。
2. a 和b 互为倒数?ab=__________ 三、科学记数法.
用科学记数法把一个数表示成a×n
10的形式，关键是确定a 和n 的值
1、确定a ：____ ≤ a ＜______，n 为整数：
2、确定n ：原数≥10时,n 为正整数,n 等于原数的整数位数减1或原数变为a 时小数点向左移动的位数。
当0<原数<1时。n 为负整数,n 的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前的零的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a 时小数点向右移动的位数。如640000 科学计数法表示为__________
常考的计数单位有1千=___。1万=____，1亿=_____。常考的计量单位有1微米=______米。1纳米=_______米等 3、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。
精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。 四、实数大小的比较
1、数轴比较法：在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。
2、类别比较法：正数>0>负数；正数大于一切负数；两个负数比大小，________大的反而小；如 -3_____-2
3、平方比较法：)0(___2>>?>
b a b a b a （主要用于二次根式估值及含有根式的大小比较）
4、作差比较法：a -b>0 <=> a ___b; a -b<0 <=> a ___b; a -b=0 <=> a ___b;
5、作商比较法：设a ，b 为正数，若1>b a ，则 a ___b ；若1=b a ，则 a ___b ；若1 a ，则 a ___b ； 五、四则运算 （一）加法 1. 加法法则 （1）同号两数相加:取相同的符号，并把绝对值_____； （2）异号两数相加:取绝对值较大的符号，并用较大数的绝对值______较小数的绝对值； （3）互为相反数的两个数相加得_____ （4）一个数与0相加，仍得这个数.即a+0= ______ 2， 加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=______ ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+________. （二）减法 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a -b=a+________. （三）乘法 1.、乘法法则： （1）两数相乘，同号为____，异号为______，并把绝对值______； （2）任何数同零相乘都得_____； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为____；各个因数都不为零，积的符号由______因数的个数决定. 2、有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab = ba ； （2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . （四）除法: 除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×____(b≠0) （3）0除以任何数都等于_____，0不能做被除数。无意义 即0 a 六、常考运算 （一）乘方： 1.乘方的定义： （ 1）求几个相同因数积的运算，叫做乘方； 2）乘方中，相同的因数叫做_____，相同因数的个数叫做_______，乘方的结果叫做______； 2、乘方的运算性质： ① 正数的任何次幂都是______； ① 负数的奇次幂是_____，负数的偶次幂是 _____； 注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b -a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a -b)n =(b -a)n . ① 任何数的偶数次幂都是非负数； ① 1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0； ① -1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；（-1) 2019 =______;(-1)2020= _______ ① 零次幂：a 0 =____(a≠0),如（_______)23(0 =-） ① 负整指数幂：a -p = ________(a≠0,p 为正整数），特别地，a -1= ________(a≠0）。如2-1= ________， （-2）-1= ________，121-??? ??= ________，1 21-?? ? ??-=__________ ① 在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。 = ????444844476K K a n a a a a 个指数 底数 （二）去绝对值符号：?? ? ??<=>=-)____()(0)___(b a b a b a b a 如 _____23=- 去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 （三）算术平方根和立方根： _______12______,9______,8_____,4====______27_______,833== （四）特殊的三角函数值： sin30°= cos___=____, sin60°= cos___=____,sin45°= cos___=____,tan30°=____,tan45°=____,tan60°=____, 七、实数的混合运算 1. 先将每个小项的值计算出来。 2. 再根据实数的运算顺序计算。 （1）先___后加减；（2）有括号时先计算_______的；（3）同级运算按照从__到___的顺序进行运算 第二节 数的开方及二次根式 一、算术平方根，平方根，立方根 1. 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作。 0的算术平方根为____；从定义可知，只有当a____0时,a 才有算术平方根。 即 实数a （a≥0）的算术平方根为，算术平方根等于本身的数为________ 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 即实数a （a≥0）的 平方根为______，正数有____个平方根（一正一负）它们互为相反数； 0只有一个平方根，就是它本身；负数______平方根。 3, 立方根： 实数a 的立方根为_____（a 为任意实数）， 立方根只有____个，正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根等于本身的数为_______. 二、二次根式 （ 一）有关概念： 1. 二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。有意义的条件_______________ a a 2. 最简二次根式： 被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。 最简二次根式满足两个条件： 1.被开方数不含分母， 2。被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 3. 同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。如:________ 4. 分母有理化：把分母中的________化去叫做分母有理化。 5. 有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：a 与a ；d c b a +与d c b a -） （二）二次根式的性质： 1、双重非负性：二次根式a ①被开方数a ≥0，① a ≥02 2、)0()(2 ≥=a a a ；3、?? ?<-≥==) 0()0(2a a a a a a ； 4、b a ab ?=（a≥0，b≥0）； 5、 )0,0(≥≥=b a b a b a （三）、运算： 1、二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。 2、二次根式的乘法：ab b a = ?（a≥0，b≥0）。 3、二次根式的除法： )0,0(≥≥= b a b a b a 二次根式运算的最终结果如果不是最简二次根式，要化成最简二次根式。 （五）.估值 1、先对根式平方，如 ()772 = 2、找出平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9。 3、对以上两个整数开方，如39,24== 4、确定这个根式的值在开放后所得的两个整数之间，如 2 <7<3 第三节 代数式与整式 一、列代数式及其求值。 （一）列代数式基本模型 1、原价a 的85折①a·85%。；原价为a 。