第四章 大数定律与中心极限定理答案
第四章 大数定律与中心极限定理答案
一、单项选择
1. 设)(x Φ为标准正态分布函数，??
?=不发生，
事件发生；
事件A A X i ,0,1100,,2,1Λ=i ，且
8.0)(=A P ，10021,,,X X X Λ相互独立。令∑==1001
i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分
布函数)(y F 近似于（ ） （A ）)(y Φ （B ）Ф()y -80
4
（C ）)8016(+Φy （D ）)804(+Φy 答案：D 二、填空
1. 设X 的期望和方差分别为
μ和2σ，则由切比雪夫不等式可估计
)2(σμ<-X P 。 答案：34
≥
2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6|{|Y X P ________． 答案：
12
1
3． 已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在6到18之间的概率为________．与3到21之间
解 由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得
222{618}{126}3311466
P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-=
3
{618}4
P ξ∴≤≤≥
4． 已知随机变量ξ的均值μ=12，标准差σ=3，试用切比雪夫不等式估计ξ落在3到21之间的概率为________．
解 由题意得，2212,3,E D ξξσ=== 由切比雪夫不等式得
222{321}{129}3811999
P P D ξξξ≤≤=-≤≥-=-=
8
{321}9
P ξ∴≤≤≥
5．假定生男孩、生女孩的概率均为0.5，用切比雪夫不等式估计200个新生婴儿中男孩在80个到120个之间的概率为________．
解 设ξ表示在200个新生婴儿中男孩的个数, 则~(,),B n p ξ 其中0.5p 200,n ==, 则
()2000.5100,E np ξ==?=
()(1)2000.5(10.5)50.D np p ξ=-=??-=
由切比雪夫不等式得
22{80120}{10020}507
118
2020P P D ξξξ≤≤=-≤≥-
=-=
6．用切比雪夫不等式估计下题的概率: 废品率为0.03, 求1000个产品中废品多
于20个且少于40个的概率为________.
答案：0.709
7．用切比雪夫不等式估计下题的概率:
求200个新生婴儿中, 男孩多于80个且少于120个的概率为________. (假定生女孩和生男孩的概率均为0.5.)
答案： 0.875
8． 设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤≥-
)3
121(X P . 答案：14
三、计算题
1．现有一批种子, 其中良种占1
6, 今任取6000粒种子,试以0.99的概率推断在这
6000粒种子中良种占的比例与1
6
的差是多少? 相应的良种数在哪个范围内?
解 用随机变量k X 表示第k 粒种子, 用1k X =表示第k 粒种子为良种, 用0k X =表示第k 粒种子不是良种, 1,2,,6000k =L
则15
(),(),636i i E X D X ==
(1,2,,6000)k
X k =L 是相互独立同分布的随机变量序列,
6000
1
k
k X
=∑表示这6000粒种子中良种的粒数,记6000
1
k
k X X
==
∑,
则16000EX EX ==== 则由独立同分布的中心极限定理得
60001
11()60006(207.85)(207.85)
2(207.85)1
k k P X P εεεε=-<=<
=Φ-Φ-≈Φ-∑
根据题意,令2(207.85)10.99εΦ-=.即有(207.85)0.995εΦ=, 查正态分布表得 207.85 2.85ε=,0.0124ε∴=
并由 6000111(0.0124)0.9960006k
k P X =-<=∑ 得 6000
1(9251075)0.99k k P X =<<=∑
因此, 以0.99的概率推断在这6000粒种子中良种占的比例与1
6
的差是0.0124.
这时, 相应的良种粒数在925粒到1015粒之间.
2．某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机个数ξ在6个到12个之间的概率.
(已知.5.0)0(,994.0)51.2(=Φ=Φ)（8分）
解：ξ～B(n,p), 其中 n=120, p=5%
∴E ξ=6, D ξ=5.7, 由中心极限定理，得
P （6<ξ<12）=）
（）－（
07
.56
ΦΦ =）
（）－（0513.2ΦΦ=0.493963
3. （10分）一大批种子，良种占%20，从中任选5000粒。试计算其良种率与%20之差小于%1的概率。（用Φ表示）
解 设ξ表示在任选5000粒种子中良种粒数，则)(~p n B ，ξ，其中5000=n ，2.0=p ，则 800)1(1000=-===p np D np E ξξ，，
由中心极限定理得，良种率与%20之差小于%1的概率为
)
501000()01.02.05000
(
<-=<-ξξ
P P
)77.1()800
50
()80050800
1000
(
Φ=Φ≈<
-=ξP
4 已知生男孩的概率为 0.515, 求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率.
