线性规划讲义
简单的线性规划问题高三复习讲义
一：画出不等式组表示的平面区域
1. 已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y +-=的两侧，且0, 0a b >>，则1
-a b 的取值范围是 ．
2.已知点(),M a b 在由不等式组002x y x y ≥??
≥??+≤?
确定的平面区域内，则点(),N a b a b +-所在平
面区域的面积是( )
A.4
B.2
C.1
D.8
3.不等式组??
?≤≤≥+-+3
00
)5)((x y x y x ，表示的平面区域是一个( )
A ．三角形
B ．直角三角形
C ．梯形
D ．矩形
4.若点),(y x M 满足{
m
x y x <≥-022，区域内整点不少于18个，则m 的取值范围为（ ）
2.≥m A
2.>m B
3.>m C
3.≥m D
5.已知集合A={(x,y)|????
?
x ≥1，x ≤y ，
2x －y ≤1},集合B={(x,y)|3x+2y-m=0},若A ∩B ≠?,则实数m
的最小值等于__________.
6. 设关于,x y 的不等式组2100y x a y a -+≥??
≤??+≥?
,
,x 表示的平面区域为D .若在平面区域D 内存在点
),(00y x P ，满足00345x y -=，则实数a 的取值范围是 ____________.
7．已知直线01)1()2(=++++y m x m 上存在点),(y x 满足??
?
??≥≤--≤-+103203x y x y x ，则m 的取值范围
为( )
A ．),35[∞+-
B ．]3
5
,(--∞ C ．]21,1[- D ．]21,41[-
8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组?
????x ＋y ≥1，
x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：
p 1：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2， p 2：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2，
p 3：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 1，p 4
D ．p 1，p 3
9.若函数2x
y =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤???--≤??≥??,则实数m 的最大值为
A ．
1
2
B ．1
C ．
32
D ．2
二：简单的线性规划问题
10.[14·广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件????
?y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，
且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为
m 和n ，则m －n ＝( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件????
?x ＋y －7≤0，
x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为
A ．10
B ． 8
C ． 3
D ．2
12．满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是 ．
13.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植
黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为
（ ） A ．50,0 B ．30.0
C ．20,30
D ．0,50
14.[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( C
)
图1-1
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
15.若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为________.
16.[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →
(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
17.已知(,)P x y 是不等式组10300
x y x y x +-≥??
-+≥??≤?表示的平面区域内的一点,A 点坐标为(1,2),且O
为坐标原点,则OA OP ?的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ． 5
D ． 6
18．已知正实数,x y 满足20350
x y x y -≤??-+≥?，则1142x y
z ????=? ? ?????的最小值为______.
19.抛物线y ＝x 2
在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．
20.设函数ln ,0
()21,0
x x f x x x >?=?
--≤?,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的
切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.
21. 给定区域D :4440x y x y x +≥??
+≤??≥?
,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈，是z x y
=+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.
22.设y kx z +=,其中实数y x ,满足??
?
??≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数
=k ________.
23.已知约束条件???
x －3y ＋4≥0
x ＋2y －1≥0
3x ＋y －8≤0
，若目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)恰好在点(2,2)处
取得最大值，则a 的取值范围为( )
A ．0＜a ＜13
B ．a ≥13
C ．a ＞13
D ．0＜a ＜1
2
24．[2014·安徽卷] x ，y 满足约束条件????
?x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯．．
一．
，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或1
2
C ．2或1
D ．2或－1
25．已知实数y x ,满足???
??≤≥+≥+-20062x y x y x ，若目标函数y mx z +-=的最大值为102+-m ，最
小值为22--m ，则实数m 的取值范围是( )
A ．[2,3]
B ．[2,1]-
C ．[1,2]-
D ．[1,3]-
26．[2014·浙江卷] 当实数x ，y 满足????
?x ＋2y －4≤0，
x －y －1≤0，x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的
取值范围是________.
27.[2014·北京卷] 若x ，y 满足????
?
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( D )
A ．2
B ． －2 C.12 D ．－1
2
28．设z ＝x ＋y ，其中x ，y 满足???
x ＋2y ≥0，
x －y ≤0，
0≤y ≤k .
