经典二十问,二次函数一网尽 一道二次函数,经典二十问答案
一道二次函数二十问,二次函数一网尽!
安居育才中学—杨华
学生在学习了一次函数，正比例函数，反比例函数的基础上来学习二次函数，是拥有一定经验的。二次函数是初中阶段，研究的最后一个具体的函数，也是最重要的。历年来中考中占有较大比例，同时二次函数和以前学过的一元二次方程一元二次不等式有着密切的联系，进一步学习二次函数，将为他们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解树形结合的重要思想。二次函数题型多变，考点多，思维量大，融合知识面大，计算复杂。怎样从纷繁复杂的考题中抓出二次函数考题的基本问题进行归纳总结，让学生真正的掌握学的方向，并应用二次函数知识解决数学问题与实际应用问题，是我们教师应当思考的问题，那么怎样教学二次函数的，我就以一道二次函数题为例进行教学引导。
例：已知：如图，抛物线y=2x+b x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，
顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
先确定坐标，再用待定系数法求关系式，这是基础中的基础，要求人人掌握。（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
2
2
214
(x1)4
(1,4)A(3,0)C(0,3)
y x x
D
=++-
=+-
----
解：
2222
22
222
AD=4+2=20AC=3+3=18
CD=1+1=2
AD=AC+CD ACD
∴
∴?
，
即为直角三角形
已知关系式，求顶点坐标（二次函数必备基础）。应用点与点的距离公式，利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。也可以用两直线斜率K之积为-1（代数与几何结合；代数方法与几何方法分别使用）
（3）求四边形ABCD的面积．
已知关系式，求抛物线与坐标轴交点坐标（二次函数必备基础）。应用割补法灵活多变，多种方法求多边形面积。（代数与几何结合，数形结合思想）
（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长。
2
2
214
(x1)4
1
'(2,3),BC'y x1
(1,2)
BCP210
y x x
x
C
P
=++-
=+-
=-
--=-
∴--
?+
解：
对称轴
直线
周长=CP+BP+BC=3
最值问题。已知关系式，求抛物线的对称轴，求直线解析式，求两条直线的交点坐标（函数知识必备基础）。应用将军饮马求两点一线的最短距离，主要数学方法化折为直。当然将军饮马还可以变式（代数与几何结合，数形结合思想）
（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大? 最大是多少?
最值问题。已知关系式，点的坐标，求直线解析式。（函数知识必备基础）两点间距离公式，解析式设点法的应用，求最值。（代数与几何结合，数形结合思想）（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？
是否存在性问题。点的坐标，求直线解析式，解析式设点法（函数知识必备基础）用铅垂高度乘以水平宽度求三角形面积，或用割补法求三角形面积并求最值。（代数与几何结合，数形结合思想，函数思想求最值）
（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？
ABCN??
ABC ANC
四边形
解：S=S+S
最值问题，是否存在性问题。本题在（6）的基础上，通过割四边形的方法，并求最值。（代数与几何结合，数形结合思想，函数思想求最值）
（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。求出点E的坐标；若不存在，说明理由。
00
AD:y=-2x-6AE:y=4DE:(m+4)x+m
3
(1)EAD=90-=-1(2)AED=90(m+4)=-1
33
(3)ADE=90-(m+4)=-1
m
x
m m
+
∠∠
∠
解:直线，直线直线
时,2，时,
时,2
点的坐标，求直线解析式，解析式设点法（函数知识必备基础）定点与动点的判别与使用。两直线斜率K之积为-1求直角（代数与几何结合，数形结合思想，函数的变量思想，分类讨论思想）
（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。
是否存在性问题。点的坐标，两点间的距离公式构建方程（函数知识必备基础）定点与动点的判别与使用，圆心到圆上的距离处处相等。（数形结合思想，方程思想，分类讨论思想）
（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。
2
2
OC3,N(,23)
N233
x x x
x x
=+-
+-=
设
即到x轴的距离:
根据两点间的距离，利用同底等高面积相等（函数知识必备基础）定点与动点的使用，用一个绝对值方程就能搞定不同的三个点的坐标。（数形结合思想，分类讨论思想）
（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=
1
3
S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。
存在，说明理由。
2
2
OC3,(,23)
S,
23
AOQ S COQ
OA x x x
x x x
?
==+-
∴
∴+-
=
=
设Q
即Q到x轴的距离=Q到y轴的距离
根据两点间的距离，利用等底等高面积相等（函数知识必备基础）定点与动点的使用，用一个绝对值方程就能轻松搞定不同的三个点的坐标。
若不存在，说明理由。
（13）（14）
形，求出K,L点的坐标。
2
2
2
(3,0)(1,0)(1,m)(n,n2n3)
n2n3
1)0,10n2n3
A B K L
AB
AK m n
AL
--+-
+-
-=++=++-
为对角线:-3+1=-1+n,0+0=m+
为对角线:-3+(
为对角线:
三个式子轻松搞定
利用平行四边形对角线的特征，对角线互相平分，中点坐标公式，对角线顶点横坐标点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。
(16) (17)
若不存在，说明理由．
使△AOM与△ABC相似，应考虑问题的多样性（对应边的变化性），用解析式设点法，相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(19) (20)
程，让学生在复杂中进行寻找到规律进行学习，从而使知识转化为能力，让所学生学会函数思想，学会函数与几何的结合，利用好数形结合，让学生掌握学习函数的方向和方法。