从不同角度看行秩与列秩

线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？

这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？

传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。

在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法：

第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几何》。

证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。

接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。

设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。

接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。

第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》

证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为 r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n 个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。

接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。

有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。

但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的秩是相等的？尽管经过了行列变换之后行列秩相等是显然的，但这个过程中却把原来的行列向量给变得面目全非了。

更有甚者，有些教材上竟然用矩阵的子式和行列式理论推导行秩等于列秩，由于这种证明过于复杂，这里就不列出了。

直到最近的一次偶然机会，又让我想起了这个问题。一开始，发现它和对偶空间与对偶映射有关系。

记得当初学习线性代数时，直到最后才接触了一些有关对偶空间和对偶映射的知识，教材还写得十分抽象，以至于我们都囫囵吞枣地过来了，根本没有什么印象。后来的泛函，因为高等代数理解不深人，对泛函也没有留下什么印象。最近有同事让我讲线性代数，有很多次问我关于矩阵转置的意义的问题。他曾经学习线性代数时对很多问题不理解，其中就有矩阵转置到底对应几何上的什么东西，为什么要转置？其实我也没考虑过这个问题，只知道这是代数的特殊需要，当需要把行向量变成列向量的时候就需要考虑转置，它完全是代数上的处理方式。至于在几何上代表什么意义，我也曾困惑过，但一直没考虑清楚。然而现在比大一那个时候多了一个学习的更加有效的途径，那就是网络。在wiki百科中，我查到了一个观点：

在标准正交基底下，如果一个线性映射对应于矩阵A，那么A的转置恰好对应这个线性映射的转置映射，A的共轭转置恰好对应这个线性映射的对偶映射。

在有限维空间中对偶映射还有一个更直观的定义：

设是从到的线性映射，则的对偶映射是从到的满足

的线性映射。

这是很好理解的，即使不知道什么是对偶空间及对偶映射，单单从矩阵乘法的性质中也很容易看出A和A的共轭转置之间的这种关系。

这样就把A的共轭转置和A之间的关系赋予了几何的意义，因为内积正好包含向量的角度信息，并且当一组非零向量两两内积为0时，它们线性无关。

A和A的共轭转置的列向量的秩分别对应于 T 和 T* 的值域的维度，能不能就此证明它们相等？从而至少可以证明实数矩阵行秩等于列秩。这就是下面的：

定理1：线性映射的值域和其对偶映射的值域有相同的维数。

证明：设 T 是从 U 到 V 的线性映射，则 T 的对偶映射 T* 是从 V 到 U 的线性映射。设 T 与 T* 的值域的维数分别为r,s，假设s

，考虑，这个向量组的秩≤s

。又因为

故即。这样我们在的值域中找到了与向量都垂直的非零向量，与这个向量组是值域的基底矛盾。因此s≥r。

同理可证s≤r。故s=r。证毕。

这样，A 与 A 的共轭转置的列秩相等，从而实数矩阵的行秩等于列秩。

为了把它应用于证明复数矩阵行秩与列秩相等，还需要下面的命题：

命题1：若复数值向量a1,a2,…,an线性无关，那么他们的共轭向量也线性无关。证明：以a1,a2,…,an 为系数矩阵的方程组k1a1+k2a2+…+knan=0 两边取共轭即得到一个以a1,a2,…,an 的共轭为系数的线性方程组，这两个方程组同时有或没有非零解。证毕。

这样就彻底完全地证明出了矩阵的行秩与列秩相等。这个证明的思路中就明显地带有几何的启示，因此我觉得它更能让我看到矩阵行向量和列向量的本质。然而虽然这个证明带有很强的几何色彩，但终究还是觉得有些抽象，还是没有道出行列向量之间的关系来。