若z 的最大值为6，则z 的最小
值为( )
A ．－3
B ．3
C ．2
D ．－2
29.[2014·山东卷] 已知x ，y 满足约束条件?
????x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞
0)在该约束条件下取到最小值2
5时，a 2＋b 2的最小值为( )
A. 5
B. 4
C. 5
D. 2
≥
≥
30．设1>m ，在约束条件1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取
值范围为
A ．(1，1＋2)
B ．),21(+∞+
C ．(1，3)
D ．),3(+∞
线性规划问题的拓展应用
31．已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+ ??
，221z x y =--，则z 的取值范围是 ( )
A ．5
[,5]3
B ．[]0,5
C ．[)0,5
D ．5[,5)3
32．变量x ，y 满足????
?
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．
33．当实数x 满足约束条件020
x y x x y k >??≥?++≤??（其中k 为小于零的常数）时，x y 1
+的最小值
为2，则实数k 的值是 .
34．设实数,x y 满足约束条件20
2502
x y x y y --≤??
+-≥??≤?
，则22x y u x y +=+的取值范围是（ ）
A ．39,1010?
?
????
B ．14,55??????
C ．47,55??????
D ．17,55??????
35.已知z 、y 满足 20
3010
y x x y -≤??
+≥??--≤?
，则
264x y
x +--的最大值是________．
36.若点P 在平面区域2025020
x y x y y --≤??
+-≥??-≤?
上，则()2
x y u xy +=的取值范围为
37. 已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (,)x y 为平面区域212x y x y +≥??≤??≤?
上的一个动点，则||OA OM +的最小值是 .
38. 已知实数,x y 满足条件0
01
x y x y x -≥??+≥??≤?
，则
1()2y x -的最大值为__12_____.
40.已知,x y 满足230
490ln x y x y y x
+-≥??
--≤??≤?
,则12z x y =-的最小值是
41.若实数x ，y 满足：，则x ＋2y 的最大值是（ ）
A ． 3
B ．
C ．5
D ．
42.已知,x y 满足不等式组40
x y e x y ?≥?-≥?,则2y x
x +的取值范围是
A.[1,4]
B.[21,9]e +
C.[3,21]e +
D.[1,]e
线性规划模型及其举例
线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
高中数学(人教版A版必修五)配套单元检测：第3章：3.3.2 简单的线性规划问题(二)
3．3.2 简单的线性规划问题(二) 课时目标 1．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值． 2．掌握线性规划实际问题中的两种常见类型． 1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)分析并将已知数据列出表格； (2)确定线性约束条件； (3)确定线性目标函数； (4)画出可行域； (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解； 根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)． 2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小． 一、选择题 1．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1、b 1千克，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2、b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1、d 2元．月初一次性购进本月用的原料A 、B 各c 1、c 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克、y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z ＝d 1x ＋d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( ) A.????? a 1x ＋a 2y ≥c 1， b 1 x ＋b 2 y ≥c 2 ，x ≥0，y ≥0 B.????? a 1x ＋b 1y ≤c 1， a 2 x ＋b 2 y ≤c 2 ， x ≥0， y ≥0 C.????? a 1x ＋a 2y ≤c 1， b 1 x ＋b 2 y ≤c 2 ，x ≥0，y ≥0 D.????? a 1x ＋a 2y ＝c 1， b 1 x ＋b 2 y ＝c 2 ， x ≥0， y ≥0 2. 如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( ) A.14 B.35 C ．4 D.53 3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对
近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题汇编
近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题汇 编 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
线性规划高考题 1.[2013.全国卷 2.T3]设,x y满足约束条件 10, 10, 3, x y x y x -+≥ ? ? +-≥ ? ?≤ ? ，则23 z x y =-的最小值是（） A.7- B.6- C.5- D.3- 2.[2014.全国卷2.T9]设x，y满足的约束条件 10 10 330 x y x y x y +-≥ ? ? --≤ ? ?-+≥ ? ，则2 z x y =+的最大值为（） A.8 B.7 C.2 D.1 3.[201 4.全国卷1.T11]设1，y满足约束条件 , 1, x y a x y +≥ ? ? -≤- ? 且z x ay =+的最小值为7，则a=（） A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-3 4. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（） A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3) 5.[2010.全国卷.T11]已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（） A.（-14，16） B.（-14，20） C.（-12，18） D.（-12，20） 6. [2016.全国卷3.T13]设x，y满足约束条件 210, 210, 1, x y x y x -+≥ ? ? --≤ ? ?≤ ? 则z=2x+3y–5的最小值为 7．[2016.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件 10 30 30 x y x y x -+≥ ? ? +-≥ ? ?-≤ ? ，则z=x-2y的最小值为
