微专题26解析几何中的最值与范围问题(解析)
微专题26解析几何中的最值与范围问题
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题组一利用数形结合或三角换元等方法解决直线与圆的相关范围问题
1.(－∞，－2)∪(2，＋∞)∪{3，－3}解析：由题意知直线y ＝kx ＋2与半圆x 2＋y 2＝1(y ≥0)只有一个交点．结合如图所示的图形，易得k<－2或k>2或k ＝± 3.
2.3－2－67－43解析：如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2，0)为圆
心，以3为半径的圆．设y
x ＝k ，即y ＝kx ，即圆心(2，0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线
与圆相切，斜率取得最大、最小值．由
|2k －0|
k 2＋1
＝3，解得k 2＝3，所以k max ＝3；
设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|
2
＝3，即b ＝－2±6，故(y －x)min ＝－2－6；x 2＋y 2
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．
又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最小值为(2－3)2＝7－4 3.
另解：设x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α，所以y －x ＝3sin α－2－3cos α＝62∈[－6－2，6－2]，x 2＋y 2＝(2＋3cos α)2＋(3sin α)2＝7＋43cos α∈[7－43，7＋43]．
1.
4
3
解析：圆C ：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化为标准式(x －4)2＋y 2＝1.问题“若直线y ＝kx
－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点”可转化为“直线
y ＝kx －2到点(4，0)的距离小于等于2”，则根据点到直线距离公式有d ＝|4k －2|
1＋k
2
≤2，解得
0≤k ≤43，则k 的最大值为4
3
.
题组二构造函数模型解决点点(点线)距离的最值问题
1.
15
解析：设点P(m ，n)，n>0，则AP →＝(m ＋6，n)，FP →
＝(m －4，n)．由题意得
＋n 2
20
＝1，＋6）（m －4）＋n 2＝0，消去n 得2m 2＋9m －18＝0，解得m ＝3
2或m ＝－6，因为n>0，
所以m ＝32，所以n ＝53
2，即点P AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设
点M(t ，0)，则点M 到直线AP 的距离是|t ＋6|2，于是|t ＋6|
2＝|6－t|，又－6≤t ≤6，解得t ＝2，
所以M(2，0)．设椭圆上的点(x ，y)到点M 的距离d ，d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－5
9x 2
＋15，所以当x ＝92
时，d 取得最小值15.
1.
25
5
解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则PA 2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＋45.由|x|≥2，得当x ＝125时，PA 2有最小值为45，即PA 有最小值为25
5
.题组三根据条件构造不等关系求离心率的范围问题
1.
解析：由题意得，向量F 2B 1→与B 2A 2→的夹角为钝角，F 2B 1→
＝(－c ，－b)，
B 2A 2→
＝(a ，－b)，所以－ac ＋b 2<0，即a 2－ac －c 2<0，即e 2＋e －1>0，解得e>5－12或e<－5＋12.