提价20%①a （1+20%） 2、a 的n 倍多或少m①an+m;a 增加或减少10%①a( 1±10%) 3、利润问题:售价=标价×折扣,销售额=售价×销售量,利润=售价-进价，利润率= 进价 利润 ×100% 4、阶梯收费问题： 总费用=第1级费用×第1级基数+第2级费用×第2级基数+第3级费用×第3级基数+… +第n 级费用×第n 级基数（n 为正整数） （二）代数式求值 1、直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。 2、整体代入法：利用提公因式法、平方差公式和完全平方公式对所求代数式或已知代数式进行恒等变换，达到化简运 算的目的，再代值运算 3、与非负数结合 （1）常见的非负数有2 a ，a ，a （a≥0） （2）若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0。如c b a ++2=0 则有0,0,02===c b a ，求出相应未 知数值，代入所求代数式求解即可 二、整式的相关概念 （1）单项式：像x 、7、y x 2 2，这种数与字母的____叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的系数：单项式中的______因数叫单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 （2）多项式：几个_______的和叫做多项式。 多项式的项：多项式中每一个________都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫_____项。 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的_____从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 （3）同类项：所含____相同，并且___________也分别相同的项叫做同类项。所有的常数项是________， 判断同类项时，要看字母和相同字母的_____，与系和字母的位置无关，如-2a 2b 和2 3 1ba 是同类项 三、整式的运算 （一）整式的加减： 1.合并同类项：把同类项的系数相加减，所得结果作为新的系数，字母及字母的______不变。 2.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。a+(b -c)= ___________,a -(b -c)= _________ 3。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。 4. 整式的加减实际上就是_____________，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。 （二）幂的运算：(m 、n 为正整数，a≠0） 1.同底数幂相乘： 底数不变， 指数相加。n m n m a a a +=?； 2.同底数幂相除：底数不变，指数相减，n m n m a a a -=÷； 3.幂的乘方：底数不变，指数相乘，mn n m a a =)( 4.积的乘方：等于把积中的每一个因式分别乘方。再把所得的幂相乘n n n b a ab =)( （a ≠0,b≠0） （三）整式的乘法： 1.单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的___，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如2a 2·3ab 2 = ____ 2.单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的____，再把所得的积_____。如m(a+b+c)=________ 3.多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 如(m+n)(a+b)=__________ 4.乘法公式： ①平方差公式：2 2 ))((b a b a b a -=-+； ①完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2 222)(b ab a b a +-=- （四）整式的除法： 1.单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的 一个因式。如：_________262622 ==÷x y x x y x 2. 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 如：____________26242)64(2 2 =÷+÷=÷+y y y xy y y xy 整式混合运算的顺序，先乘方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行运算 四、因式分解 （一）因式分解概念：把一个多项式化成几个____________的形式，叫因式分解。 （二）常用的因式分解方法： 1、提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++ 提供因式前有时需要先讲因式进行变形，常见的有a -b= -（b -a ），（a -b ）2 =（b -a ）2 2、运用公式法：平方差公式：))((2 2 b a b a b a -+=-；完全平方公式：2 2 2 )(2b a b ab a ±=+± 3、十字相乘法：))(()(2 b x a x ab x b a x ++=+++ 4、分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。 5、运用求根公式法：若)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212 x x x x a c bx ax --=++ （ 三）因式分解的一般步骤： 一提：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；特别注意数字因式， 二套：无公因式用公式法，①当多项式为两项且符号相反时，考虑平方差公式， ①当多项式为三项时考虑用完全平方公式。 ①对不能运用公式二次三项式考虑十字相乘法，不行的再用求根公式法。 ①最后考虑用分组分解法。） 三检查：检查因式分解是否彻底。必须分解到每一个多项式都______为止，且最后结果是_____的形式 第四节 分式 一、相关概念 1.分式：形如 B A ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B≠0。其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。 2.分式 B A 有意义的条件：______, 分式B A 等于0的条件是_____ 3/约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。 4.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。 5.最简分式:一个分式的分子和分母没有______时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式. 二、分式的基本性质: 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 用式子表示为： C B C A B A C B C A B A ÷÷= ??=,（A,B,C 为整式，且C≠0）(多用于分式的约分和通分） 三、分式通分关键是确定最简公分母。 1、 能因式分解的先因式分解。 2、取各个分母系数的最____公倍数作为最简公分母的系数。 3、取个公因式的最____次幂，作为最简公分母的因式 四、分式约分关键是确定公因式。 1、分子分母，能因式分解的先因式分解。 2、取分子分母系数的最____公约数，作为公因式的系数。 3、取个因式的最_____次幂作为公因式的因式 五、分式的加减运算： 1.同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.用字母表示为： C B A C B C A ±= ± 2.异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法 则进行计算.用字母表示为：BD BC AD BD BC BD AD D C B A ±= ±=± 六. 分式的乘除运算 1. 分式的乘法运算: 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;即: BD AC D C B A = ?, 1. 分式的除法运算:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘，即: C B D A C D B A D C B A ??= ?=÷ 3. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.即: )(为正整数n B A B A n n n =?? ? ?? 逆向运用n n n B A B A ??? ??=,当n 为负整数时,仍然有n n n B A B A =?? ? ??成立.