六种经典线性规划例题培训资料
六种经典线性规划例 题
求线性目标函数的取值范围 x y [3,6] y 2 i O x=2 求可行域的面积 y y C 5 \ M O ) 13 x y x x O x y ) D y =2 x , 个 2 2 x + y -3 = 0s D 、无穷大 2 2 2 2 () y y y y 三、求可行域中整点个数 y x B A 2x + y =5 旦y =2 解：如图，作出可行域，△ OMBC 的面积减去梯 x L ' x + y =2 D 、( 3,5] ABC 的面积即为所求，由梯形 OMAC 的面积即可，选 B (x (x (xp 0 (xp 0 中整点(横纵坐标都是整数)有 、14个 A 、[2,6] B 、[2,5] C 解：如图，作出可行域，作直线 l 向右上方平移，过点 A ( 2,0 2，过点B ( 2,2 )时，有最大值 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标 函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 例1、若x 、y 满足约束条件 例3、满足|x| + |y| <2的点 A 、9 个 B 、10 个 C 、 ，则z=x+2y 的取值范围是 2 0,y 0) 0, y p 0) y 0) yp 0) 作出可行域如右图，是正方形内部(包括边界)，容易得 到整点个数为 13个，选D () A 、 4 B 、 1 x 解：凶+ |y| <2等价于 y 6 y 3 0表示的平面区域的面积为 2 2x 例2、不等式组 x x+2y = 0，将 时，有最小值 6，故选A
1不等式与线性规划-拔高难度-讲义
不等式与线性规划 知识讲解 一、不等式的定义 1.定义：用不等号（><≠， ，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等 式，那么这种变形叫做同解不等式变形． 3.不等式的性质 1）a b b a >?<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >?>（传递性） 3）a b a c b c >?+>+ 4）,a b c d >>，则a c b d +>+． 5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>， ，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n n a b n n +>∈>N ． 8）0a b >> ,1)n n +∈>N 二、不等式的解法 1.一元二次不等式的解集如下表
2.分式不等式的解法 1） () 0()()0()f x f x g x g x >??> 2） () 0()()0()f x f x g x g x ≥??≥且()0g x ≠ 3） ()()() (00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠?>?-> 3.无理不等式的解法 12()0 ()()0()[()] f x g x g x f x g x ?≥?>?≥??>?或()0 ()0f x g x ≥??时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+
高中数学线性规划问题
高中数学线性规划问题 一．选择题（共28小题） 1．（2015?马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x ﹣3y的最小值（） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 2．（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 3．（2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（） A．﹣3 B．1 C．D．3 4．（2015?福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1 6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣ y的最大值为（） A．10 B．8 C．3 D．2 7．（2014?安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最 大值的最优解不唯一，则实数a的值为（） A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1 8．（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．2 9．（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A． B． C．12 D．16 10．（2015?广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（） A．4 B． C．6 D． 11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y 的最大值为（） A．8 B．7 C．2 D．1
12．（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4， 则k的值为（） A．2 B．﹣2 C．D．﹣ 13．（2015?开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函 数z=x2+y2的取值范围为（） A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D． 14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y 的最大值为（） A．3 B．﹣3 C．1 D． 15．（2015?鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s= 的取值范围是（） A．[1，] B．[，1] C．[1，2] D．[，2] 16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u= 的值范围是（） A．[，] B．[﹣，﹣] C．[﹣，] D．[﹣，]
对线性规划整点问题的探究