经过对这个问题持续的思考，和对方程组 AX=0 从不同的角度去解释，发现如果我们竖着看 AX，我们看到一个线性映射，它列向量的秩是它值域的维数；然而如果我们横着看 AX=0，又可得到 A 的每个行向量与 X 的内积是0（这里以实数矩阵为例，至于复数矩阵则可以利用上面的“命题1”），也就是说，A的每个行向量和 AX=0 的解都垂直，用映射的观点说，就是 A 的每个行向量都在线性映射的零空间的正交补空间中。又 AX=0 的所有解的集合（零空间）是垂直于A 的每个行向量的向量构成的集合，那么零空间和行空间应该互为正交补空间，它们的维数之和是定义域的维数。那么事情就清楚了，根据秩-零度定理，dim rangeT+dimnullT是 T 定义域的维数，而行空间维数又与零空间维数互补，因此行空间维数等于值域维数，即行秩等于列秩。

应该说，这才是行向量和列向量真正的本质关系，可惜的是，直到毕业的三年多之后我才自己发现了这个关系。

其实，如果考虑对偶映射，也可以轻而易举地得出结论：T* 的值域恰是 T 的零空间的正交补。根据秩-零度定理也立即可以得出 T* 和 T 值域维数相等。前面在证明“定理1”时没有用到它们值域和零空间的关系还有秩-零度定理，这里用了这两个定理之后，分析过程其实和上段分析 AX=0 方程组的过程本质上是一样的。

那时在网络上还查找到了一个利用了矩阵乘积的现代观点证明行秩等于列秩的文章，是在台湾博客“线代启示录”中看到的，抄录如下（注意在台湾，把竖着的叫行，把横着的叫列，与我们恰好相反）：

假設階矩陣的行秩為，列秩為。可知包含個—維線性獨立的行向量，它們足以擴張的行空間。將這些行向量收集起來組成一個階

矩陣，那麼的任何一個行都可以唯一表示為的行向量之線性組合，如下：

將這個式子的線性組合權重合併為一個階矩陣，並利用以行

為計算單元的矩陣乘法規則，就有

接著再考慮矩陣的第列，以表示，利用以列為計算單元的矩陣乘法規則，於是有

矩陣的每一列都可以寫為 D 的列向量之線性組合，因此的列空間維度不大於 D 的列向量總數，即，也就是說的列空間維度不大於的行空間維度。

運用同樣的推論方式於，可推知的列空間維度不大於的行空間維度，但的列空間即為 A 的行空間而的行空間就是的列空間，得知。綜合以上結果，證得，矩陣的行秩等於列秩。這個證明方法表面看似平凡無奇，但它只利用矩陣乘法運算便將幾個重要的線性代數概念——線性組合、基底和擴張連結在一起，非常值得初學者細細品味。

这个证明虽然也是代数上的分析，但其巧妙的让人称奇的地方，就是把一个矩阵分解成了两个矩阵的乘积，其中左边的因子是列慢秩的，然后利用对两个矩阵乘积的不同的解释，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩联系起来了。

本来，有关矩阵列秩与行秩关系的问题讨论到这里也可以算是比较圆满了。但是，在写这篇文章的时候，又无意间提出下面的一个问题：

为什么如果矩阵A只有两行，哪怕它有100列，它的列向量的秩也最多是2？

现在来看，这是个非常简单的问题，因为它的100个列向量都是二维的向量，这些二维向量再多，也至多可以找出两个线性无关的向量。这是由向量空间的维数定理保证的：“有限维向量空间中任何极大线性无关组包含向量个数相同。”因此，一个矩阵，它的列秩不超过行数，行秩不超过列数。

那么，为了完成“列秩等于行秩”的证明，只需把列秩和行秩的大小范围估计得更精确一些，从“列秩小于等于行数”、“行秩小于等于列数”精确到“列秩小于等于行秩”、“行秩小于等于列秩”。我们设想，如果一个 m*n 阶矩阵，它的行秩为 r，那么它的列向量虽然表面上看每个都是 m 维的，但实际上这些 m

维向量被限制在了一个 r 维的子空间中，实际属于 r 维向量。为了看清楚这一点，我们可以有两条思路：

第一条，既然 A 的行空间维数为 r，那么可以找到 r 个线性无关的行向量为基底，矩阵的 m 个行向量都可以用这 r 个向量线性表示，用矩阵的语言就是

其中 D 就是从 A 的行向量中选取的线性无关行向量，B 的每一行是 A 的行向量按D中行向量线性表示的系数（坐标）。那么，接下来还是两条路：第一，按维数定理，D 的列秩不超过其行数 r，且 A 的值域维数不大于 D 的值域维数（因为 A 的维数就是把 D 的值域再用 B 映射到 m 维空间，值域的维数是递减的），因此 A 的列秩不大于 r，这实质上是北大《线性代数》中的证明；第二，B 的列秩不超过 B 的列数 r，这样就变成了“线代启示录”的证明，因此“线代启示录”上的证明思路也就是如此。

