27.1 图形的相似

第二十六章二次函数

第

19课时 §27．1 图形的相似

同学们在上册已经学习了图形的全等，与全等图形相比，形状相同的图形不仅是现实世界运动变化的最简捷形式之一，而且是现实生活中更为广泛存在的现象（全等图形其实就是它的一个特例）．现实世界中既有图形的全等变换，也有图形的相似变换，事实上，探索相似图形的一些重要性质，不仅是认识、描述物体的形状，更好地刻画现实世界的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题，进行数学交流的重要工具．

本章是继“图形全等、三角形全等”之后集中研究图形形状的内容，不仅是对图形全等内容的进一步深化和发展，而且是对图形研究方法的综合运用．学习本章有关内容，不仅是第三学段“图形的认识”、“图形与变换”等部分的重要目标，而且也是密切数学与现实之间必然联系以及“图形与空间”各部分之间内在联系的重要桥梁．因此，学好本章的内容十分重要．我们来看下面的问题： 1．小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又 测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算出这棵树的高度．

2．已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ， 某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m.

（1）请你在图4.1中画出此时DE 在阳光下的投影； （2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光 下的投影长为6m ，请你计算DE 的长?

相信，通过本章的学习，上述问题是不难解决的．

点击一：线段的比的定义

（1）线段比的概念：在同一单位下，两条线段长度的比.叫做这两条线段的比.

（2）比例线段的定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线

段叫做成比例线段.简称比例线段，如四条线段a,b,c,d ，有，那么这四条线段叫做成比例线段.

（3）比例尺：在地图或者工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常叫做比例尺.如你照的全身照片与你本人相比，缩小了很多，若用1:20表示，则把比例尺称为1:20.

（4）比例的基本性质：如果，那么ad=bc （a,b,c,d 都不为零）．特例：若，那么b2=ac ，

则把b 叫做a ，c 的比例中项. （5）比例性质的推广：

针对练习1:

1. 如图2，直线CD ∥EF ，若OC ＝3，CE ＝4，则的值是（ ）

A

E

D

C

B

A ．34

B ．

43

C ．

37

D ．

47

答案：C

2. 已知A 、B 两地的实际距离是5km ，画在图上的距离为2cm ，则该地图的比例尺为

A ．2:5

B ．1:2500

C ．250000:1 D. 1:250000 答案：D

点击二：相似形的概念

（1）定义：一般地说：形状相同的两个图形称为相似图形.从所学习的多边形而言：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. （2）相似多边形写法：用符号“∽”表示，读作“相似于”.

相似形定义应注意两点：（1）相同点:形状相同；（2）不同点:大小不一定相同.

点击三：相似形的识别

形状相同识识别图形相似的重要标致．

通过生活中的实例认识物体和图形的相似；感受形状相同是识别图形相似的重要标致．理解相似图形概念；会判断两个图形是否相似．

相似形与全等形的联系与区别：全等形是相似形的特殊情况．全等一定相似，但相似不一定全等．

点击四： 相似形的性质

相似形的对应边相等，对应角相等．

点击五：相似多边形的性质

相似多边形的对应边成比例，对应角相等；反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似．两个边数不同的多边形一定不相似，仅有对应角相等（如正方形与矩形）或仅有对应边成比例（如正方形与菱形）的多边形并不一定相似．

针对练习:

1.如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC

BC

AB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是（ ）．

A ．512-

B ．352-

C ．51

2

+ D ．352+

答案：A

A

B

C

图1

2．在下列四组图形中，不相似的有 （ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组

答:B

3．若如图4所示的两个四边形相似，则α∠的度数是（ ）． A ．

87

B ．

60

C ．

75

D ．120

答:A

4．将一个矩形纸片ABCD 沿AD 和BC 的中点的连线对折，要使矩形AEFB 与原矩形相似， 则原矩形的长和宽的比应为（ ）．

A ．2：1

B ．1:3

C ．1:2

D ．1：1 答

:C

类型之一：图形相似和相似图形的概念 例1：

下面是两张大小不同的中国地图，左边的图形与右边的图形有怎样的关系？

【解析】左边的中国地图图形可以看作是右边的中国地图图形缩小得来的．由于不同的需要，经常会制成各种大小的中国地图地图，但其形状（包括地图中所描绘的各个部分）肯定是相同的．