对线性规划整点问题的探究 厦门双十中学 郭俊芳 在人教版第二册（上）（2004年6月第一版，2006年4月第3次印刷）的高中数学教材第7.4节——简单线性规划。课本第61~62页给出两个线性规划的实际问题。分别代表两个类型：例3属于第一类：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大；例4属于第二类：给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源最小。且例4还要求最优解是整数解。笔者在教学中发现，这个问题是学生的难点，学生仅靠阅读课本解答是不能完全理解怎样得到这个最优解的。笔者经过多次的教学实践和研究，试图找到解决这类问题的方法，以下是笔者认为行之有效的方法。 一、精确图解法求整数最优解 课本P88习题16 某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？ 解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则 0x 70y 4x y 9 68x 106y 360x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤????+??≥?∈?? 即0x 70y 4x y 94x 5y 30x,y Z ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?∈?? z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域， 作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252- >-4 5 , 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7， 2 5 ）处取到最小值，但A 不是整数解。 在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。 这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。 二、利用近似解估算整数最优解 课本P63例4 要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： x+y=9 4x+5y=30 160x+252y=0 A B C D
2014届高三数学北京各区模拟分类汇编-线性规划(理)
2013年北京模拟真题--线性规划(理) 1（2013东城期末3-6）已知x ，y 满足不等式组0,0, ,2 4. x y x y s y x ≥??≥?? +≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( ) （A ）[6,15] （B ）[7,15] （C ）[6,8] （D ）[7,8] 2(2013丰台一模16-4）．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤??+≥??-≤? ，则2x y e +的最大值是( ) (A) 3 e (B) 2 e (C) 1 (D) 4 e - 3（2013顺义二模20-6）.设变量y x ,满足约束条件?????-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则y x -32的取值范围是( ) A.??? ?? ?21,42 B.?? ? ???64,21 C.?? ? ???64,42 D.?? ? ? ??22,641 4（2013丰台期末5-10）．已知直线y x b =+与平面区域||2, :||2x C y ≤??≤? 的边界交于A 、B 两 点，若||22AB >，则b 的取值范围是 ． 5（2013房山期末7）. 已知函数ln ,0, ()1,0, x x f x x x >?=? --≤?D 是由x 轴和曲线()y f x =及该 曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 1- 6（2013房山二模5）.已知,M N 是不等式组1,1,10,6 x y x y x y ≥??≥? ?-+≥??+≤?所表示的平面区域内的两个不同 的点，则||MN 的最大值是（ ） A. 34 2 B. 17 C. 32 D. 172
线性规划讲义
简单的线性规划问题 高考要求： 能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以 解决。 知识梳理： 1．线性规划的基本概念： (1)二元一次不等式组是一组对变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,所以又 称为线性约束条件。 (2)by ax z +=),(R b a ∈是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式，叫做目标函数。由 于 by ax z +=又是y x ,的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 (3)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条 件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。分别使目标函数by ax z +=取得最大值或 最小值的可行解叫做这个问题的最优解。 2．基本思想：数形结合 高考热点： 热点1：平面区域问题 1．设集合A ＝{),(y x |x ，y ，y x --1是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ( ) 热点2：目标函数的最值问题 2．若变量y x ,满足不等式组?? ? ??≥+≥-≥+-0203052y x x y x ，求下列目标函数的最值： （1）y x z 2+= （2）y x z +=3 （3）y x z -=3 （4）1 1 ++=x y z （5）22)1()1(+++=y x z 小结： 拓展延伸： （6）若),(y x M 为D 上的动点，点A 的坐标为)1,3(-，则z OM OA =? 的最大值为 （7）已知向量)3,(z x +=，),2(z y -=，且b a ⊥，则z 的取值范围是 （8）y x z 2+= （9）y x z 2+= （10）若y x ,在上述不等式组所表示的区域内变动，且t x y +=2，则实数t 的取值范围是 热点3：已知最优解逆向求解参数值或范围 3．（2010. 浙江理7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥?? --≤??-+≥? 且x y +的最大值为9，则实 数m =（ ） （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 变式1：若上述不等式组中1=m ，使目标函数y ax z +=取最大值的最优解有无穷多个时，a 的值为 。若最优解只有一个时，a 的取值范围是 。 变式2：若原题中不等式组不变，且目标函数y mx z +=的最大值为9，则a 的值为 。
人教版高中数学总复习[知识梳理简单的线性规划(基础)
