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北京理工大学2005-2009级数学专业最优化方法期末试题A卷(07000203,MTH17085)

课程编号: 07000203 北京理工大学2007-2008学年第二学期

2005级数学专业最优化方法终考试卷(A 卷)

1.(20分)某化工厂有三种资源A 、B 、C ,生产三种产品甲、乙、丙,设甲、乙、丙的产量分别为x 1,x 2,x 3,其数学模型为:

⎪⎪⎩⎪⎪

⎧≥≤+≤+≤++++=0

,,)(420

4)(460

23)(4302.523max 32121313213

21x x x C x x B x x A x x x t s x x x z 资源限制资源限制资源限制 请回答如下问题:

(1)给出最优生产方案;

(2)假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍,问生产方案应否调整? (3)假定增加一种添加剂可显著提高产品质量,该添加剂的资源限制约束为:

1

2328003x

x x ++≤问最优解有何变化?

2.(12分)用Newton 法求解2221212min ()42f x x x x x =+-,初始点取为0(1,1)T x =,迭代一步。

3.(10分)用FR 共轭梯度法求解三个变量的函数()f x 的极小值,第一次迭代的搜索方向为0(1,1,2)T p =-,沿0p 做精确

线搜索,得1111123(,,)T x x x x =, 设

1111

12

()()

2,2f x f x x x ∂∂=-=-∂∂,求从1x 出发的搜索方向1p 。 4.(15分) 给定下面的BFGS 拟Newton 矩阵修正公式:1()()T T T

T k k k k k k k k T T T k k k k k k

s y s y s s H I H I y s y s y s +=--+,

其中11,k k k k k k s x x y g g ++=-=-

用对应的拟Newton 法求解:12

22121422)(min x x x x x x f -+-=,初始点取为0(0,0)T x =,0H I =。

5.(15分)写出问题

2123

1232

123min ()3..1

f x x x x s t x x x x x x =-+-++≤-++=

取得最优解的Kuhn-Tucker (K -T )必要条件,并通过K -T 条件求出问题K -T 点及相应Lagrange 乘子。 6(12分).求约束问题

1

22

1212min ..10,0

z x s t x x x x =- + ≤ ≥≥

在1(0,0)T x =及2(1,0)T x =处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合,并画图表示出来 7(8分)考察优化问题

min ()

..f x s t x D

∈,

设D 为凸集,()f x 为D 上凸函数,证明:()f x 在D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。

8(8分)设1min ()2

T T

f x x Ax b x c =++,其中A 为对称正定矩阵,*x 为()f x 的极小值点,又设0(*)x x ≠可表示

为0*x x p μ=+,其中1

R μ∈,p 是A 对应于特征值λ的特征向量,证明:若从0x 出发,沿最速下降方向做精确一维

搜索,则一步达到极小值点。

课程编号:07000203 北京理工大学2008-2009学年第一学期

2006级数学专业最优化方法终考试卷(A 卷)

1.(15分) 用单纯形法求解线性规划问题

12312

1

3123123min ()3..29

2

1,,0

f x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+≤-+=-+-≥≥