第二条，我们可以实际地找出列空间的基底。因为行秩为，即可以选取个行向量，使得其它行向量都可以用这个行向量线性表示，不妨记为，那么就代表的列向量的坐标都具有如下形式：

显然只有前 r 个坐标是可以自由变化的，这样的向量的全体构成一个子空间，它的基底是清楚的。因此，这是个 r 维子空间。根据维数定理，这样的向量不管多少个，秩不大于r。

可见，一个简单的事实，可以从多种角度进行的解释，但有些看似动机不同的解释往往实质上又相同，它们之间也有着千丝万缕的联系。因为线性代数的这个特点，使得不同的线性代数的教材的写法有很大的不同。同样一个事实，既可以从线性映射的角度去解释，又可以从矩阵分析的角度解释，还可以从线性方程组，或行列式角度去证明。线性代数教材的编写其实很随意，既可以像北大版那样把线性方程组作为基础，其它诸如线性变换、维数定理等等内容都通过方程组理论来证明，也可以像《Linear Algebra Done Right》那样完全地从抽象的向量空间和线性映射的角度分析。它们动机虽然不同但是要认识的对象是同构的。

但是，如果当初满足于这个定理的书本上的证明，我是不可能对它挖掘得这么深，也不可能认识到这些东西的。这里我还是要对以北大版《高等代数》为代表的教材提一些意见。

可能大部分人都认为，线性方程组是线性代数中最易懂最易理解的部分，学生又有中学解多元一次方程组的基础知识，线性方程组又可以引申出线性代数的诸多内容，因此是最适合用于大学一年级学生入线代之门的内容。但是这样做有两个问题：

一个是如果只提方程组，学生无法想象它的几何形象，学生学习时头脑中形成的往往只是变动的符号，不利于深入理解线性代数，更不利于发挥想象力去主动发现知识。如果说当学生学到线性空间、线性变换的时候自然会学习到这些几何观念，那么在线性方程组之后，线性空间和线性变换之前，还要学习矩阵理论，同样是没有几何直观，并且比方程组更难理解，到了线性空间的时候学生已经云里雾里了，哪里还有信心去学习接下来的东西？李炯生版《线性代数》的前言部分说，“研究线性空间以及线性空间关于线性变换的分解即构成了线性代数的几何理论，而研究短阵在各种关系下的分类问题则是线性代数的代数理论。”那么到底是先代数后几何，还是先几何后代数，还是二者同时进行？如果先代数后几何，就像在没有学习平面几何的时候学习解析几何，并且要预先学习曲线方程的性质，不见曲线只见方程，等把方程的性质在代数上讨论清楚了，再带你认识它们实质上的几何形象，再用这些方程的性质简单推导出几何的性质。但这是一个非常糟糕的学习方式。更糟糕的是一些理工科专业线性代数学得更浅，甚至只学到矩阵部分，只记住了矩阵的运算等莫名奇妙的符号在头脑中搬来搬去，至于为什么那么计算，学过之后考高分的学生也不知道。这里有孟岩的三篇csdn博文为证，尤其是博文开头几段话，道出了一般理工科学生的疑问。

《理解矩阵（一）》

《理解矩阵（二）》

《理解矩阵（三）》

另一个问题是，这样的组织缺少发展理论框架的动机，为什么要引入线性相关，线性无关，为什么要讨论矩阵？为什么有了消元法还要讨论行列式和 Cramer 法则？如果都是以解方程为目的，这些内容统统没有动机，只要一个消元法，最后能够写出通解形式，就够了。似乎矩阵、向量空间等内容都是方程组问题生发出来的，研究它们又有什么用途？这些问题开始不讲清楚，学生厌学，到后续课程真正用到这些知识的时候后悔莫及。

