整式乘法与因式分解
整式乘法
?同底数幕相乘,底数不变,指数相加。即:a m +a n =a m+n
?幕的乘方,底数不变,指数相乘。即:(a m)n =a mn
?积的乘方,等于把每一个因式分别成方,再把所得的幂相乘。即:
(ab)n =a n b n
?单项式与单项式相乘,把它们的系数,同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。即:ac5? bc2=(a ? b) ? (c5? c2) =abc7
?单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。即:p(a+b+c)=pa+pb+pc
?多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。即:( a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq
?同底数幕相除,底数不变,指数相减。即:a m /a n= a m-n (a^ 0,m,n 都是正整数,且m> n)
?任何不等于0的数的零次幕都等于1。即:a0=1(a^0) ?一个数的负次方等于那个数的正次方得出的结果的倒数。即:a-b
=1/a b
?多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项以这个单项式,再把
所得的积相加。即:(am+bm—m=amr^ m+b^ m)
乘法公式
?平方差公式:两个数的和乘于这两个数的差的积,等于着两个数的平方差。
即:(a+b) (a-b)=a 2-b2
?完全平方公式:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方的和加上(或减去)他们的积的二倍。即:
( a+b) 2 =a2 +2ab+b2 /(a-b) 2 =a2 -2ab+b2
( 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,扩到括号里面都改变符号。)
因式分解
?因式分解:x2 -1因式分解x+1) (x-1) J法乘式整1-x2
?提公因式法:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式和多项式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。即:pa+pb+pc=p(a+b+c)
公式法
?平方差:两个数的平方差,等于着两个数的和与这两个数的差的积。
即:a2-b 2 =(a+b)(a-b)
?完全平方式:两个数的平方加上(或减去)这数的积的 2 倍,等于
这两个数的和(或差)的平方。即:a2+2ab+b2=(a+b) 2 /a 2-2ab+b2=(a-b)
分式
?一般的,如果a,b 表示两个整式,并且b 中含有字母,那么,式子a/b 叫做分式。
?分式的性质:分式的分子与分母乘(或除于)同一个不等于0的整式,分式的值不变。
第十五章 分式 一、知识概念: 1.分式:形如 A B ,A B 、是整式,B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于0. 3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变. 4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分. 5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分. 6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算: ⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a b a b c c c ±±= ⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为: a c ad cb b d bd ±±= ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:a c ac b d bd ?= ⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:a c a d ad b d b c bc ÷=?= ⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:n n n a a b b ?? = ???
8.整数指数幂: ⑴m n m n a a a +?=(m n 、是正整数) ⑵() n m mn a a =(m n 、是正整数) ⑶()n n n ab a b =(n 是正整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >) ⑸n n n a a b b ?? = ??? (n 是正整数) ⑹1 n n a a -=(0a ≠,n 是正整数) 9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
分式知识点归纳 一、分式的定义: 一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式,A 为分子,B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(???≠=0 0B A ) ④分式值为正或大于0:分子分母同号(???>>00B A 或? ??<<00B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(?? ?<>00B A 或???><00B A ) ⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B ) ⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0) 三、分式的基本性质 (1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:C B C ??=A B A ,C B C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。 (2)分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即:B B A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。 3.两种情形:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。 4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法: 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。 (依据:分式的基本性质!) 2.最简公分母:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时,最简公分母的确定方法: 1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
17.2.2 分式的加减法(1) 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减,先________变为________分式,然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算:222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算:)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若(3-a )2与|b -1|互为相反数,则b a -2 的值为____________. 7. 如果x <y <0,那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x -22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0( ) 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x ( ) 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+( ) 4.222b a c b a c b a c +=-++( ) 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x >y >0,那么x y x y -++11的值是( ) A.零 B.正数 C.负数 D.整数
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2-a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 初中数学分式知识点总复习 一、选择题 1.0000005=5×10-7 故答案为:B. 【点睛】 本题考查的知识点是科学计数法,解题的关键是熟练的掌握科学计数法. 2.下列各式计算正确的是( ) A .(﹣x ﹣2y )(x+2y )=224x y - B .13x -=13x C .236(2)6y y -=- D .32()(1)m m m m x x x -÷=- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的相关运算法则计算可得. 【详解】 A .(﹣x ﹣2y )(x+2y )=﹣(x+2y )2=﹣x 2﹣4xy ﹣4y 2,此选项计算错误; B .3x ﹣1=3x ,此选项计算错误; C .(﹣2y 2)3=﹣8y 6,此选项计算错误; D .(﹣x )3m ÷x m =(﹣1)m x 2m ,此选项计算正确; 故选:D . 【点睛】 本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握整式的运算法则和负整数指数幂的规定. 3.若2310a a -+=,则12a a + -的值为( ) A 1 B .1 C .-1 D .-5 【答案】B 【解析】 【分析】 先将2310a a -+=变形为130a a -+ =,即13a a +=,再代入求解即可. 【详解】 ∵2310a a -+=,∴130a a -+ =,即13a a +=, ∴12321a a +-=-=.故选B. 【点睛】 本题考查分式的化简求值,解题的关键是将2310a a -+=变形为13a a +=. 4.若(x ﹣1)0=1成立,则x 的取值范围是( ) A .x =﹣1 B .x =1 C .x≠0 D .x≠1 【答案】D 【解析】 试题解析:由题意可知:x-1≠0, x≠1 故选D. 5.在等式[]209()a a a ?-?=中,“[]”内的代数式为( ) A .6a B .()7a - C .6a - D .7a 【答案】D 【解析】 【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ?=,由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案. 【详解】 ()01a -=Q ,则原式化简为:[]29a a ?=, ∴[]927a a -==, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算,熟练掌握相关概念是解题关键. 6.雾霾天气是一种大气污染状态,造成这种天气的“元凶”是PM 2.5,PM 2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒,将数据0.0000025科学记数法表示为( ) A .2.5×106 B .2.5×10﹣6 C .0.25×10﹣6 D .0.25×107 【答案】B 【解析】 【分析】 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n ,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【详解】 一、分式方程计算: (1) 21)2(11+-?+÷-x x x x (2)32232)()2(b a c ab ---÷ (3)2323()2()a a a ÷- (4)0142)3()101( )2()21(-++-----π (5)222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- (6 )(3103124π--????-?-÷ ? ????? (7)2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、(1)3513+=+x x ; (2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. (6) (7) (8) 三、1、先化简,再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ,其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数,求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ,求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组: 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25=0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级数学上册分式混合计算专题练习80题
初中数学分式知识点总复习
初二下册数学分式计算题题目
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx