第七讲 反比例函数与一次函数
第七讲 反比例函数与一次函数
一、知识梳理
一次函数的图象和性质
1．一次函数的意义及其图象和性质
⑴．一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量〕特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数．
⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．
⑶．一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．
⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系． ①k ＞0,b ＞0,直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②k ＞0,b ＜0,直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③k ＞0,b ＞0,直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④k ＜0,b ＜0直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 2．一次函数表达式的求法
反比例函数：
1、反比例函数 如果x
k
y
(k 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的反比例函数．
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式：
①x
k
y =
（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）；
⑸函数x k y =（0k ≠）与y
k
x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反
比例函数。
3、反比例函数的图象与性质
.①当k ＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而减小． ②当k ＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y 随x 的增大而增大． ③反比例函数图象关于直线y ＝±x 对称，关于原点对称． 4、k 的两种求法
①若点(x 0，y 0)在双曲线x
k
y =上，则k ＝x 0y 0． ②k 的几何意义： 若双曲线x k y =
上任一点A (x ，y )，AB ⊥x 轴于B ，则S △AOB ||||2
121y x AB OB ?=?=.||21
k =
5、正比例函数和反比例函数
正比例函数和反比例函数的交点问题：
若正比例函数y ＝k 1x (k 1≠0)，反比例函数)0(22
=/=k x k
y ，则
当k 1k 2＜0时，两函数图象无交点；
当k 1k 2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为).,(),,(
211
22112k k k k
k k k k --由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．
6、对于双曲线上的点A 、B ，有两种三角形的面积(S △AOB )要会求(会表示)，如图所示．
二、考点精讲
考点一：反比例函数定义
解题技巧：反比例函数的解析式以,x
k
y =
,k xy =)0(1≠=-k kx y 3种形式出现，在不同的场合使用 1、已知2
2)1(--=m x
m y 是反比例函数，则m ＝
考点二：反比例函数的图像性质
解题技巧：①明白双曲线所在象限与k 的大小关系；②图像上升与下降的含义，明白同增同减的意义；③双曲线的中心对称性，与正比例函数相交交点的含义；
1、矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
2、当n 取什么值时，1
22
)2(-++=n n x n n y 是反比例函数？它的图像在第几象限内？在每个象限内，y 随x
增大而增大还是减小？ 3、若函数的图象在其象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
考点三：知横比纵，知纵比横，函数值大小的比较
解题技巧：代入求解法，推理说明法，数形结合法，分类讨论法 1、已知点A （2，y 1），B （1，y 2）都在反比例函数x
y 1
=
的图象上，那么1y 2y ．
x
m y 2
+=
y x m 2->m 2-
m
2、已知点A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝
x
4
的图像上，则（）
A．y1 考点四：面积问题 解题技巧：明白反比例函数图像中哪些图形的面积是, 2 1 │ │k,│ │k, 2│ │k 1、已知如图,A是反比例函数的图像上的一点,AB⊥x轴于点B,且△ABO的面积是3, 则k的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 2.如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= x m 的图象的两 个交点，直线AB与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC的面积； (3)求不等式kx+b- x m <0的解集(直接写出答案)． 三、实战演练 1．若正比例函数x k y 1 =的图象与反比例函数 x k y2 =的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（3 2,3），则k1k2=____________． x k y = 2、已知反比例函数k y x = 的图象与直线y =2x 和y =x +1的图象过同一点，则k = ． 3、如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y= 2x 的图象，则关于x 的方程kx+b=2x 的解为( ) A ．x l =1，x 2= 2 ； B ．x l = -2，x 2= -1 ； C ．x l =1，x 2= -2 D ．x l =2，x 2= -1 4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）． A ．x ＜－1 B ．x ＞2 C ．－1＜x ＜0，或x ＞2 D ．x ＜－1，或0＜x ＜2 5、已知120k k <<，则函数1y k x =和2 k y x = 的图象大致是（ ） 6、.已知关于x 的一次函数y ＝－2x ＋m 和反比例函数x n y 1 +=的图象都经过A (－2，1)，则m ＝__，n ＝___． 7、.直线y ＝2x 与双曲线x y 8 = 有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________． 8、已知y ＝(a －1)x a 是反比例函数，则它的图象在( )． (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限 9、观察函数x y 2 -=的图象，当x ＝2时，y ＝________；当x ＜2时，y 的取值范围是________； 当y ≥－1时，x 的取值范围是________． 10、.函数x y 2 =在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y ＝－x ＋1 沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与函数x y 2 =的图象的交点共有________个． 