因此，我主张不论是编写教材，还是老师讲授，学生学习，都应该起点底，观点高，让学生可以从各个不同方向去“围攻”一个问题，从各种不同的角度去看待一个知识，即使只是为了讲代数，几何方面的直观思想和动机也要讲清楚，甚至这些更为重要。不妨在讲解线性方程组的时候就开始讲讲方程组中蕴含的向量空间、线性变换等高级内容的道理，即不光讲高斯消元法等方程的传统内容，还要用线性变换那样的几何观点解释方程组解的结构等等问题，并用三维的几何图形（不妨用电脑中的数学软件或flash动画，至少是图片）来展示线性代数中那些概念背后的几何形象，使学生一开始就有丰富的几何代数经验，一开始就发现这部分数学的魅力。

行(列)满秩矩阵的性质及其应用

摘要 本文将行（列）满秩矩阵的性质与可逆矩阵（即满秩矩阵）的相关性质进行比较，归纳出行（列）满秩矩阵在解线性方程组、矩阵秩的证明及矩阵分解等方面的若干应用，使其不受方阵的正方性限制，而应用起来又与可逆矩阵相差无几。 关键词：可逆矩阵；行(列)满秩矩阵；矩阵的秩；线性方程组

Abstract This article will row (column) the nature of the full rank matrix and invertible matrix (i.e. full rank matrix) properties of comparison, induction travel (column) full rank matrix in solving linear equations, the proof of matrix rank and some applications of matrix decomposition, etc.to make it without being limited by a phalanx of tetragonality, and used up and reversible. Key words: Invertible matrix; Row (column) full rank matrix; Matrix rank; The System of linear equations.

目录 1 引言 (1) 2 预备知识 (2) 3 可逆矩阵的性质及其应用 (3) 4 行（列）满秩矩阵的性质 (5) 5 行（列）满秩矩阵的若干应用 (11) 5.1 在矩阵秩的证明中的应用 (11) 5.2 在齐次线性方程组中的应用 (12) 5.3 在非齐次线性方程组中的应用 (15) 5.4 在几类特殊矩阵分解方面的应用 (17) 参考文献 (20)

从不同的角度看矩阵的行秩与列秩

tianpeng.72pines./ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数 线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？ 这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？ 传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n 元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。 在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法： 第一个证明来自志杰《高等代数与解析几何》。 证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。 接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。 接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。 第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》 证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。 接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。 有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。 但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组 问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？ 答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。 问题2： 线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？ 答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解： 当n A r =)(时，只有零解； 当n A r <)(时，有非零解。 非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。 其中),(~ b A A = 为增广矩阵。 问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。 证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

工程数学教案25矩阵的初等行变换和矩阵的秩

教案头 教学详案 一、回顾导入（10分钟） ——复习线性方程组的消元解法引入新课。 二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟） 一：矩阵的初等行变换 对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换： （1） 互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ?）； （2） 以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）； （3） 把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +） 练习1：设矩阵?????? ? ??-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换： （1） 交换矩阵A 的第1行与第3行的位置； （2） 用数3乘矩阵A 的第2行； （3） 将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。 注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。 练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ???? ? ??--=121011322化为简化阶梯形矩阵。 将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：

（1） 首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下 方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。 （2） 从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第 二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。 注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。 2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。 练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ?????? ? ??-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵 二：矩阵的秩 矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。需认真把握。 1） 矩阵秩的概念： 将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r 例 求方程组的系数矩阵 的秩 练习4：求矩阵A ?????? ? ??-------=111204244024023171033的秩。 注：矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 三、归纳总结（10分钟） 对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接； 矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的； 矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。 四、课后作业 ???? ? ??--→????? ??---????? ??--=---→00055012155055012113431 212123121324r r r r r r A 所以 2)(=A R ????? ??--=134312121A

关于矩阵秩的证明

关于矩阵秩的证明 -----09数应鄢丽萍 中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。 关键词：初等变换向量组的秩极大线性无关组