解 设X 为10000个新生婴儿中男孩的个数,则~(,),X B n p 其中0.515p 10000,n ==. 10000个新生婴儿中女孩不少于男孩,
即5000.X ≤ 由De Movire-Laplace 中心极限定理,得新生婴儿中女孩不少于男孩的概率
(5000)(3)0.00135
P X P ≤=≤
≈Φ=Φ-=
5 试利用(1) 切比雪夫不等式; (2) 中心极限定理分别确定投掷一枚均匀硬币的次数, 使得出现”正面向上”的频率在0.4到0.6之间的概率不小于0.9.
解 设X 表示投掷一枚均匀硬币n 次出现”正面向上”的次数, 则 则~(,),X B n p 其中0.5p =, 则
()0.5,E X np n == ()(1)0.25.D X np p n =-=
(1) 利用切比雪夫不等式求解
22
(0.40.6)(0.40.6)
(0.10.50.1)(0.50.1)
()0.2525
1110.9,(0.1)0.01X
P P n X n n
P n X n n P X n n D X n n n n
<<=<<=-<-<=-<≥-
=-=-≥
由此得25
0.1,n
≤250.n ∴≥ (2) 利用中心极限定理求解
由De Movire-Laplace 中心极限定理得, X 近似服从正态(,(1)).N np np p - 即~(0.5,0.25).X N n n 所以,
(0.40.6)(0.40.6)(210.9
X
P P n X n n
P <
<=<<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-≥
由此得0.95,Φ≥
查正态分布表得 1.645,67.65,n ≥∴≥ 因此取68.n =
6 设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加,每人每年交40元. 若老人死亡, 公司付给家属2000元. 设老人死亡率为0.017, 试求保险公司在这次保险中亏本的概率.
解 设X 为老人死亡人数, 则~(,),X B n p 其中0.017p 10000,n == 由题意,得
保险公司在这次保险中亏本当且仅当20004010000,X >? 即200.X > 由De Movire-Laplace 中心极限定理,得保险公司亏本的概率
(200)
11(2.321)0.01017
P X P >=>≈-Φ=-Φ=
7． 设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次, 试求
在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.
解 设第i 秒钟内被呼叫的次数为,1,2,,100,i X i =L 由i X 为服从参数为2的泊松分布, 且1100,,X X L 独立同分布, 有()2,()2,
i i E X D X ==100
1
i
i X
=∑为100秒钟被呼叫的总次数, 记100
1
i
i X X
==
∑，
则11100200,100200,EX EX DX DX =====由独立同分布的中心极限定理,得
100
1
100
(180220)
200
(1.41)( 1.41)(1.41)10.8414
i i i
P X X
P =≤≤-=≤
≤
≈Φ-Φ-=Φ-=∑∑
所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为0.8414.
8． 抛掷一枚硬币，以ξ表示n 次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01？试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果．
解 设ξ表示在n 次抛掷中出现正面的次数, 则~(,),B n p ξ 其中0.5p =, 则()0.5,E np n ξ== ()(1)0.25D np p n ξ=-= (1) 由切比雪夫不等式得
22{
0.01}{0.01}
0.25110.99
(0.01)(0.01)E P P E n n n
D n
n n ξ
ξ
ξξξ-
<=-<≥-=-≥ 60.2510250000n ∴≥?= (2) 利用中心极限定理求解
由De Movire-Laplace 中心极限定理得, ξ近似服从正态(,(1)).N np np p - 即~(0.5,0.25).N n n ξ所以,
{
0.01}{0.01}
{([121
0.99
E P P E n n n
P ξ
ξ
ξξ-<=-<=<<=Φ-Φ=Φ--Φ=Φ-≥
由此得
0.995,Φ=Φ≥
查正态分布表得2
2.58,12916641.n ≥∴≥=
9．设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床的电动机都是2KW 的，由于资料检修等原因，每台机床平均只有70%的时间在工作，试求要供应这个车间多少KW 电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？
解 设ξ表示在80台机床中正在工作的机床台数, 则~(,),B n p ξ 其中n=80,p=0.7, 则()56,E np ξ== ()(1)16.8D np p ξ=-= 设应供应这个车间x KW 电才能以0.99的概率保证此车间生产用电. 由中心极限定理得,
56
{}2560.99x x P P x
ξ-≤=≤-=Φ≥
56 2.33x -≥，解得131.1x ≥，
因此至少应供应这个车间132 KW 电才能以0.99的概率保证此车间生产用电.