11、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y =的图象相交于A 、B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． x x x x （D ） 第4题 四、聚焦中考 1、（2009年）1、如图，已知反比例函数y ＝ m x 的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ． (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 2、（本题满分9分）（2008年）如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1 (1)m y m x += ≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ． ⑴求a 的值及这两个函数的解析式； ⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围． 3．（本题满分8分）（2010年） 已知点P （1，2）在反比例函数y =x k (0≠k )的图象上． （1）当x 2-=时，求y 的值； （2）当1＜x ＜4时，求y 的取值范围． (,3)P a O x y 4、（2011年）如图所示，反比例函数y= x 4 的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交于点A （4，m ）． （1）求m 的值及一次函数的解析式； （2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，求线段BC 的长． 5、已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10，tan ∠DOB ＝ 3 1 ． （1）求反比例函数的解析式： （2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于 2 S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由． 中考数学函数之一次函数和反比例函数综 合问题压轴题专题Revised on November 25, 2020 《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题 函数之一次函数和反比例函数综合问题 1.（2014年福建泉州14分）如图，直线y =﹣x +3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′； ①求△A ′BC 的周长和sin ∠BA ′C 的值； ②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC = 1m ． 2.（2014年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =4 3． （1）求点A ，C 的坐标； （2）若反比例函数y = k x 的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2014年江苏淮安12分）如图，点A （1，6）和点M （m ，n ）都在反比例函数k y x =（x ＞0）的图象上， （1）k 的值为 ； （2）当m =3，求直线AM 的解析式； （3）当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由． 4.（2014年山东枣庄10分）如图，一次函数y =ax +b 与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，2），点B 坐标为（﹣4，n ），OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为1 3 ，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴 的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、B D ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD 的面积． 5. （2014年四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1 k y x = （x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积； （3）请结合图象直接写出不等式1 2k k x b >0x +- 的解集． 【例1】 两个反比例函数1k y x = 和()2120k y k k x =>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ， 交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k y x =的图象于点B ． ⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求 DB BP 的值； 【例2】 如图，点A 、B 在反比例函数k y x = (0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ?的面积为2． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ?的面积． 【例3】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图 所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图 象与AC 边交于点E ． k 2x （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】 如图，点()1A m m +， ，()31B m m +-，都在反比例函数k y x =的图象上． （1）求m k ，的值； （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A B M N ，，，为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． y x O B A 【例5】 如图，已知反比例函数12 y x = 的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ， ．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。 反比例函数与一次函数综合经典例题解析 在历年中考试题中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅 能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以以下典型例题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1. 已知函数m x y =与x n y =在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. 