约定用E 表示单位向量，A T 表示矩阵A 的转置，r(A)表示矩阵A 的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质： （1） r(A)=r(A T ); （2） r(kA)=? ??=≠0 00 )(k k A r （3） 设A,B 分别为n ×m 与m ×s 矩阵，则 r(AB)≤min{r(A),r(B),n,m,s} (4) r(A)=n,当且仅当A ≠0 (5) r ???? ??B O O A =r(A)+r(B)≤r ??? ? ??B O C A (6) r(A-B)≤r(A)+r(B) 矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。

定理1：设A,B 为n ×n 阶矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B) 证: 由初等变换可得 ???? ??B O O A →???? ??B A O A →???? ??+B B A O A 即???? ??E E O E ???? ??B O O A ???? ??E E O E =??? ? ??+B B A O A 由性质5可得 r ???? ??B O O A =r ??? ? ??+B B A O A 则有r(A)+r(B)≥r(A+B) 定理2（sylverster 公式）设A 为s ×n 阶矩阵，B 为n ×m 阶矩阵，则有r(A)+r(B)-n ≤r(AB) 证：由初等变换可得 ???? ??O A B E n →? ??? ??-AB O B E n →???? ??-AB O O E n 即? ??? ??-s n E A O E ??? ? ??O A B E n ? ??? ? ?-m n E O B E ＝???? ??-AB O O E n 则r ???? ??O A B E n =r ??? ? ??-AB O O E n 即r(A)+r(B)-n ≤r(AB)

1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要

习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，

从不同的角度看矩阵的行秩与列秩解析

https://www.wendangku.net/doc/887431561.html,/ 从不同的角度看矩阵的行秩与列秩——兼论如何学好线性代数 线性代数中，有那么几个神秘又神奇的东西，总是让初学它的人琢磨不透，无法理解，其中就有矩阵的行向量和列向量的关系，为什么一个矩阵的行向量里有多少个线性无关的向量，列向量里就一定也有多少个线性无关的向量呢？或者考虑稍微简单一点的问题，一个方阵，为什么行向量线性无关或线性相关列向量就一定也线性无关或相关呢？行秩为何等于列秩？ 这本来应该是一个基本又简单的事实。但是，请回忆一下你当初初学线性代数时的内容编排顺序，是怎么引入这个问题的，当时又是怎样解决这个问题的？ 传统的教材编写思路是从线性方程组开始整个线性代数话题的引入，这个过程中定义行列式和矩阵，用n元数组引入向量，线性相关和无关等概念，讨论解存在的条件，解的结构，等等。总之，一切以方程组为核心，给人的感觉就是线性代数就是方程组的理论，一切讨论的目的都是为了解决小小的方程组问题。 在这个过程中，有一个矩阵行秩等于列秩的命题，此时学生只了解方程组理论和行列式，因此这时对这个问题的解释当然也无法离开方程组或行列式。下面简述两个典型的教材中的证明方法： 第一个证明来自陈志杰《高等代数与解析几何》。 证明：首先，矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩，初等列变换不改变矩阵的列秩。这是由向量组的初等变换不改变向量组的线性相关或无关性保证的，即将某个向量乘以非零的倍数、将某个向量加到另一个向量上，都不改变向量组的线性相关或无关性。 接着证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 设A是m*n阶矩阵，任意从A的n个列向量中选取k个列向量a1,a2,…,ak，它们线性无关的充要条件是线性方程组a1×1+a2×2+…+akxk=0只有零解。而对矩阵A进行初等行变换不改变此方程组的解，因此不改变这k 个列向量的线性相关或无关性。这说明A的列向量的秩在矩阵的初等行变换中不变。同理矩阵的初等列变换不改变矩阵的行秩。 接下来，可以把A经过初等行变换和初等列变为只有对角线上有1或0，其它位置都为0的矩阵，在这个过程中行秩和列秩都不改变，从这个矩阵中看出行秩等于列秩，因此原来的矩阵行秩也等于列秩。 第二个证明来自北大数学系几何与代数教研室前代数小组编《高等代数》 证明：考虑线性方程组AX=0，首先证明如果未知数的个数超过A的行秩，那么它有非零解。设m*n阶矩阵A的行秩为r，考虑方程组AX=0，它由m个方程n个未知数组成。从A的行向量中选取r个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B，那么方程组AX=0和BX=0同解。这时，如果B的列数大于行数，那么方程组BX=0必有非零解，从而AX=0也有非零解。 接着证明行秩等于列秩。设m*n阶矩阵A的行秩为r，列秩为s。考虑A的任意r+1个列向量组成的矩阵C，因为C的行秩不大于r（因为C的行向量都是A的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0有非零解，这说明这r+1个列向量线性相关。所以A的列秩最大为r，即s<=r。同理可证r<=s，因此s=r。 有了行秩等于列秩的性质，完全可以用行秩或列秩定义矩阵的秩了。编写教材的人和老师们都认为，只要能够顺利定义出矩阵的秩，这个证明就足以满足初学时的需要了，既没有必要又没有条件再将它深入地挖掘下去。 但是它仍然让我困惑，即使把书上的这个证明看得明明白白，也不理解为什么行秩等于列秩。因为向量是个几何的概念，现在这个证明中看不出一点几何上向量的影子，这两个例子都依赖于线性方程组理论，都离不开高斯消元法，都是代数上的推导。虽然从代数上推导出了这个结果，但是在几何上我依然无法接受这个结果。矩阵的行向量和列向量“从图形上”到底是什么关系？可不可以让我一下子就能看出来它们的秩是相等的？尽管经过了行列变换之后行列秩相等是显然的，但这个过程中却把原来的行列向量给变得面目全非了。 更有甚者，有些教材上竟然用矩阵的子式和行列式理论推导行秩等于列秩，由于这种证明过于复杂，这里就不列出了。 直到最近的一次偶然机会，又让我想起了这个问题。一开始，发现它和对偶空间与对偶映射有关系。记得当初学习线性代数时，直到最后才接触了一些有关对偶空间和对偶映射的知识，教材还写得十分抽象，以至于我们都囫