答案：这两幅地图相似．

60

75

α

60

138

图4

例2： 图中有哪些图形是相似图形？

【解析】 根据图形的形状相同的特点知：（1）与（3），（2）与（13），（4）与（11），（5）与（10），（14）与（16），（6）、（7）、（8）与（9）分别相似． 例3： 找一找：下列图形哪些形状相同？用线连起来． 【解析】 形状相同的图形即为相似形，用线连接如下．

本题中的两两相似的图形分别有：两朵红花、两朵绿花、两个三角形和两个猫，它们的形状相同，只是大写不同．符合相似形的特征．

例4 把四边形ABCD 放大1倍（要求：放大后的顶点在格点上）.

D

C

B

A

D

E

F

B

C

A （1） （2） （3）

（4） （5） （6） （7） （8） （9）

（10） （11） （12）

（13

） （14） （15） （16）

【解析】 把四边形ABCD 放大1倍，如下图所示：

图形成倍的放大或缩小，其大下发生了改变，但形状不变，即放大或缩小后的两个图形形状相同.这样的两个图形是相似图形．

类型之二：相似多边形的性质

例3：如图1，已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，求BC 、CD 的长和∠D ′的大小．

解：因为四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似， 故它们的对应边成比例，对应角相等． 所以36465

BC CD ==． 解之，得BC ＝54，CD ＝45． 又因为∠C ′＝∠C ＝82°， 所以∠D ′＝360°－（70°＋120°＋82°）＝88°．

例4：如图2所示，这两个菱形相似吗？请说明你的理由．

解：这两个菱形不相似．因为这两个菱形的对应角不相等，第一个菱形的内角分别为45°，135°，45°，135°，而第二个菱形的内角分别为60°，120°，60°，120°，它们仅对应边成比例．

例5: 已知图3中的两个梯形相似，求未知边x 、y 、z 的长度和∠α、∠β的度数． 分析：解题时要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质．

解：因为两个梯形相似， 所以

4.5 4.824 3.2

x y z ===． 解之，得x =3，y =6，z =3．

又因为对应角相等， 所以∠α＝∠D ＝180°－∠A ＝180°－62°＝118°， ∠β＝∠B ′＝180°－∠C ′＝180°－110°＝70°．

一．选择题

1.下列各线段的长度成比例的是( )

A.2cm,5cm,6cm,8cm

B.1cm,2cm,3cm,4cm

C.3cm,6cm,7cm,9cm

D.3cm,6cm,9cm,18cm

2.已知A,B 两地的实际距离是250米,若画在图上的距离是5厘米, 则图上距离与实际距离的比是( ) A.1:50 B.1:5000 C.1:500 D.1:50000

3.下列语句中不正确的是( ).

(A)求两条线段的比值，必需采用相同的长度单位

(B)求两条线段的比值，只需采用相同的长度单位，与选用何种长度单位无关 (C)两个相似三角形中，任意两组边对应成比例 (D)不相似的两个三角形中，也有可能两组边对应成比例 4.下列各组图形有可能不相似的是( ).

(A)各有一个角是50°的两个等腰三角形；(B)各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形；(D)两个等腰直角三角形 5.相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4

米

处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P 离地面

( )

(A)2.4米 (B)2.8米 (C)3米 (D)高度不能确定 6.下列语句正确的是( )

A.在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°, ∠A=30°,

∠C′=60°, 则△ABC 和△A′B′C′不相似; B.在△ABC 和△A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16, B′C′=14,A′B ′=10,则△ABC ∽△A′B′C′;

C.两个全等三角形不一定相似;

D.所有的菱形都相似

7.如图所示, △ABC ∽△ADE,AE=30cm,EC=15cm,BC=60cm,则DE 的长为

( )

E D

C B A

C

A.40cm

B.50cm

C.45cm

D.35cm 8.如图所示,能保证△ACD ∽△ABC 的条件是( ) A.AB:BC=AC:CD B.CD:AD=BC:AC C.CD 2=AD.DC D.AC 2=AB.AD

9.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边形的相似比为( )

A.9:4

B.2:3

C.3:2

D.81:16

10.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,如图 所示给出的四个图案中,符合图示胶滚图案的是(

)

11.等边三角形的一条中线与一条中位线长的比是( ) A.

3:1; B.3:2; C.