简单的线性规划 【考纲要求】 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。 【知识网络】 【考点梳理】 【不等式与不等关系394841 知识要点】 考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 要点诠释： 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）； ②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域。 简称：“直线定界，特殊点定域”方法。 考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧. 要点诠释： 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法： 因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号 简单的线性规划 二元一次不等式（组）表示的区域 简单应用 不等式（组）的应用背景
【一等奖教案】 线性规划
课题：线性规划在实际生活中的应用 教学目标： 1．知识目标：会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题； 2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力； 3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神． 教学重、难点： 教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答． 教学难点：1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题； 2．寻找整点最优解的方法． 教具：多媒体、实物投影仪、印好的习题纸和直尺（习题纸附后） 教学方法：讲练结合、分组讨论法 教学过程： （一）讲解新课 1．实例1讲解 引入：李咏主持的《非常6＋1》是大家很喜欢的娱乐节目． （播放视频：李咏首支个人单曲MV《你是我们的大明星》） 当娱乐大哥大李咏把《非常6＋1》里的金蛋砸得金花四溅时，央视总编却在思考着另外一个问题： 例1：央视为改版后的《非常6＋1》栏目播放两套宣传片．其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万，宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？ 应用题是同学们最头痛的题型之一，它的特点是文字多、数据多，条件复杂，要看懂题目意思，理清题目中的数据，可以采用什么方式？请学生回答． 分析：将已知数据列成下表 播放片甲播放片乙节目要求 片集时间（min） 3.5 1 ≤16 广告时间（min）0.5 1 ≥3.5 收视观众（万）60 20
线性规划题及答案完整版
线性规划题及答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
线性规划题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 例2、已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值是 . “()()2221++-y x ”值域？ 三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0 024x y y x s y x ≥??≥??+≤??+≤?下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范 围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。 例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??+≤??≤≤? (C) 0003x y x y x -≤??+≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤??+≥??≤≤? 五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。 例5已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。 六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例６在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A) 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件 ?? ???≤≥+-≥-.112, 932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 八、比值问题 当目标函数形如b x a y z --= 时,可把z 看作是动点()y x P ,与定点()a b Q ,连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
人教版 高中数学 简单的线性规划问题教案
简单的线性规划问题 一、教学内容分析 普通高中课程标准教科书数学5（必修）第三章第3课时 这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”． 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科 学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题. 简单的线性规划（涉及两个变量）关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源 一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以 最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想． 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等的概 念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 二、学生学习情况分析 本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例，理解了平面区域的意义， 并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问 题转化为数学问题. 从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关 系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日， 这都成了学生学习的困难． 三、设计思想 本课以问题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，以几何画 板作为平台，激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验 “从实际问题到数学问题”的建构过程，“从具体到一般”的抽象思维过程，应用“数形结 合”的思想方法，培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 1．了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；理解线性规划问题的图解法；会利用图解法求线性目标函数的最优解． 2．在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神； 3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力，体验数学来源于生活，服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用. 五、教学重点和难点 求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看，学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题？以及如何想到要这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际，通过突出知识的形成发展过程，引入数学实验来突破这一难点．
高考数学一轮复习第6章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题讲义理(含解析).pdf
第 2 讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点) 2.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考必考内容．预测2020 年的考查,主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数,同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现,属中档题型. 1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 2．线性规划相关概念 3．重要结论 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线； 特殊点定域：若直线不过原点,特殊点常选原点；若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)
或(1,0)来验证． (2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0 或Ax＋By＋C<0,则有 ①当B(Ax＋By＋C)>0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0 时,区域为直线Ax＋By＋C＝0 的下方． (3)最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一,有时有多个． 4．利用线性规划求最值,用图解法求解的步骤 (1)作可行域； (2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． 1．概念辨析 (1)不等式Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0 的上方．( ) (2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( ) (4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax＋by－z＝0 在y轴上的截距．( ) 参考答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)不等式组Error!表示的平面区域是( )
高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题
简单的线性规划问题 【知识梳理】 线性规划的有关概念 【常考题型】 题型一、求线性目标函数的最值 （X+2Q2, 【例1】设变重X, *满足约束条件〈2x+ y<4, 则目标函数z= 3x- V的取值范围 〔4*- - 1, 是（） 3 A. -6 C. [-L6] D. -6, 3. "+2E, [解析]约束条件〈2X+V<4,y> - 1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y= 3x- Z斜率为
3 z 取最小值- 3 .??z=3x-y 的取值范围为6」，故选A. ［答案］A 【类题通法】 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而 言，最优解一般在可行域的边界上取得.在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点. 【对点训练】 X- 4y< -3, 3x+5y<25, 求z 的最大值和最小值. Q1, ［解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示.把z=2x+＞变形为v=-2x +乙则得到斜率为-2,在）/轴上的截距为乙旦随z 变化的一组平行直线.由图可以看出, 当直线z=2x+*经过可行域上的点/时，截距z 最大，经过点8时，截距z 最小. |x-4y+3 = 0, 解方程组i3H5 =。，得/点坐标为厚）， X=l, 解方程组L-4*+3 =。，得8点坐标为(")， 大值 = 2x5 + 2=12, z 建小值=2x 1 + 1 = 3. ( 于4尸 3=0 =0
题型二、求非线性目标函数的最值 ( X- y+5>0, X+VA O,x<3. ⑴求"=/+必的最大值与最小值； V ⑵求 >=六的最大值与最小值. X— O ［解］画出满足条件的可行域如图所示， (1) /+,=。表示一组同心圆(圆心为原点Q,旦对同一圆上的点】+必的值都相等，由图可知：当(X, M在可行域内取值时，当旦仅当圆。过c点时，〃最大，过(0,0)时，〃最小.又Q3,8),所以u意大也=73、"缺小值=0. y (2) v^=—表示可行域内的点Rx, H到定点Q(5,0)的斜率，由图可知，蜘最大，处。最 A— O 小,又03,8), 8(3, -3), -3 3 8 所以/ 是大渲= 3 — 5 = 1'，照小坦=3 _ 5 = 一4? 【类题通法】 非线性目标函数最值问题的求解方法 ⑴非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果?
破解线性规划中的整点问题
