全国初中数学竞赛试题及答案 (3)

初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个

选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设非零实数a ，b ，c ，满足?

????

a ＋2b+3c ＝02a ＋3b+4c ＝0则a

b +b

c +ca

a 2+

b 2+

c 2的值为（ ）

（A ）—12 （B ）0 （C ）1

2

（D ）1

2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个非零实根x 1，x 2，则下列关于x 的一元二次方程中，以1 x 12，1

x 2

2为两个实根的是（ ）

（A ）c 2x 2+(b 2－2ac )x +a 2=0 （B ）c 2x 2—(b 2－2ac )x +a 2=0 （C ）c 2x 2+(b 2－2ac )x —a 2=0 （D ）c 2x 2—(b 2－2ac )x —a 2=0

3．如图，在R t △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ，若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ） （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC

4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8

5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：x y *=3x 3y +3x 2y 2+xy 3+45(x +1)3+(y +1)3—60，

且x y z=x y z ****（），则2013201232****…的值为（ ）

（A ）607967 （B ）1821 967 （C ）5463 967 （D ）16389 967

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．设a ，b 是a 2的小数部分，则(b +2)3的值为____________．

7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别为3，4，5，则四边形AEFD 的面积是____________．

8．已知正整数a ，b ，c 满足a +b 2—2c —2=0，3a 2—8b +c =0，则abc 的最大值为__________．

9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程x 2+cx +d =0的两根为a ，b ，一元二次方程x 2+ax +b =0的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组（a ，b ，c ，d ）为___________________________________．

10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共

350支，当天虽然笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了__________支圆珠

笔．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，抛物线y =ax 2+bx —3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC =3OA ，

直线y =—1

3x 2+1与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE ．

12．设△ABC 的外心，垂心分别为O ，H ，若B ，C ，H ，O 共圆，对于所有的△ABC ，求∠BAC 所有可能

的度数．

13．设a ，b ，c 是素数，记x =b +c －a ，y =c +a －b ，z =a +b －c ，当z 2=y ，x －y =2时，a ，b ，c 能否构

成三角形的三边长？证明你的结论．

14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，

把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1，a 2，…，a n ，满足对任意一个正整数m ，在a 1，a 2，…，a n

中

（第4题)

A

B

E

D （第7题)

A

B

C

O D

E （第3题)

都至少有一个为m 的魔术数．

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．【答案】A

【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2

()0a b c ++=．于是

2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以2221

2

ab bc ca a b c ++=-

++． 2．【答案】B

【解答】由于2

0ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12b x x a +=-

，12c

x x a

=，且120x x ≠，所以0c ≠，且 22121222222

1212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，2

2221211a x x c

?=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，22

1x 为两个实根的一元二次方程是222

2

20b ac a x x c c --+=，即2

2

2

2

(2)0c x b ac x a --+=．

3．【答案】D

【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝

2

AD BD

+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DO

DE OC

=都是有

理数，而AC ＝

·AD AB 不一定是有理数．

4．【答案】C

【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．

连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．

因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．【答案】C

【解答】设201320124m ***=L ，则

()20132012433

m ****=*L

（第3题答题）

（第4题答题）

（第3题）

（第4题）

3232

3339274593316460

m m m m m m ?+?+?+==++++-， 于是()201320123292****=*L 32233339239292455463

10360967

??+??+?+==+-．

二、填空题

6．【答案】9

【解答】由于2

123a a <<<<，故3

2

292b a =-=

-，因此333(2)(9)9b +==．

7．【答案】

204

13

【解答】如图，连接AF ，则有：

45

=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ???????++===，

35

4

AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ???????++====，

解得10813AEF S ?=，9613

AFD S ?=． 所以，四边形AEFD 的面积是204

13

．

8．【答案】2013

【解答】由已知2

220+--=a b c ，2

380-+=a b c 消去c ，并整理得

()

2

28666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．

若1a =，则()2

859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2

840b -=，无正整数解；

若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =??=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =??=． 综上知abc 的最大值为2013．

9． 【答案】(1

212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 【解答】由韦达定理得，

，

，．

+=-??=??+=-?=??a b c ab d c d a cd b

（第7题答题）

由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1=

=d a b ，1==b

c d

，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．【答案】207

【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，

，+=??

+

x y x y

所以201371

(5032)44

y y x y -+=

=-+

， 于是14

y +是整数．又20134()343503x y y y =++

所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．

三、解答题

11．如图，抛物线y =2

3ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线1

13

y x =-

+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．

【解答】将0x =分别代入y =1

13

x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，

所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =1

13

x -

+过点B ． 将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．

抛物线2

23y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得

BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．

因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=?．

因此tan CBE ∠=

CE CB =13．又tan ∠DBO =1

3

OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=?．

12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．

【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．

（第11题答题）

（第11题）

因为1802

BHC A BOC A

∠

=?-∠∠=∠

，，

所以由BHC BOC

∠=∠，可得1802

A A

?-∠=∠，于是60

A

∠=?．

（ii）若△ABC为钝角三角形．

当90

A

∠>?时，因为()

1802180

BHC A BOC A

∠=?-∠∠=?-∠

，，

所以由180

BHC BOC

∠+∠=?，可得()

3180180

A

?-∠=?，于是120

A

∠=?。

当90

A

∠

B

∠>?，因为2

BHC A BOC A

∠=∠∠=∠

，，

所以由180

BHC BOC

∠+∠=?，可得3180

A

∠=?，于是60

A

∠=?．

（iii）若△ABC为直角三角形．

当90

A

∠=?时，因为O为边BC的中点，B C H O

，，，不可能共圆，

所以A

∠不可能等于90?；

当90

A

∠

B

∠=?，此时点B与H重合，于是总有B C H O

，，，共圆，因此A

∠

可以是满足090

A

?<∠

综上可得，A

∠所有可能取到的度数为所有锐角及120?．

13．设a，b，c是素数，记x b c a y c a b z a b c

=+-=+-=+-

，，，当2,2

z y x y

=-=时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

【解答】不能．

依题意，得

111

()()()

222

a y z

b x z

c x y

=+=+=+

，，．

因为2

y z

=，所以2

11(1)

()()

222

z z

a y z z z

+

=+=+=．

又由于z为整数，a为素数，所以2

z=或3

-，3

a=．

当2

z=时，22

4(2)16

y z x y

===+=

，．进而，9

b=，10

c=，与b，c是素数矛盾；

当3

z=-时，0

a b c

+-<，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例（第12题答题（i））（第12题答题（ii））

如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．

【解答】若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12n a a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜

j i -≤6，矛盾．

故n ≥7．

又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k

i m

+（12i =，

，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k

k

j m i m +-+，即7|10()k

j i -，从而7|()j i -，矛盾．

故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k

i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．