12:32

; D.1:3 12.如图所示,在□ABCD 中,BE 交AC,CD 于G,F,交AD 的延长线于E, 则图

中的相似三角形有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 二、填空题 1.已知:

642c b a ==.(1)当a=1时,b=___,c=____;(2)当a ≠0时 ,b

c b a ++=_______. 2.两个相似三角形的一组对应边长分别为15和27，它们的周长之差为36，则较小三角形的周长是 .

3.若一个边长为10cm 的等边三角形ABC 内接一个正方形DEFG,且点D,E 在BC 边上,点F,G 分别在AC,AB 边上,则正方形DEFG 的边长是_____.

4.如果一个三角形的面积根据相似的知识扩大9倍,那么它的周长扩大________倍.

5.如图所示, △ABC 中,DE ∥FG ∥BC,且AD=DF=FB,则 S △AFG :S △ABC =_______.

6.在矩形ABCD 中,AB=3BC,P 为DC 上任意一点,使得 △ADP 与△PBC 相似的点P 有________个. 三、解答题

1.任意画一个三角形,再把它放大到原来的3倍.

G

E

D C

B

A

F

G E D C

B

A F

2.如图所示,铁道口的栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时, 长臂端点升高了几米?

?

0.5米

3.将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 对折，使点A 与C 重合.若已知AB =6cm ，BC =8cm ，求EF 的长.

4.已知:正方形的边长为1.

(1)如图(1)所示,可以算出一个正方形的对角线长为 , 那么两个正方形并排拼成的矩形的对角线的长呢?n 个正方形并排拼成的矩形的对角线长呢? (2)根据图(2),说明△BCE ∽△BED;

(3)由图(3),在下列所给的3个结论中, 通过合理推理选出一个正确的结论加以说明. (A)∠BEC+∠BDE=45°; (B)∠BEC+∠BED=45°; (C)∠BEC+∠DFE=45°

.

C

B A (1)

E

D

C B A (2)E

D

C B A (3)

F

5.如图所示,?已知凸透镜焦距?=?10cm,?一根点燃的蜡烛放在距凸透镜15cm 的主光轴上,现测得烛焰AB 长为2cm,通过调节光屏位置,得到烛焰在光屏上清晰的像.

(1)请根据凸透镜成像原理(与主光轴平行的光线经过凸透镜折射后,?通过凸透镜的焦点,经过凸透镜光心的光线不改变方向),画出烛焰的像的位置; (2)求出烛焰像的长度.

6.如图所示,有一条路CF 为15米宽,这条路的北侧有一栋11层高的楼AB, 为33米的高层住宅,这条路的南侧有一栋电力公司办公楼CD,为12米高, 已知高层住宅的每层楼都一样高,当某一时刻,高层住宅楼的影长是165米,办公楼的影子映在住宅楼上,使下面的几层没有见到阳光,请你通过计算说明此刻高层住宅从第几层开始没有被前面的办公楼档住阳光.

E

D

C

B

A

F

答案：

一、DBCAA BADCB AD

二、1.2,3,3 2.45 3.(203-30)CM; 4.3 5.4:9 6.3

三、1.略 2.8米 3.15/2 （先求得OC=5，再由△COE ∽△CBA 求得OE=5/4） 4.(1)5,21n + (2)解:由BE=2,BC=1,BD=2, ∴

BE BD

BC BE

=

, 且∠EBD=135°, ∴△BCE ∽△BED.

(3)解:由(2)知,△BCE ∽∽BED,有∠BEC=∠BED, ∠BCE=∠BED, 又∠BEC+∠BCE=45°,∴∠BEC+∠BED=45°, 所以(B)成立.

5

1

EF DE DF EC BE BC === ∴△BEC ∽△DEF,∴∠BCE=∠DFE,

又∠BEC+ ∠BCE=45°,∴∠BEC+∠DFE=45°,所以(C)成立. 5. (1)略, (2)4cm; 24.略.

6.解:过E作EM⊥CD于M,设EF=x,则DM=12-x.

由题意知:1215

33165

x

-

=,∴x=9.

又33 米高的楼是11层,

∴1层楼为3米高,因此EF是3层楼高.

∴从第4 层开始没有被前面的办公楼挡住阳光.