求向量组的秩与极大无关组(修改整理)

求向量组的秩与最大无关组 一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组

【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： ()???? ? ?-- ? ?==→ ? ? ? ?--????123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---?? ? ?→ ? ? ?? 1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量

矩阵的秩

授课题目：第五节 矩阵的秩 教学目的：理解矩阵的秩的定义，掌握秩的求法，重点掌握线性方程组有解的充 要条件. 教学重点：掌握秩的求法和线性方程组有解的充要条件. 教学难点：线性方程组有解的充要条件. 课时安排：2学时. 授课方式：多媒体与板书结合. 教学基本内容： 2.5 矩阵的秩 1概念 定义1 在矩阵m n A ?中任取k 行k 列，位于这些行列交叉处的2 k 个元素按原次序组成的 k 阶行列式称为A 的k 阶子式.则A 中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记为()R A ，并规定(0)0 R =. 注1） 若()R A r =，则A 中至少有一个r 阶子式不等于零；而若存在1r +阶子式，则所有的1r +阶子式全为0. 2）对m n A ?，有()m in (,)R A m n ≤. 3）()()T R A R A =. 4） 对于n 阶方阵A ，()R A n =的充分必要条件是0A ≠，故也称0A ≠的A 为满秩矩阵. 5) 定义1 对给定的m n ?矩阵A ，称其非零子式的最高阶数为A 的秩，记作()R A ，并规定(0)0R =.一些教科书称这样定义的秩为矩阵的行列式秩. 在第4章建立向量组秩的概念后，分别定义矩阵的行秩与列秩，届时指出矩阵秩就是其列向量组的秩或行向量组的秩. 6) 若发现A 有一k 阶非零子式，则必成立()R A k ≥. 2 计算 直接按定义去计算矩阵的秩，需要求出矩阵最高阶的非零子式，在一般情形下这决非轻而易举的事情，但对形状特殊的行阶梯形矩阵而言，这却是极为简单的. 性质1 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数. 定理1 矩阵经行初等变换后，其秩不变. 推论1 矩阵经列初等变换后，其秩不变. 推论2 设A 为m n ?矩阵，B 为m 阶满秩方阵, C 为n 阶满秩方阵，则 ()()()()r A r B A r A C r B A C ===.