0n ,0m >> B. 0n ,0m <> C. 0n ,0m >< D. 0n ,0m << 分析：由图知，一次函数m x y =中，y 随x 的增大而增大，所以0m >；反比例函数x n y = 在第二、四象限，所以0n <。观察各选项知，应选B 。 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x k y ≠= 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 图2 分析：本题可采用排除法。由选项A 、B 的一次函数图象知，0k >-即0k <，则一次函数k kx y +-=图象与y 轴交点应在y 轴负半轴，而选项A 、B 都不符合要求，故都排 除；由选项D 的一次图象知，0k <-即0k >，则反比例函数)0k (x k y ≠= 图象应在第一、三象限，而选项D 不符合要求，故也排除；所以本题应选C 。 评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式 例3.如图3，直线b x k y 1+=与双曲线x k y 2 = 只有一个交点A （1，2），且与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，AD 垂直平分OB ，垂足为D ，求直线与双曲线的解析式。 解析：因为双曲线x k y 2 = 过点A （1，2）， 所以2k ,1 k 222 == 得双曲线的解析式为x 2y = 。 因为AD 垂直平分OB ，A 点的坐标为（1，2）。所以B 点的坐标为（2，0）。 因为b x k y 1+=过点A （1，2）和B （2，0）， 所以???=+=+0b k 22b k 11 解得? ??=-=4b 2k 1 所以直线的解析式为4x 2y +-= 2019-2020年中考数学：反比例函数与一次函数综合题（含答案） 针对演练 1. 如图，一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)与反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象有公共点A (1，2)，直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B ，C ，连接AC . (1)求k 和m 的值； (2)求点B 的坐标； (3)求△ABC 的面积． 第1题图 2. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式； (2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第2题图 3. 如图，反比例函数 2 y x =的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于点 A、B，点A、B的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D. (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数 2 y x =，当y＜－1时，写出x的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第3题图 4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数， k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝n x (n 为常数且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求两函数图象的另一个交点坐标； (3)直接写出不等式：kx ＋b ≤n x 的解集． 第4题图 中考数学复习 ——反比例函数与一次函数综合 1．若正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x k y 2 =的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3），则k 1k 2=____________． 2、已知反比例函数k y x = 的图象与直线y =2x 和y =x +1的图象过同一点，则k = ． 3、如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x 的图象，则关于x 的方程kx+b=2 x 的 解为( ) A ．x l =1，x 2= 2 ； B ．x l = -2，x 2= -1 ； C ．x l =1，x 2= -2 D ．x l =2，x 2= -1 4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）． A ．x ＜－1 B ．x ＞2 C ．－1＜x ＜0，或x ＞2 D ．x ＜－1，或0＜x ＜2 5、已知120k k <<，则函数1y k x =和2 k y x = 的图象大致是（ ） 6、.已知关于x 的一次函数y ＝－2x ＋m 和反比例函数x n y 1 +=的图象都经过A (－2，1)，则m ＝__，n ＝___． 7、.直线y ＝2x 与双曲线x y 8 = 有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________． 8、已知y ＝(a －1)x a 是反比例函数，则它的图象在( )． (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限 9、观察函数x y 2 -=的图象，当x ＝2时，y ＝________；当x ＜2时，y 的取值范围是________； 当y ≥－1时，x 的取值范围是________． 10、.函数x y 2 = 在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y ＝－x ＋1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与函数x y 2 = 的图象的交点共有________个． 11、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数x m y = 的图象相交于A 、B 两点， (1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围． y x O y x O y x O y x O （A ） （B （C ） （D ） A B O x y 第4题 2 1 2 3 －3 －1 －2 1 3 －3 －1 －2 第3题 一次函数、反比例函数的图象和性质一、选择题 1．在反比例函数y=2 x 的图象上的一个点的坐标是（） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，1 2 ） D．（ 1 2 ，2） 2．函数y=（a-1）x a是反比例函数，则此函数图象位于（） A．第一、三象限； B．第二、四象限； C．第一、四象限； D．第二、三象限3．已知正比例函数y=（3k-1）x，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（） A．k<0 B．k>0 C．k<1 3 D．k> 1 3 4．直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在坐标轴上，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有（）个 A．4 B．5 C．7 D．8 5．