一、认认真真，书写快乐

1．两个相似图形的相同，不一定相同．

2．放大镜下看到的物体图形与原来的图形相似图形（填“是”或“不是”）

3．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图1所示．飞机从台湾直飞上海的距离为1 286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中飞行距离是千米．

4．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为155cm，下肢长94cm，按此比例，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为cm（精确到0.1）

5．在比例尺为1∶m的地图上，某市为长5cm，宽为2cm的矩形地域，则该市的实际地域面积为平方米．

二、仔仔细细，记录自信

6．下面每组图中的两个图形是相似图形的是（）

7．下面每组图中的两个图形不是相似图形的是（）

8．下列说法错误的是（）

A．同一底片冲洗出的一张一寸照片和一张两寸照片相似

B ．大小不一的两张中国地图相似

C ．一个人在哈哈镜中的形象与他本人是相似的

D ．国旗上的大小五角星相似

9．已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA ＝3AB ，则线段CA 与线段CB 之比为（ ） A ．3∶4 B ．2∶3 C ．3∶5 D ．1∶2

10．应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”．该园占地面积约为800 000m 2，若按比例尺1∶2 000缩小后，其面积大约相当于（ ） A ．一个篮球场的面积

B ．一张乒乓球台台面的面积

C ．《人民日报》的一个版面的面积

D ．《数学》课本封面的面积 三、平心静气，展示智慧

11．一块长3m ，宽1.5m 的矩形黑板如图2所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm ，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？

12．我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．

现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．

参考答案： 一、1．形状，大小

2．是

3．3 858

4．4.7

5．2

1000

m

二、6．B 7．D 8．C 9．A 10．C 三、11．答：不相似，因为对应边不成比例．

12．圆和正六边形是相似图形，因为它们的形状相同；菱形和长方形不是相似图形，因为它们的形状不一定相同．

1.如图，在1010?正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC △向下平移4个单位，得到

再把A B C '''△绕点C '顺时针旋转90，得到A B C '''''△，

A B C '''△，

请你画出A B C '''△和A B C '''''△（不要求写画法）．

A

B

C

A

C

【解析】 先将ABC △向下平移4个单位，得到A B C '''△，再把A B C '''△绕点C '顺时针旋转90，得到A B C '''''△，结果如图所示：

本题融图形的平移、旋转于一体，综合性、操作性强，主要考查学生实际动手操作能力．由于平移、旋转不改变图形的大小，故平移、旋转后的三角形与原三角形的关系全等，是属于相似的特例． 2.如图，在网格中有一个四边形图案．

(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案， 你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； (2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；

(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 【解析】 (1)如图，正确画出图案

(2)如图，123

AA A A S 四边形=123

AB B B S 四边形-43BAA S #

=(3+5)2-4×1

2

×3×5

=34

故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34．

(3)结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述 课时作业：

A 等级

一、选择题

1．下面图形中，相似的一组是（ ）

A B C D 2．下面给出的图形中，不是相似的图形的是（ ）

B

图形的相似经典测试题及解析

图形的相似经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA' OA ＝ 1 3 . ∴A E AD ＝ 0E 0D ＝ 1 3 .∴A′E＝ 1 3 AD＝2，OE＝ 1 3 OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）. 方法二：∵点A（―3，6）且相似比为1 3 ，∴点A的对应点A′的坐标是（―3× 1 3 ， 6×1 3 ），∴A′（－1,2）. ∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.

考点：位似变换. 2．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点 E ，连接AC 交DE 于点 F .若3sin 5 CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】D 【解析】 【分析】 连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ??∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =． 【详解】 解：连接BD ，如图， AB Q 为直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=?， AD CD =Q ， DAC DCA ∴∠=∠，

