国考：公式法解容斥问题(二集合)

国考：公式法解容斥问题（二集合）

河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。

在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。解题思路有画图法和公式法。一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。今天我们一起来看一下二集合容斥。

二集合容斥公式：A+B-AB=总数-都不符合。

下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：

【例】（2006-国家A-62）现有50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）。

A.27人

B.25人

C.19人

D.10人

【解析】此题为容斥原理问题，根据容斥原理公式：满足条件一的个数＋满足条件二的个数-两个条件都满足的个数＝总数-两个条件都不满足的个数。根据题意，设两个实验都做对的x人，列方程有：40＋31-x＝50-4，解得x＝25。选择B。

我们再来看一道例题：

【例】（2015-天津-15）某高校大学生数学建模竞赛协会共有240 名会员，今欲调查参加过国家级竞赛和省级竞赛的会员人数，发现每个会员至少参加过一个级别的竞赛。调查结果显示：有7/12的会员参加过国家级竞赛，有1/4的会员两个级别的竞赛都参加过。问参加过省级竞赛的会员人数是（）。

A.160

B.120

C.100

D.140

【解析】根据题意有140 名会员参加过国家级、60 名会员参加过两个级别。直接套公式：140+x-60=240-0 。解得x=160。所以答案选A。

【例】对某小区432 户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共300户，那么既有汽车又有摩托车的有（）。

A.10户

B.8户

C.5户

D.3户

【解析】根据题意列出等式：432－300=27＋108－x，解得x=3。所以答案选D。

不积跬步，无以至千里，不积小流无以成江海。齐骥一跃，不能十步，驽马十驾，功不在舍。祝大家早日上岸。

《三集合容斥原理》

三集合容斥原理 华图教育梁维维 我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。 三集合容斥原理公式： 三者都不满足的个数。 总个数- = + - - - + + =| | | | | | | | | | | | | || |C B A C B C A B A C B A C B A 有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。 【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( ) A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。 近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。 【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（） A. 148 B. 248

容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

三者容斥问题3个公式

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的标准型公式。 集合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，满足标准型公式： 三集合容斥原理标准型公式：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ·Ⅱ-Ⅰ·Ⅲ-Ⅱ·Ⅲ+Ⅰ·Ⅱ·Ⅲ=总个数-三者都不满足个数 通过观察公式，我们可以看到在公式中，出现了9个量，而这个式子的适用前提就是知8求1，即在题目中，若我们看到了8个已知量，要求1个未知量的时候，就要使用这个公式(注：而题目中有时候也是知7求1，其中的三者都不满足的个数可能为零)，具体题目如下： (陕西2015)针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜

欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有( )人。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解：通过观察，我们发现了八个已知量，还要我们求另一个未知量，故可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得： 28+30+42-8-10-5+3=100-x，其中x为我们要求的量，求得x=20，答案选择A。 接着，我们来看一下三集合变异型的公式，如下图示：

从上式中，我们可以看出，要使用变异型公式，题目中必须要出现仅满足2个情况的个数，这就是与标准型公式最大的不同，下面我们就看看具体的题目： (广东2015)某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为( )。 A.75 B.82 C.88 D.95 解：由于题目中出现“只参加其中两个项目的有13人”，故使用变异型公式，得到下面列式：49+36+28-1×13-2×9=x，通过尾数法(若题目中选项的尾数都不一样的话，就可以用尾数法快速得到答案)，判断出答案为82，选B。 但是，现在变异型公式也出现一些变形的形式，例如国考2015中的这道三集合容斥原理，就给我带来了一写在解题是需要着重注意的地方，下面我们仔细分析一下题目 (国家2015)某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷?( ) A.310 B.360

容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用 在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩

B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

三集合非标准型容斥原理

国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|政法干警| 招警| 军转干| 党政公选| 法检系统| 路转税| 社会工作师 三集合非标准型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括标准型和非标准型，三集合容斥原理与三集合标准型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非标准型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） 都不满足 总数- ) (= + + + - + +C B A C A C B B A C B A （2）三条件都不满足 总数 只满足两条件- * 2 -= - + +C B A C B A （3）满足三条件 只满足两条件 只满足一个条件* 3 * 2+ + = + +C B A 公式（1）是标准型公式，公式（2）、（3）都是非标准型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解析：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非标准型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解析：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非标准型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非标准型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。

解一元二次方程(公式法)

应用拓展 某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0． （2）要使它为一元一次方程，必须满足: ①211(1)(2)0m m m ?+=?++-≠?或②21020m m ?+=?-≠?或③1020 m m +=??-≠? 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2 m 2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9 134 ±= x 1=，x 2=-12 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=- 12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m 2+1=0，m 不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-13 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-?1时，其一元一次方程的根为x=- 13． 布置作业 1．教材P 45 复习巩固4． 2．选用作业设计:

三集合容斥非标准公式原理

宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。 首先，我们应该有一个清晰的认识。根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。今天，我们关注三集排除原则。 其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。 设置I，II，III，并满足标准公式 三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。Ⅱ-Ⅰ。Ⅲ-Ⅱ。Ⅲ+Ⅰ。Ⅱ。Ⅲ=总数-都不满足 通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。具体主题如下：

（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。 A.20 B.18 C.17 D.15 E.14 F.13 G.12 H.10 解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是 接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示： 从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同

容斥原理公式及运用完整版

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在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1：两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。如下图所示。 【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2：三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到： 【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

三集合非标准规范型容斥原理

三集合非规范型容斥原理 ———————————————海南华图数资老师，胡军亮近些年考试经常出现容斥原理的题型，容斥原理分为两集合型跟三集合型，三集合容斥原理又包括规范型和非规范型，三集合容斥原理与三集合规范型容斥原理都是相对好掌握的。这里给大家讲解三集合非规范型容斥原理题的解题方法。首先看下面三个公式 （1） （2） （3） 公式（1）是规范型公式，公式（2）、（3）都是非规范型公式。 【例1】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（） A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 解读：该题目为典型的容斥原理题，但是题目提到“两项同时不合格的有5种”，这句话的意思就是只满足两个条件的数量是5，该题属于三集合容斥原理非规范型题，带入公式（2）得到： 7+9+6-5-2*2=36-X，尾数法知道答案选C。 【例2】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则只有一项不合格的建筑防水卷材产品有多少种？ A. 17 B. 12 C. 15 D. 20 解读：该题涉及到只满足一项不合格、同时两项不合格、三项都不合格，属于三个集合非规范型容斥原理的题，带入公式（3）得到： 8+10+9=X+2*7+1，尾数法知道答案选B。 从上面的两道例题的讲解可以看到三集合非规范型容斥原理虽然不是很好理解，但是记住题型的特征，用正确的公式直接套用来解题还是很容易掌握的。 1 / 1

公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题

2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题 华图教育 三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。 根据上图，可得三集合容斥原理核心公式： =A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数 一、直接利用公式型 【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人 【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A 选项。 二、三集合容斥原理作图型 若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。 【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 C x B A

名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名 【答案】B 【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有 仰 1 2 2 2 3 4 3 蛙自由 只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。 【例3】（2012年河北）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保持期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种？（） A.14 B.21 C.23 D.32 【答案】C 【解析】 a d b c 其中d为三项同时不合格的部分，a+b+c为两项同时不合格的部分。设三项全部合格的食品有x种。根据题意有：36-x=7+9+6-5-2×2，解得x=23。因此，本题答案为C选项。 【注】该题注意，由于7+6+9这部分把三项同时不合格的部分共加了3次，减去5的

用公式法解一元二次方程教案

用公式法解一元二次方 程教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

优质课比赛教案 第23章 23.2 用公式法解一元二次方程 整体设计 教学分析 求根公式是直接运用配方法推导出来的，从数字系数的一元二次方程到字母系数的方程，体现了从特殊到一般的思路。用公式法解一元二次方程是比较通用的方法，它体现了一元二次方程根与系数最直接的关系，一元二次方程的根是由系数a，b，c决定的，只要将其代入求根公式就可求解，在应用公式时应首先将方程化成一般形式。 教学目标 知识与技能： 1、理解一元二次方程求根公式的推导过程 2、会用求根公式解简单系数的一元二次方程 过程与方法： 经历探索求根公式的过程，发展学生的合情推理能力，提高学生的运算能力并养成良好的运算习惯 情感、态度与价值观 通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。 重点： 掌握一元二次方程的求根公式，并能用它熟练地解一元二次方程

难点： 一元二次方程求根公式的推导过程 教学过程： 一、复习引入： 1、用配方法解下列方程： （1）4x 2-12x-1=0；（2）3x 2+2x-3=0 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 说明：教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤，为本节课的学习做好铺垫。 3、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）吗？ 二、问题探究： 问题1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）转化为（x+m)2=n 的形式吗？ 说明：教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让 学生分组讨论交流，达成共识，最后化成（x+a b 2)2=2244a a c b - ∵a ≠0，方程两边都除以a,得x 2+ 0=+a c x a b 移项，得x 2+ a c x a b -= 配方，得x 2+ 22)2(-)2(a b a c a b x a b +=+ 即（x+=2)2a b 2244a ac b -

容斥原理习题加答案

1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( ) A、27人 B、25人 C、19人 D、10人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B 得A∩B=25，所以答案为B。 2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25％是白色的，75％是蓝色的。如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件（） A、15 B、25 C、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。 3.某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，

不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人（）A．120 B．144 C．177 D．192 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字： 根据每个区域含义应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15 ＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15 根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120. 4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（） 人人人人 【答案】A 【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字： 根据各区域含义及应用公式得到： 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。52＝x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到Y＝22人。

公式法解一元二次方程教案

公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形

容斥原理公式及运用

容斥原理公式及运用 在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路就是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 一、容斥原理1:两个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既就是A类又就是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。如下图所示。 【示例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都就是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？ 数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都就是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。 二、容斥原理2:三个集合的容斥原理 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。 如下图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩

A+A∩B∩C。即得到: 【示例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人？ 参加足球队→A,参加排球队→B,参加游泳队→C,足球、排球都参加的→A∩B,足球、游泳都参加的→C∩A,排球、游泳都参加的→B∩C,三项都参加的→A∩B∩C。三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩ A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

数量关系之三集合容斥问题解题技巧

2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011年08月29日 21:10:58 来源：新华教育【字号大小】【收藏】【打印】【关闭】 在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。 一、三集合标准型公式 集合A、B、C，满足标准型公式： = =总数-三者都不满足的个数 三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。 【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（） A.1人 B.2人 C.3人 D.4人 【答案】B。各类条件明确给出，直接使用公式法。三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。 【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少（）？

公式法解一元二次方程(教案)

21.2.2公式法 教案设计（张荣权） 教学内容：用公式法解一元二次方程 教材分析：在解一元二次方程时，仅仅是直接开平方法、配方法解一元二次 方程是远远不够的。对于系数不特殊的一元二次方程，这两种方法就不方便了。而用求根公式法解较复杂的一元二次方程教方便了。因此，学习用公式法解一元二次方程很有必要，也是不可缺少的一个重要内容。而公式法是一元二次方程的基本解法，它为进一步学习一元二次方程的解法级简单应用起到铺垫作用。 教学目标： 知识与技能目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导。 2.会用求根公式解简单数字的一元二次方程。 3.理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况。 过程与方法：在教师的指导下，经过观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结能力。 情感态度与价值观：培养学生独立思考的习惯和合作交流意识。 教学重点、难点及突破 重点：1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。 2.熟练的利用求根公式解一元二次方程。 难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 教学突破 本节课我主要采用启发式、探究式教学法。教学中力求体现“试——究——升”模式。有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法。由于学生配方能力有限，所以，崩皆可借助于多媒体辅助教学，指导学生通过观察，分析，总结配方规律，从而突破难点。学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性，主动性和创造性。 教学设想 通过复习配方法解一元二次方程，导入对一般形式的一元二次方程的解法探讨，通过提问引导学生观察思考，产生问题，进行小组合作探讨，发现结论。加深对应用公式法的理解。渗透由特殊到一般和分类讨论及化归的数学思想，运用解一元二次方程的基本思想----开方降次，重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解一元二次方程的基本策略。 教学准备 教师准备：课件精选例题 学生准备：配方法解一元二次方程、二次根式的化简 教学过程：

容斥原理之最值问题

教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用. 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算?求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思; 符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思. ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理?图示 AI B ,即阴影面积?图示 第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求 A B （意思是把A B 的一切元素都“包含” 进来，加在一起）; 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去 C AI B （意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）? 、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是A 类又是B 类 的元素个数 既是B 类又是C 类的元素个数 既是A 类又是C 类的元素个数 同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .图示如下： 如下:A 表示小圆部分, B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分，记为: 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合 A B 的并集AU B 的元素的个数，可分以下两步进行:

例题精讲 【例1】 “走美”主试委员会为三?八年级准备决赛试题。 每 个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年 级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3次。本届活动至少要准备 道决赛 试题。 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题 【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用 4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有 8 6 4 2 56 （道）题目。 【答案】56题 【例2】 将1?13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的 个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空 【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于 被重复计算多的区格中，最大和为: 13 X 4+ (12+11 + 10+9 ) X 3+ 8+7+6+5 ) X 2+ 4+3+2+1 ) =240. 【答案】240 【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星?如果每条线段上恰有 这个五角星上红色点最少有多少个 ？ 目 tMlF 13个区域中，然后把每 1994个点被染成红色，那么在

行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题

行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题 一、介绍三集合整体重复型核心公式 在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 二、典型的三集合整体重复型的题目讲解 例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题) A. 15人 B.16人 C.17人 D.18人 【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出： 解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参

加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。 解二：套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 35=x+y+5 17+30+13=x×1+y×2+5×3 解得：x= 15，y=15 例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题) A. 69 B.65 C.57 D.46 【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式： W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 这里需要注意的是W=105，而非125，

国考：公式法解容斥问题(三集合标准型)

国考：公式法解容斥问题（三集合标准型）河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。 在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。解题思路有画图法和公式法。一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。今天我们一起来看一下三集合容斥标准型公式。 三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。 下面我们一起来看寄到容斥问题的例题： 【例】（2009-国家-81）如图所示，X、Y、Z 分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X 与Y、Y 与Z、Z 与X 重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少？（） A.15 B.16 C.14 D.18 【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。根据题意，设阴影部分为x，列方程有：290=64+180+160-24-70-36+x，解得x＝16。选择B。 由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。我们再来看一道例题： 【例】对39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17 种，含乙的有18 种，含丙的有15 种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9 种，三种维生素都不含的有7 种，则三种

公务员考试行测备考：巧解三集合容斥原理问题

公务员考试行测备考：巧解三集合容斥原理问题 三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想--剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。 根据上图，可得三集合容斥原理核心公式： 一、直接利用公式型 【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为： A. 7人 B. 8人 C. 5人 D. 6人 【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x，则根据三集合容斥原理公式有： 22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。因此，本题答案为A选项。 二、三集合容斥原理作图型 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|

若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。 【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（） A.5名 B.6名 C.7名 D.4名 【答案】B 【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。于是有 仰 只参加1个项目的人数为1+2+3=6。因此，本题答案为B选项。 国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 各省公务员|