在函数y=k x （k>0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1 一次函数与反比例函数综合题专题 1、如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3， 点C的坐标为（2，2）． （1）求该双曲线的解析式； （2）求△OFA的面积． 2、如图，已知双曲线y=经过点D（6，1），点C是 双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D 作DB⊥y轴，垂足分别为A，B连接AB，BC （1）求k的值； （2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式； （3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由． x y A O P B C D 3、如图，已知反比例函数x k y =的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线y =ax +b 的解析式； ⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长． 4、如图，一次函数3y kx =+的图象与反比例函数m y x =（x>0）的图象交于点P ，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、点D ，且S △DBP =27，12 OC CA =. （1）求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ， BC⊥OB，过点A的双曲线y= k x 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E． （1）填空：双曲线的另一支在第________ 象限，k的取值范围是___________ （2）若点C的坐标为（2，2），当点E在什么位置时，阴影部分的面积S最小？ （3）若 1 2 OD OC =，S△OAC=2，求双曲线的解析式． 6、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． （1）求边AB的长； （2）求反比例函数的解析式和n的值； （3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长． 7、如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0）． 初三数学专题打通课出题人：刘争专题打通课一次函数和反比例函数综合 【考点一】一次函数与反比例函数的图象与性质 1、当k＞0时,反比例函数 k y x =和一次函数2 y kx =+的图象大致是()） 3 或 B. 或 D.或 第5题图第7题图 【考点二】利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式 【例1】在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图形与反比例函数y＝ k x (k≠0)的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝ 4 3 ，点B的坐标为(m，－2)． (1)求△AHO的周长； (2)求该反比例函数和一次函数的解析式． 【变式训练】如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ? ????12，n . (1)求这两个函数解析式； (2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝k x 的图象有且只有一个交点，求m 的值． 【考点三】与面积有关的问题 【例2】如图，反比例函数m y x = 的图象与一次函数y kx b =+的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2,6），点B 的坐标为（n ，1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式。 （2）点E 为y 轴上的一个动点，若5AEB S =，求点E 的坐标 【变式训练】 1.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ? ????12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C . (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积． 3、如图,分别位于反比例函数1y x =, k y x =在第一象限图象上的两点A 、B,与原点O 在同1 3 = (1)求反比例函数k y x = 的表达式; (2)过点A 作x 轴的平行线交k y x = 的图象于点C,连接BC,求△ABC 的面积. 中考专题复习 一次函数与反比例函数专题 真题再现： 1．(2008年苏州?本题8分)如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点．建立如图所示的坐标系，x 轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线4 y x = 上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线y x =上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变， A 、 B 、 C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示)． (1)发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为 A ( ， )、 B ( ， )和 C ( ， )； (2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船 的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4， 问教练船是否最先赶到?请说明理由。 2．(2010年苏州?本题8分) 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数k y x = (x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值； (2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′B C ．设线段MC ′、NA ′分别与函数k y x = (x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式． 3．（2014年?苏州?本题7分）如图，已知函数y ＝－ 1 2 x ＋b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2．在x 轴上有一点P (a ，0)（其中a >2），过点P 作x 轴垂线，分别交函数y ＝－ 1 2 x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D ． (1)求点A 的坐标； (2)若OB ＝CD ，求a 的值． 4．（2014年?苏州? 8分）如图，已知函数y ＝ k x （x >0）的图象经过点A ，B ，点A 的坐标为(1，2)．过点A 作AC ∥y 轴，AC ＝1（点C 位于点A 的下方），过点C 作CD ∥x 轴，与函数的图象交于点D ，过点B 作 如何比较一次函数与反比例函数的大小一次函数和反比例函数是初中数学教学的重要内容，也是学生应掌握的最基础，最核心的内容。它们之间的大小关系是一次函数和反比例函数的综合应用，遇到这样的问题时同学们不知从何下手，易出现错误。下面我们就结合一条例题的讲解，介绍如何轻松的解决这样的问题。 例：如图,一次函数y 1=x－1与反比例函数y 2 = x 2 的图像交于点A(2 ，1)； B(－1，－2)，则使y 1>y 2 的x的取值范围是（） A. x>2 B. x>2或－1 点坐标。如本题两函数的交点坐标分别是A(2，1)和B(－1，－2)。 3、画三线：根据两条函数的交点画出三条垂x直于轴的直线。如本题的三条直线分别为x=－1；x=0(即y轴)和x=2。 4、分四域：以三线为界可将直角平面划分为四个区域。如本题可分为 ①x＜－1；②－1＜x＜0；③0＜x＜2；④x＞2。 5、定大小：根据“上大下小”原则。在“4”中我们已经得到4个区域，下面我们就根据分的区域比较大小：①x＜－1时，一次函数图像在反比例函数图像的 下面，即y 1＜y 2 ；②－1＜x＜0时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即 y 1＞y 2 ；③0＜x＜2时，一次函数图像在反比例函数图像的下面，即y 1 ＜y 2 ； ④x＞2时，一次函数图像在反比例函数图像的上面，即y 1＞y 2 。 (-1 -2) (2 1) (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 (-1 -2) (2 1) x=-1 x=2 x=0 区域①区 域 ② 区 域 ③ 区 域 ④ 函数综合复习 例题讲解： 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．设b>a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一组a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（） 5．无论m为何实数，直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在（） （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 6．要得到y=-3 2 x-4的图像，可把直线y=- 3 2 x（）． （A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位 （C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位 7．若直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）． （A）k<1 3 （B） 1 3 一次函数与反比例函数综合题训练 1.如图，直线y =k 1x +b 与双曲线y =2 k x 相交于A （1，2）、B （m ，﹣1）两点． （1）求直线和双曲线的解析式； （2）若A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）为双曲线上的三点，且x 1＜x 2＜0＜x 3，请直接写出y 1，y 2，y 3的大小关系式； （3）观察图象，请直接写出不等式k 1x +b ＞ 2 k x 的解集． 2.如图，在平面直角坐标系xoy 中，函数()4 y= x 0x >的图象与一次函数y =kx －k 的图象 交点为A （m ，2）.（1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数y =kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点， 且满足△PAB 的面积是4，直接写出点P 的坐标． 3．平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A （﹣4，0），B （2，0），C （3，3）反比例函数y= m x 的图象经过点C ． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将平行四边形ABCD 沿x 轴翻折得到平行四边形AD ′C ′B ，请你通过计算说明点D ′在双曲线上； （3）请你画出△AD ′C ，并求出它的面积． 4.如图，一次函数y 1=﹣x ﹣1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数2 k y x = 图象的一个交点为M （﹣2，m ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B 到直线OM 的距离． 5.如图，一次函数y =－2x +b （b 为常数）的图象与反比例函数k y=x （k 为常数，且k ≠0）的图象交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1-，4)． （1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式； （2）求点B 的坐标． 6.如图，直线y =2x +2与y 轴交于A 点，与反比例函数k y= x （x ＞0）的图象交于点M ，过M 作MH ⊥x 轴于点H ，且tan ∠AHO =2．（1）求k 的值；（2）点N （a ，1）是反比例函数k y=x （x ＞0）图象上的点，在x 轴上是否存有点P ，使得PM +PN 最小？若存有，求出点P 的坐标；若不存有，请说明理由． 7.如图在平面直角坐标系xoy 中，一次函数y x =-的图象与反比例函数k y x = 图象交于A 、B 两点. ①根据图像求k 的值; ②点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直 角三角形，试写出点P 所有可能的坐标. y O A B -1 一次函数与反比例函数 —专项提升 1. 如图1，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =（0x <）的图象交于A （-3，2）， B （n ，4）两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C （-1，0）是x 轴上一点，求△ABC 的面积． 2、如图2，直线y 1=kx +2与反比例函数23 y x -=（x <0）相交于点A ，且当x <-1时，y 1>y 2，当-1 3、如图，直线1 32 y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B . (1)求点A 、B 的坐标 (2)若点P 在直线1 32 y x = +上，且横坐标为-2， 求过点P 的反比例函数图象的解析式. 4、如图9，在平面直角坐标系中，双曲线y =m x 和直线y =kx +b 交于A ，B 两点，点A 的坐标 为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC =6BC ． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）直接写出不等式m x ＞kx +b 的解集． 图9 图10 x y A O B 5、如图10，一次函数y=x+1的图象与反比例函数x k y =（k 为常数，且0k ）的图象都经过点A （m ，2）． （1）求点A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）设一次函数y=x+1的图象与x 轴交于点B ，若点P 是x 轴上一点，且满足△ABP 的面积是2，请直接写出点P 的坐标． 6、正比例函数y ＝12x 的图象与反比例函数y ＝k x （k ≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知△OAM 的面积为1. （1）求反比例函数的解析式； （2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小. O M y 图11 A x 专题复习：反比例函数与一次函数 谷城县茨河镇中心学校文有书 学习目标：1.进一步理解反比例函数中k的几何意义，并能熟练计算图形的面积；能根据图象比较函数值的大小. 2.通过数形结合、转化的思想方法总结解题的一般思路. 教学重点：面积的计算方法及函数值的大小比较方法. 教学难点：利用转化的方法计算图形的面积. 教学过程： 一、诊断练习 已知直线与双曲线交于A、B两点. 1. 如图(1)若点，则点B的坐标为______，直线解析式______，双曲线解析式______ (1) (2) 2.如图(2)，过点A作AC⊥x轴垂足为C，若，则双曲线的解析式为_________ 二、反思归纳 1.正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称 2.反比例函数k的几何意义 三、合作探究 例：已知直线AB与双曲线交于A、B两点. (1)如图，点，点D在x轴上，若四边形OACD是菱形，求双曲线及直线CD的解析 式 求反比例函数解析式的关键：找到曲线上一点坐标. 求反比例函数解析式的方法： 1.利用k的几何意义求解 2.通过利用勾股定理、平移、全等、相似等方法求出点的坐标. (2)将直线AB向上平移后，若A，，求△OAB的面积 归纳：当坐标轴穿过所求图形时，宜用分割的方法求面积. 变式一：在上图中，BO的延长线交双曲线于点F，连接AF，求△OAF的面积 归纳：当所求图形在同一象限时，可用割补法求面积. 变式二：如图，若A，，分别过A、F两点向x轴作垂线，垂足分别为N、M.求四边形AFMN的面积. x x x x 归纳：合理转化图形，充分利用反比例函数k 的几何意义. 求反比例函数中图形面积的方法： 1.若所求图形面积是可直接求出的，则可以按照相应图形面积公式直接计算； 2.若所求图形面积是不可直接求出的，则采用割补法; 3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义. (3)直线AF ： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、F 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 归纳：根据函数图象比较大小的一般步骤：1.找交点2.分区域3.写范围 变式一：直线： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、B 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 变式二：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．已知当 时 当 时 ，求一次函数的解析式. 四、反思小结 1.知识上： 2.方法上： 3.思想上： 五、巩固练习 如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，与双曲线 分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. (1)分别求出直线AB 及双曲线的解析式； (2)求出△OCD 的面积； (3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时， . 六、课外作业 专题复习学案 x x x x 一次函数和反比例函数 【知识点1】概念和关系式 1、 一次函数一般式y=kx+b （k ≠0，b 为常数，） ，当b=0时，为y=kx （k ≠0，k 为常数）的正比例函数。 其他表达形式： ①斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0) ②两点式: 11121 2)()(tan y x x x x x y y b x b kx y +---=+=+=α （斜率：1 212tan x x y y k --= =α） ③截距式： 1=+b y a x 2、反比例函数关系式k y x =（k ≠0，k 为常数） ，其中x 和y 的值都不能取0 一次函数和反比例函数解析式的确定，解这类问题的一般方法是待定系数法。 【知识点2】：函数的图像和性质 1、 一次函数y=kx+b 的图象是经过点的（0，b ）和点（k b - ，0）的直线；（正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的直线） 2、反比例函数的性质和图像 【知识点4】图像的几何意义 1、 一次函数、正比例函数的图像都是一条直线 2、 平面直角坐标系中两直线的位置关系 （1）在坐标平面内，直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2的交点坐标为方程?? ?+=+=2 21 1b x k y b x k y 的解。 （2）在坐标平面内，若直线y = k 1x+b 1与直线y = k 2x+b 2中，k 1 = k 2且b 1≠b 2，则两直线平行。 （3）两点间距离公式：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） ()()221221y y x x -+- （4）点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离： 1 ) 1(2002 2 00++-= -++-= k b y kx k b y kx d （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 2、反比例函数k y x = （k ≠0）中的k 的几何意义 过双曲线k y x = （k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 | k |。 特点：图像是关于原点中心对称图形 反比例函数与一次函数典型大题 1.若反比例函数x k y = 与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ,2） (1)求反比例函数x k y = 的解析式； (2) 当反比例函数x k y = 的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的取值范围． 2.如图，已知直线x y 2-=经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数x k y =（0≠k ） 的图象上． （1）求a 的值；（2）直接写出点P ′的坐标；（3）求反比例函数的解析式． 3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1 tan 422 ABO OB OE ∠= ==，，． （1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB 的解析式． （第2题） x y O x y 2-= P P ' x k y = 1 1 4.已知一次函数2y x =+与反比例函数k y x =，其中一次函数2y x =+的图象经过点P (k ，5)． ①试确定反比例函数的表达式； ②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标 5.如图，已知反比例函数1 1k y x = （k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C .