备战2013中考数学压题专题7图形的相似

图形的相似 命题分析： 图形的相似、位似始终是中考的必考内容，尤其是相似三角形. 该部分知识在选择、填空与解答题中都有出现．从内容与方法上来说，主要考查相似三角形性质和判定、位似图形、黄金分割等知识，很多综合大题也融入了相似三角形的内容. 主要考查学生的识图能力、分析综合能力等. 锐角三角函数的定义特别是对特殊角的三角函数值的考查以及解直角三角形的应用题是各省中考的考查重点，试题形式有选择、填空、计算和解答题，其中应用题有测建筑物的高度，与航海有关问题，筑路修堤问题等等与现实联系密切的问题，试题背景不断创新.在解决时要把具体问题转化为数学模型，对计算不能直接求出的问题要通过列方程加以解决. 押题成果： 押题1：如图，小正方形的边长均为1 ，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（） 解析：正方形的边长均为1，可用勾股定理计算阴影三角形的边长，用“三边对应成比例的三角形是相似三角形”来判定. 答案：A 方法技巧：熟记相似三角形的判定方法和性质定理，能识别相似三角形的图形变换. 押题2：如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG=2∶3，则下列结论正确的是（） A．2DE =3MN B．3DE=2MN C．3∠A=2∠F D．2∠A=3∠F 解析：原图形与位似变换得到图形相似，由题意可得相似比为2∶3，对应角相等所以正确的选项为B. 答案：B 方法技巧：利用位似图形的性质解题. 押题3：如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC边上(点D不与A、C重合),若再增加上条件就能使△ABD∽△ACB,则这个条件可以是_______. 解析:本题考查三角形相似的判定方法的运用.由于所识别的两三角形隐 含着一个公共角∠A,因此依照识别方法,只要再附加条件∠ABD=∠C,∠ ADB=∠ABC,或 A D A B A B A C =即可.. 答案：∠ABD=∠C,∠ADB=∠ABC, A D A B A B A C =. 方法技巧：部分学生不熟悉三角形相似的判定方法，易错用“边边角”进行判定，也有学生不注意两个三角形顶点的对应.突破方法：本题答案只要求填写一个，为确保正确，可根据△ABD∽△ACB找出一对相等的对应角. 押题4：如图，在平行四边形ABCD中，BC AE⊥于E，CD AF⊥于F，BD与AE、AF分别相交于G、H．（1）求证：△ABE∽△ADF； （2）若AH AG=，求证：四边形ABCD是菱形． 解析:本题结合平行四边形知识考查相似三角形的判定和性质，（1）小题 B．C．D． A B C A D C B G E H F 押题4图 E D C N M H G F B A D C B A 押题3图

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含答案

中考数学备考之圆与相似压轴突破训练∶培优易错难题篇含答案 一、相似 1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长． 【答案】（1）证明：如图， ∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC， ∴∠ODB=∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∴∠ODB+∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠DBF=90°， 即∠OBD=90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线 （2）证明：连接AC，如图2所示： ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC，

∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH?EA （3）解：连接BE，如图3所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ， ∴AB=5，BE=AB?sin∠BAE=5× =3， ∴EA= =4， ∵， ∴BE=CE=3， ∵CE2=EH?EA， ∴EH= ， ∴在Rt△BEH中，BH= . 【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°； （2）连接AC，要证CE2=EH?EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解； （3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。 2．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．

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《图形的相似》单元测试卷(含答案)

第六章《图形的相似》单元测试卷 一、选择题： 1.（2015?东营）若34y x =，则x y x +的值为…………………………………………… （ ） A ．1； B ．47； C ．54； D ．74 ； 2. 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a =9cm ，b =4cm ，则线段c 长………（ ） A ．18cm ； B ．5cm ； C ．6cm ； D ．±6cm ； 3. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB =4，那么AP 的长是………………（ ） A ．252-； B ．25-； C ．251-； D ．52-； 4. （2015?荆州）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ） A ．∠ABP =∠C ； B ．∠APB =∠AB C ； C ．AP AB AB AC =； D ．AB AC BP CB =； 5. （2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是………（ ） A ．1：16； B ．1：4； C ．1：6； D ．1：2； 6. （2015?恩施州）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ：EA =3：4，EF =3，则CD 的长为……（ ）A ．4； B ．7； C ．3； D ．12； 8. 如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB =9，BD =3，则CF 等于（ ） A ．1； B ．2； C ．3； D ．4； 第4题图 第8题图 第12题第10题第6题图 第7题图

图形的相似专题练习含答案解析

图形的相似 1．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN 等于（） A．B．C．D． 2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（） A．点P B．点O C．点M D．点N 3．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2 B．3 C．6 D．54 4．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 5．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：PQ：QR． 6．计算：|3﹣|+（）0+（cos230°）2﹣4sin60°． 7．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣． 8．计算：|﹣|﹣+（π﹣4）0﹣sin30°． 9．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈） 10．在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈，≈．） 12．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