破解线性规划中的整点问题 河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文 Email:zhaojw1968@https://www.wendangku.net/doc/857069538.html, 线性规划中的整点问题是高中数学线性规划中的重要一类问题，是高中数学的一个难点，本文将整数线性规划问题解法作以简单介绍供同学们学习时参考. 例 某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器，由于市场需求旺盛，这两种产品供不应求，因该商店根据具体情况（如成本、员工工资）确定产品的月采购量，具体数据如下，问这两种产品各采购多少时，才能使总利润最大？最大利润是多少？ 分析：本题是整数规划问题，设采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，列出约束条件和目标函数，用图解法解之. 解析：设月采购电热水器x 台、太阳能热水器y 台，月总利润为z 元，则 1000300030000100050011000 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈? ，即330222 ,x y x y x y N +≤??+≤??∈?，目标函数为 z =800600x y + 作出可行域如图所示， 作直线l ：86x y +=0， 平移直线z =800600x y +知过M 3638( ,)55时，max z =10320，但x =365，y =385不是整数，所以可行域内点M 3638( ,)55不是整点最优解. 求整点最优解 解法一 网格平移法 首先在可行域内打网格，其次描出M 3638(,)55 附近的所有整点，接着平移直线l ：86x y +=0，会发现当移至（8，6）时，直线在y 轴上截距最大，即max z =10000元. 解法二 特值检验法 由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域，一次取得满足条件的整点，（0，10），（1，9），（2，9），（3，9）（4，8），（5，8），（6，8），（7，7），（8，6），（8，5），（9，4），（10，2），（10，1），（11，0）.将这些点分别代入z =800600x y +，求出各点对应的值，经验证可知，在整点(8,6)处max z =10000元. 解法三 调整最优法 单位产品所需资金 月资金供应量（百元） 电热水器 太阳能热水器 成本 10 30 300 工资 10 5 110 单位利润 8 6
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
线性规划在企业管理中的应用
线性规划在企业管理中的应用 摘要：随着运筹学广泛应用，作为其一重要分支的线性规划在企业的生产管理中起到了极其重要的作用。本文分别对线性规划和企业管理简单介绍，然后着重讨论线性规划在现代企业生产管理中的应用，并应用几种常见的解法对所提出的问题加以解答，从而获得最优解或制定最佳方案等。 关键词：线性规划企业管理数学建模线性求解 Linear Programming Be Used In Business Management Abstract：With the Operational Research has been widly used. As the major branch,The L inear Programming paly an important role in Business Management. This dissertation main introduce the L inear Programming and Business Management, then we will discuss the apply of L inear Programming in modem Business Managemen, and use some usual methods to solve this problems which we found and applied, so that we can gain the optimal solution or work out optimal schema. Keywords：Linear Programming，Business Managemen ，Mathematical Modelling，Deprecatory ，Apply 由于计算机技术的发展，许多利用运筹学处理的问题可在较短的时间内得出结果，线性规划作为运筹学的一重要分支，它的应用也日益广泛，如利用其数学方法，通过计算机软件应用于生产组织、几乎与管理中。线性规划所探讨的问题是在由所提出的问题的性质决定的一系列约束条件下，如何把有限的资源进行合理的分配，制定出最优实施方案。企业管理是对企业的生产经营活动进行组织、计划、指挥、监督和调节等一系列职能的总称。它运用各类策略与方法，对企业中的人、机器、原材料、方法、资产、信息、品牌、销售渠道等进行科学管理，从而实现组织目标的活动。在企业的各项活动中，如计划、生产、运输、技术等问题，为达到目的所采取的各种有效的方法手段，从各种限制条件的组合中，选择出最合理的计算方法，从而求得最佳结果。企业的最终目的是盈利，要获得较好的效益需要有足够的竞争力，竞争力来源于有效的管理，线性规划在企业管理中的应用对企业的管理起到了极其重要的作用。 1线性规划应用简介 1.1线性规划概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线
高中数学专题讲义-线性规划
【例1】 设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足2222101212x y x y x y ?+--+????≥≤≤≤≤， 则OA OB ?u u u v u u u v 的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．22+ 【例2】 已知变量,x y 满足120x y x y ????-? ≥≤≤，则x y +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【例3】 不等式组0,10, 3260x x y x y ??--??--?≥≥≤所表示的平面区域的面积等于 ． 典例分析 线性规划
【例4】设变量,x y满足约束条件 3 1 x y x y + ? ? -- ? ≥ ≥ ，则目标函数2 z y x =+的最小值为（） A．1B．2C．3D．4 【例5】设变量,x y满足 0, 10 3260 y x y x y ? ? -- ? ?-- ? ≥ ≥ ≤ ，则该不等式组所表示的平面区域的面积等 于，z x y =+的最大值为． 【例6】目标函数2 z x y =+在约束条件 30 20 x y x y y +- ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≥ 下取得的最大值是________． 【例7】下面四个点中，在平面区域 4 y x y x <+ ? ? >- ? 内的点是（） A．(0,0)B．(0,2)C．(3,2) -D．(2,0) -
【例8】已知平面区域 1 ||1 (,)0,(,) 1 y x y x x y y M x y y x ?? + ? ?? -+ ? ?? ??? Ω== ?????? ? ?? ????? ? ?? ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ ，向区域Ω内 随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（） A．1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【例9】若x，y满足约束条件 30 03 x y x y x + ? ? -+ ? ? ? ≥ ≥ ≤≤ ，则2 z x y =-的最大值为． 【例10】已知不等式组 y x y x x a ? ? - ? ? ? ≤ ≥ ≤ ，表示的平面区域的面积为4，点() , P x y在所给平面区 域内，则2 z x y =+的最大值为______．