1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组

习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，

矩阵的秩及其应用

山西师范大学本科毕业论文(设计) 矩阵的秩及其应用 姓名杨敏娜 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级11510102 学号1151010240 指导教师王栋 答辩日期 成绩

矩阵的秩及其应用 内容摘要 矩阵在高等代数的研究中占有极其重要的地位，矩阵的秩更是研究矩阵的一个重要纽带。通过对矩阵的秩的分析，对判断向量组的线性相关性，求其次线性方程组的基础解系，求解非其次线性方程组等等都有一定的意义和作用。 论文第一部分介绍矩阵的概念,一般性质及秩的求法，这对之后介绍秩的应用有重要的铺垫作用。第二部分再利用这些性质及定理解决向量组和线性方程组的有关问题。第三部分研究矩阵的秩在解析几何应用中，着重用于判断空间两直线的位置关系。在与特征值间的关系主要是计算一些复杂矩阵的值。最后将矩阵的秩推广到特征值和其他与向量组有关的向量空间的应用。 本文主要对矩阵的秩相关定义定理进行总结和证明，并将其运用到一些具体事例中。 【关键词】矩阵的秩向量组线性方程组特征值解析几何

The Rank of Matrix and the Application of the Rank of Matrix Abstract The matrix plays a very important role in the research on advanced algebra. The rank of matrix is an important link of matrix. The analysis of the rank of matrix determines the linear relation of vector group. And there are certain significance and role to solve some linear equations and non linear equations. First, the article introduces the concept of matrix, general nature and method for the rank of matrix, it plays an important role for the application of the rank. Second, use the properties and theorems of vector group to solve the problem of linear equations. Third, analysis the rank of matrix in geometry application, it focuses on the judgment of space position relationship of two lines. In the characteristics of value, it mainly calculates some complex matrix. Finally, the application of the rank of matrix is extended to Eigen value and other related vectors in vector space. This paper mainly summarizes the matrix rank and its related theorem, and applies it to some specific examples. 【Key Words】rank of matrix vector group linear equations characteristic value Analytic geometry

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16

2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3

求矩阵的秩的步骤

求矩阵的秩的步骤 方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。 m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。 设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。 定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩

向量组的等价及向量组的秩

向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念 1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈L ，若有 （1）12,,,r αααL 线性无关； （2）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示。 那么，则称12,,,r αααL 是T 的一个极大无关组。称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。T 的秩数记为()R T 。 2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s αααL 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββL 。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。 二 主要结论 1 简化行阶梯形矩阵的性质 （1）主列构成的向量组线性无关； （2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。 （3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。 3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。 4 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果s t >，则向量组12,,,s αααL 必线性相关。 等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果向量组12,,,s αααL 线性无关，则必有s t ≤。 推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。 推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。 5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。

向量组的秩

第四节向量 定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。 定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。 等价向量组的性质： (1) 反身性：任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。 (3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。 定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s

矩阵的秩及其多样性的解法

矩阵的秩及其多样性的解法 数学学院 数学与应用数学（师范）专业 摘 要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，而矩阵的秩又是矩阵的一个重要指标，本文研究了与矩阵的秩的相关性质及其多样性的解法, 用定理和实例说明了行列式、线性空间、线性方程组、分块矩阵和矩阵秩的关系及其在求矩阵的秩中的应用。 关键词: 矩阵的秩; 行列式; 线性方程组； Abstract ：Matrix theory is an important part of the main object of study in algebra and rank of the matrix is an important indicator of the matrix, we study the rank of the matrix solution of the nature and diversity of theorems and examples illustratedeterminant, linear space, linear equations, the block matrix and the matrix rank and matrix rank. Keywords: Rank of matrix; V ector; Linear equations; 引言、引理 矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩相关性质及等价条件，并从行列式、线性方程组、线性空间以及分块矩阵的角度来阐述矩阵秩的不同解法。 矩阵的秩的等价刻划 设A F m n ?∈ ，则rank(A)=r ?A 中不为零的子式的最大阶数是r ； ?A 中有一个r 阶子式D 不等于零，所有包含D 作为子式的 r+1阶子式全为零； ? 存在可逆矩阵m n P F ?∈，m n Q F ?∈，使得000r E P A Q ?? = ??? ； ? A 的行（列）向量的极大无关组所含向量的个数为r;