图形的相似经典测试题及答案解析

图形的相似经典测试题及答案解析 一、选择题 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝AD?BD C．BC2＝BD?AB D．CD?AD＝AC?BC 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决． 【详解】 解：如图， ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴由射影定理得：AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB， CD2＝AD?BD； ∴CD BC AD AC ； ∴CD?AC＝AD?BC， ∴A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 【点睛】 该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答． 2．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF?DF．其中正确的是（） A．①②④B．①③④C．②③④D．①③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断．

③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断． ④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC 平分∠DCB ， ∴∠ECB= 1 2 ∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB=BC ， ∵AB=2BC ， ∴EA=EB=EC ， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC ，EA=EB ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO ⊥AC ，故①正确， ∵OE ∥BC ， ∴△OEF ∽△BCF ， ∴ 1 2 OE OF BC FB == ， ∴OF= 1 3 OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误， 设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(7 2)a a +， ∴7a ， ∴AC ：3a 7217，故③正确， ∵OF= 13OB=7 6 a ，

完整版相似图形测试题及答案

《相似图形》水平测试二 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米. 2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________ 3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为 9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周 长是 （如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石, 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 4?两个相似三角形面积比是 5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6?厨房角柜的台面是三角形 7?顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，如图 黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________ 2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ . 9?如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC (: 10.如图4，在△ ABC和厶EBD中 EB 之差为10cm，则△ ABC的周长是_________ 二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1 .在下列说法中，正确的是（） A .两个钝角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似 BD ED 3 2.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°, Z C 120°，则/ A ( )

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

相似三角形基本图形及练习题-绝对经典

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A D B D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容，应用广泛，可以证明线段的比例式；也可证明线段相等、平行、垂直等；还可计算线段的长、比值，图形面积及比值。 而识别（或构造）A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1．A 字型及变形 △ABC 中 ， AD=2，BD=3，AE=1 （1）如图1，若DE ∥BC ， 求CE 的长 （2）如图2，若∠ADE=∠ACB ， 求CE 的长 2. X 字型及变形 （1）如图1，AB ∥CD ，求证：AO ：DO=BO ：CO （2）如图2，若∠A=∠C ，求证：AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 （1）如右图，在△ABC 中， AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ，当∠ACD =∠B 时，说明△CAD 与△ABC 相似。 说明：由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子三角形” （2）如图， Rt △ABC 中 ，CD ⊥AB, 求证：AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图，若∠ADE=∠B ，∠BAD=∠CAE ，说明△ADE 与△ABC 相似 练习题 GED ：S △ 1、如图1，在△ABC 中，中线BE 、CD 相交于点G ，则BC DE = ；S △ GBC = ； 2、如图2，在△ABC 中， ∠B=∠AED ，AB=5，AD=3，CE=6，则AE= ； 3、如图3，△ABC 中，M 是AB 的中点，N 在BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ，则△ ∽△ ， 相似比为 ，NC BN = ； 4、如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ADE ：S △BCE =4：9，则S △ABD ：S △ABC = ； 5、如图5，在△ABC 中，BC=12cm ，点D 、F 是AB 的三等分点，点E 、G 是AC 的三等分点，则DE+FG+BC= ； 二、选择题 6、如图，在△ABC 中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（ ） A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点， AD BD =CE AE =3， 且∠AED=∠B ，则△AED 与△ABC 的面积比是（ ） A 、1：2 B 、1：3 C 、1：4 D 、4：9 8、已知，如图， 在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=5，BD=3，求S △ADE ：S △ABC 的值。 9、如图，已知在△ABC 中，CD=CE ，∠A=∠ECB ，试说明CD 2 =AD ·BE 。 一、运用新知，解决问题 1、已知两个三角形相似，请完成下列表格 2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点 F.若AD ＝3，AB ＝5，求： （1）AG AF ； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练，巩固新知 1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长是 。 3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2 ，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？ 相似比 2 周长比 面积比 10000 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E F A B C D E

《图形的相似》单元测试卷(含答案)

第六章《图形的相似》单元测试卷 一、选择题： 1.（2015?东营）若 3 4 y x =，则 x y x + 的值为……………………………………………（）A．1； B ． 4 7 ； C ． 5 4 ； D． 7 4 ； 2. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长………（） A．18cm； B．5cm； C．6cm； D．±6cm； 3. 已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是………………（） A．252 -；B．25 -； C．251 -； D．52 -； 4. （2015?荆州）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（） A．∠ABP=∠C；B．∠APB=∠ABC；C． AP AB AB AC =； D． AB AC BP CB =； 5. （2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是………（） A．1：16； B．1：4； C．1：6； D．1：2； 6. （2015?恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为…… （）A．4； B．7； C．3； D．12； 8. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（） A．1； B．2； C．3； D．4； 10.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着 A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为……（）A．2； B．或； C．或； D．2或或； 二、填空题：11. 如果在比例尺为1：1?000?000的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是? 千米． 第4题图 第8题图第12题图 第10题图 第6题图第7题图

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B 卷（附答案详解） 1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，则AE AC =（ ） A ．12 B ．13 C ．23 D ．14 2．为测量被池塘相隔的两棵树A ，B 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树A 沿着垂直于AB 的方向走到E ，再从E 沿着垂直于AE 的方向走到F ，C 为AE 上一点，其中3位同学分别测得三组数据：()1AC ， ()2ACB CD ∠，ACB ∠，()3ADB EF ∠，DE ，AD ，其中能根据所测数据求得A ，B 两树距离的有（ ） A ．0组 B ．一组 C ．二组 D ．三组 3．如图，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误的是 ( ) A ．AD AE D B E C = B ．A D D E DB BC = C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC = 4．如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点 F ，则DF ：FB 等于 （ ）

5．下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；⑤两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81．”中，正确的个数有（）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F， S△AEF=3，则S△FCD为（） A．6 B．9 C．12 D．27 7．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16 8．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（） A．全等B．相似C．既不全等与也不相似D．无法确定 9．如图，小正方形的边长均为1，则下面4个阴影部分三角形中，能与△EFG相似的是（） A．B．C． D． 10．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____． 11．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________. 12．如果2x＝5y，则x y ＝____， x y y + ＝____． 13．若，则=________． 14．如图，已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且4 AB=， 3 DE CE =+，则CD的长为________． 15．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．

图形的相似及经典模型

图形的相似 复习目标： （1）认识物体和图形的相似，了解相似图形的概念； （2）了解线段的比、成比例的线段概念； （3）能够判定两个三角形相似，并能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；复习重难点： （1）平行线分线段成比例的概念与应用； （2）相似三角形的判定与应用。 知识点一成比例线段 1?在比例尺为1:1000000的地图上，量得A与B两个城市的距离为17.5cm，则实际两个城市的距离为____________________ km。 2.下列说法中正确的有（）。 ①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数； ②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比； ③两条线段的比与所采用的长度单位无关； ④两条线段的比有顺序，旦与-不同，它们互为倒数。 b a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果x y 2那么- 。 y 3’y a c 1,则 a c 4.已知 b d 3 b d …a c e 」 5若一kb d f 0 ,且a c e 3 b d f，那么k= b d f b c a cab 6.- k ,则k= 。 a b c 7.已知a,d,b,c依次成比例线段，其中a=3cm,b=4cm,c=6cm,则d= ________ 8.若a=3,b=2,且b是a和c的比例中项，那么c= _________ 。 9. ________________________________________________ 已知线段a,b,c，其中c是a 和b的比例中项，贝U c= ___________________________________ 10.已知a—,求证ab cd是a2 c2和b2 d2的比例中项。 b d

图形的相似单元测试题及答案

图形的相似单元测试题 班级 姓名 学号 一、填空题（每小题3分,共24分） 1.如果四条线段m, n, x, y 成比例,若m=2 , n=8 , y=20 .则线段x 的长是__________. 2.边长为12cm 的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为________的_______三角形. 3.已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 , DE ＝8 , 则:ABC DEF S S ??＝________. 4.已知三个数2,2,请你再添一个数,写出一个比例式________. 5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与 △ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条. 6.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最 自然得体,若舞台AB 长为20cm,试计算主持人应走到离A 点 至少____________________m 处.(结果精确到0.1m) 7.一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长 是36米.则这个建筑的高度是_________. 8.如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为________. 二、选择题（每小题4分,共40分） 1.若果mn ab =,则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m b a n = 2.已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( ) A.AD AE AB AC = B.AE AD BC BD = C.DE AE BC AB = D.DE AD BC DB = 3.已知正五边形ABCDE 与正五边形'''''A B C D E 的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C.1:22 4.如图,两个位似图形△ABO 和△' ''C B A ，