若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？ 6.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）。 ⑴求点D 的坐标； ⑵求经过点C 的反比例函数解析式. 1.若反比例函数x k y = 与一次函数42-=x y 的图象都经过点A （a ,2） (1)求反比例函数x k y =的解析式； (2) 当反比例函数x k y =的值大于一次函数42-=x y 的值时，求自变量x 的 取值范围． 2.如图，已知直线x y 2-=经过点P （2-，a ），点P 关于y 轴的对称点P ′在反比例函数x k y =（0≠k ）的图象上． （1）求a 的值； （2）直接写出点P ′的坐标； （3）求反比例函数的解析式． 3.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例 函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1 tan 422 ABO OB OE ∠= ==，，． （第19题） x y O x y 2-= P P ' x k y = 1 1 （1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB 的解析式． 4.已知一次函数2y x =+与反比例函数k y x = ，其中一次函数2y x =+的图象经过点P (k ，5)． ①试确定反比例函数的表达式； ②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标 5.如图，已知反比例函数1 1k y x = （k 1＞0）与一次函数2221(0)y k x k =+≠相交于A 、B 两点，AC ⊥x 轴于点C .若△OAC 的面积为1，且tan ∠AOC ＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式； （2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？ 6.如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）。 ⑴求点D 的坐标； ⑵求经过点C 的反比例函数解析式. 中考数学一次函数与反比例函数的综合运用复习 本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型. 例 (2014·成都)如图，一次函数y=kx+5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例 函数y=-8 x 的图象交于A(-2,b)，B 两点. (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线AB 向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值 . 【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A(-2,b)在y=-8 x 上， ∴-2b=-8，b=4.∴A(-2,4). ∵A(-2,4)在y=kx+5上， ∴k ＝12 ， ∴一次函数为y ＝1 2 x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y=1 2 x+5-m ，由题意，得 15. 82 y y x m x =-=+??? ?-???，整理得12x 2+(5-m)x+8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m)2-4×1 2 ×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数 的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0. 针对训练 1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数 y＝m x (x＞0)的图象相交于点B(2，1). (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>m x 的解集. 2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-2k x 的图象交于A、 B两点，点A的横坐标为2. (1)求k的值和点A的坐标； (2)判断点B的象限，并说明理由. 3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=n x 相交于A(-1， a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1. (1)求m、n的值； 1.已知直线1y k x =(10k ≠)和双曲线2 k y x =(20k ≠)的一个交点是(2-，5)，求它们的另一个交点坐标． 2.直线()0y ax a =>与双曲线3 y x =交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ． 3.已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式． 4.若一次函数3y x b =+和反比例函数3 b y x -=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6. 5.如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移9 2 个单位后，与双曲线()0k y x x = >交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2AO BC =，则k =_________． 6.已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数 m y x = (0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===， （1）点A 、B 、D 的坐标； （2） 求一此函数与反比例函数的解析式. 7.在平面直角坐标系Oxy中，直线y x =-绕点O顺时针旋转90?得到直线l．直线l与反 比例函数 k y x =的图像的一个交点为()3 A a，，试确定反比例函数的解析式． 8.在平面直角坐标系xOy中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例 函数 k y x =的图象的一个交点为()2 A a，，则k的值等于． 9.在平面直角坐标系xOy中，直线y x =-绕点O顺时针旋转90o的到直线l.直线l与反比例 函数 k y x =的图象的一个交点为()3 A a，，试确定反比例函数的解析式. 10.已知反比例函数 k y x =(0 k<)的图像经过点A (m)，过点A作AB⊥x轴于点B， 且AOB ? （1）求k和m的值． （2）若一次函数1 y ax =+的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求: AO AC 的值． 11.如图，反比例函数 k y x =的图像与一次函数y mx b =+的图像交于() 13 A，，()1 B n- ，两 点．中考数学函数之一次函数和反比例函数综合问题压轴题专题
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