10．抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？
解 设应该检查n 个产品．设ξ表示在被检查的n 个产品中次品的个数, 则
~(,),B n p ξ其中p=0.1, 则()0.1,E np n ξ== ()(1)0.09D np p n ξ=-=. 由中
心极限定理得
,
{10}110.9
P P P ξ>=>
=-≤=-Φ
≥0.1∴Φ
≤110.10.9∴Φ=-Φ≥-=
1.28
≥1000n ∴-≥.解得146.5n ≥，
因此至少应检查147个产品，才可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达
到0.9.
四、证明题
1．设随机变量ΛΛ,,,,21n ξξξ相互独立，且每一随机变量有有限的方差，设
c D i ≤ξ，
试证，对0>?ε，有
011lim 11=???
? ??≥-∑∑==∞→εξξn
i i n i i n E n n P 或
111lim 11=???
? ??<-∑∑==∞→εξξn
i i n i i n E n n P 证 ∑∑===n
i i n i i E n n E 1
11)1(ξξ
Θ {
}i ξ相互独立，∴ n
c
D n
n D n
i i n i i ≤
=∑∑==1
211)1(ξξ 由切比雪夫不等式，对0>?ε，有
01110211??→??≤???
? ??≥-≤∞→
==∑∑n n
i i n i i n c E n n P εεξξ 两边夹，∴ 011lim 11=???
? ??≥-∑∑==∞→εξξn
i i n i i n E n n P 。
2．试描述同分布的中心极限定理。并应用同分布的中心极限定理证明
Laplace - Moivre De 定理，即设n η是n 次贝努利试验中成功的次数，在每次试验
中成功的概率为)10(<
dt e
x npq
np
P t x
n n 2
221)(
lim -
∞
-∞
→?
=≤-π
η
解：定理（同分布的中心极限定理） 设随机变量ΛΛ,,,,21n ξξξ相互独立，服从
同一分布，且有μξ=i E ，02
>=σξi D ，则标准化的随机变量之和
∑=-=
n
i i
n n
1
)(1
μξσ
η的分布函数)(x F n ，对R x ∈?，一致地有
)(21)(lim )(lim 2
2
x dt e
x P x F t x
n n n n Φ==≤=-
∞
-∞
→∞
→?
π
η
Laplace - Moivre De 定理的证明
记 ??
?=次试验不成功
第次试验成功
第i i i 01ξ，ΛΛ,,,2,1n i =
∴ n n ξξξη+++=Λ21
而 ),1(~p B i ξ，p E i =ξ，)1(p p D i -=ξ，且ΛΛ,,,,21n ξξξ相互独立， 由同分布中心极限定理可知，对R x ∈?，一致地有
dt e
x npq
np P x npq
np
P x
t n n n
i i
n ?
∑∞
--
∞
→=∞
→=≤-=≤-2
1
221)(
lim )(lim π
ηξ
该定理表明，当∞→n 时，二项分布以正态分布为极限分布。实际应用中，若随机变量),(~p n B ξ，只要n 充分大，即有),(~npq np N &ξ，或)1,0(~N npq
np
&-ξ，
即有近似计算公式
)(
)(
)(npq
np a npq
np b b a P -Φ--Φ≈<<ξ
3．设ξ是连续型随机变量，且ξ的方差存在，则对0>?ε，试证明
2
)(ε
ξ
εξξD E P ≤
≥-
证 ξ是连续型随机变量，设其概率密度为)(x f ，则
()()dx x f E P E x ?≥-=≥-ε
ξεξξ()()dx x f E x E x 22
?
≥--≤ε
ξεξ
()()2
2
21
ε
ξξε
D dx x f
E x =-≤
?∞
∞-