天津中考数学二轮 相似 专项培优 易错 难题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由； （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形， 在中， 分别是的中点， （2）解：如图1，过点作于，

（舍）或秒 （3）解：四边形为矩形时,如图所示： 解得： （4）解：当点在上时，如图2，

当点在上时，如图3， 时，如图4， 时，如图5， 综上所述，或或或秒时，是等腰三角形． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。 （3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

图形的相似及经典模型

图形的相似 知识点一 成比例线段 1.在比例尺为1:1000000的地图上，量得A 与B 两个城市的距离为17.5cm ，则实际两个城市的距离为 km 。 2.下列说法中正确的有（ ）。 ①两条线段的比是两条线段长度之比，比值是一个正数； ②两条线段的长度比是“同一单位下”的长度比； ③两条线段的比与所采用的长度单位无关； ④两条线段的比有顺序， a b a b 与不同，它们互为倒数。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如果 ==-y ,32x y y x 那么 。 4.已知 =++==d b c a d c b a 则,31 。 5.若 ()()f d b e c a f d b k f e d c b a ++=++≠++===3,0且，那么k= 。 6. k c b a b c a a c b =+=+=+，则k= 。 7.已知a,d,b,c 依次成比例线段，其中a=3cm,b=4cm,c=6cm,则d= 。 8.若a=3,b=2,且b 是a 和c 的比例中项，那么c= 。 9.已知线段a,b,c ，其中c 是a 和b 的比例中项，则c= 。 10.已知 的比例中项。 和是求证2222,d b c a cd ab d c b a +++= 知识点二 平行线分线段成比例 11.（1）如图，AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）。 A ． = B ． = C ． = D ． =

（2）如图，AB ∥CD ∥EF ，若 ,4,3 2 ==BD CE AC 则DF= 。 （3）如图，AB ∥CD ∥EF ，若AC=4，CE=6，BD=3,则BF= 。 12.（1）如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ） A ． = B ． = C ． = D ． = （2）如图，已知AB ∥CD ∥EF ，若 ==BE BC BF AD ,23 。 13.如图，四条平行直线l 1，l 2，l 3，l 4被直线l 5，l 6所截，AB ：BC ：CD=1：2：3， 若FG=3，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）。 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 14.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若 =，则 AC AE =（ ） A ． B ． C ． D ． 15.如图所示，△ABC 中若DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 16.如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC ∥PQ ，AB ：AP=2：5，AQ=20cm ，则CQ 的长是（ ） A ．8cm B ．12cm C ．30cm D ．50cm 17.如图，BD 、CE 相交于点A ，下列条件中，能推得DE ∥BC 的条件是（ ） A ．AE ：EC=AD ：D B B ．AD ：AB=DE ：BC C ．A D ：DE=AB ：BC D ．BD ：AB=AC ：EC 18.如图，AC ∥BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作EF ∥BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ） A ．= B ． = C ． + =1 D ． =

2019年中考数学真专题13 图形的相似-分类汇编

专题13 图形的相似 1．（2019?常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 2．（2019?兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BC B'C' = A．2 B．4 3 C．3 D． 16 9 3．（2019?安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为 A．3.6 B．4 C．4.8 D．5 4．（2019?杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则 A．AD AN AN AE =B． BD MN MN CE = C．DN NE BM MC =D． DN NE MC BM = 5．（2019?连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马” 应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似 A．①处B．②处C．③处D．④处

6．（2019?重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2019?赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2019?凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC= A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3 9．（2019?常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是 A．20 B．22 C．24 D．26 10．（2019?玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有

相似三角形的综合应用(培优提高)

相似三角形的应用 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 【知识回顾】 一、相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等． （2）相似三角形的周长比等于相似比． （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．． ． （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比． 二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等． 【典型例题】 例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ， 高AD=80mm ， 要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上， （1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？ （2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？ 【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？ 例2：阅读以下文字并解答问题： 在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米． 小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ． （1）在横线上直接填写甲树的高度为 米． （2）求出乙树的高度（画出示意图）． （3）请选择丙树的高度为（ ） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米 （4）你能计算出丁树的高度吗？试试看． 【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度． 图1 图2 图3 图4

数学之美——黄金分割图形相似汇总

数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。 另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。证明方法为： 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程：2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.

黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多