因为0 5－1 2 1. 33，2 2 解析：因为|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，所以|PF 1→|·|PF 2→ |＝a 2，当且仅当|PF 1→|＝|PF 2→|＝a 时，等号成立，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以2e 2≤1≤3e 2，所以13≤e 2≤1 233≤e ≤2 2 .题组四构造函数模型解决与线段的定比分点及面积相关的范围或最值问题 1.解析：方法一：因为PF 2⊥x 轴，且点P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0，点Q(x 1，y 1)． 因为点P 在椭圆上， 所以c 2 a 2＋y 20 b 2＝1，解得 y 0＝b 2 a ，即点 因为F 1(－c ，0) ， 所以PF 1→ 2c F 1Q → ＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q → 2c ＝λ（x 1＋c ），－b 2 a ＝λy 1 ，1＝－λ＋2 λ c ，1＝－b 2 λa ， 所以－ λ＋2λ c 因为点Q 在椭圆上，所以e 2＋1λ2－1 λ2e 2＝1， 即(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0， 所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝4 1－e 2－3.因为e ∈12， 2 2， 所以14≤e 2≤12，即7 3≤λ≤5， 所以λ的取值范围为7 3，5 . 方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设点P(c ，y 0)，y 0＞0.因为点P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1， 解得y 0＝b 2 a ，即 因为F 1(－c ，0)， 故直线PF 1的方程为y ＝b 2 2ac (x ＋c)． ＝b 2 2ac （x ＋c ）， ＋y 2 b 2 ＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2 －4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为 设点Q(x 1，y 1)， 则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c 4c 2＋b 2. 因为PF 1→＝λF 1Q → ， 所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝4 1－e 2－3. 因为e ∈12， 22， 所以14≤e 2≤12，即7 3≤λ≤5， 所以λ的取值范围为7 3，5 . 1.解析：把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.① (1)Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，即4k 2－m 2＋1>0.② 因为直线l 与圆x 2＋(y －2)2＝1相切， 所以|m －2|k 2＋1 1，所以k 2＝m 2－4m ＋3.③ 把③代入②得3m 2－16m ＋13>0，解得m> 13 3 或m<1.(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意得点P(0，m)， 因为PB →＝2AP → ，所以2x 1＋x 2＝0.由①式得x 1＋x 2＝ －8km 4k 2＋1 ，所以x 1＝－(x 1＋x 2)＝8km 4k 2＋1. 又因为x 1是方程①的根， 所以(4k 2＋1)64k 2m 2（4k 2＋1）2＋64k 2m 2 4k 2 ＋1＋4m 2－4＝0，所以 m 2＝ 4k 2＋1 36k 2＋1 . 依题意得k ≠0，显然满足Δ＝(8km)2－4(4k 2＋1)·(4m 2－4)>0. 因为|x 1－x 2|＝|3x 1|＝|24km| 4k 2＋1， 所以S △AOB ＝1 2|x 1－x 2||m|＝12m 2|k|4k 2＋1＝12|k|36k 2＋1＝39|k|＋1 4|k| ≤1， 当且仅当9|k|＝ 14|k|，即k ＝±1 6 (符合题意)时，等号成立，所以当k ＝±1 6 时，△AOB 的面积取最大值为1. 冲刺强化训练(26) 1.(－12，0)解析：因为双曲线x 24＋y 2 k ＝1的离心率e ∈(1，2)，所以1<4－k 2 <2，解 得－12 2. 22 ，解析：因为椭圆上总存在点M 满足MF 1→·MF 2→ ＝0，所以以原点为圆心、半 焦距c 为半径的圆与椭圆总有交点，所以c ≥b ，得c 2≥a 2－c 2，所以a 2≤2c 2，即e ≥22 ，又e<1，故 2 2≤e<1.3.－ 74 解析：设M(3cos α，sin α)，所以P( 32cos α，1 2 sin α)，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，所以PF 1→＝(－2－32cos α，－12sin α)，PF 2→＝(2－32cos α，－12sin α)，所以PF 1→·PF 2→ ＝(－ 2－ 32cos α，－12sin α)·(2－32cos α，－12sin α)＝－2＋342α＋14sin 2α＝122α－74≥－7 4 ，故PF 1→·PF 2→的最小值为－74 . 4.62 解析：设椭圆上的点Q(x ，y)．由圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为(0，6)，半径为2， 得椭圆上的点Q(x ，y)到圆心(0，6)的距离为x 2＋（y －6）2＝10（1－y 2）＋（y －6）2＝ 52，所以P ，Q 两点间的最大距离是52＋2＝6 2. 5.(2－1，1)解析：设P(x ，y)，因为PQ ⊥l ，四边形PQFA 为平行四边形，所以PQ ＝x ＋a 2c ＝FA ＝a ＋c ，可得x ＝a ＋c －a 2 c ，椭圆上点P 的横坐标满足x ∈[－a ，a]，且P 、Q 、 F 、A 不在一条直线上，所以－a0且c －a 2c <0，化简得2＋e －1e >0， 即e 2＋2e －1>0，解得e<－1－2或e>2－1，因为椭圆的离心率e ∈(0，1)，所以椭圆的离 心率e 的取值范围是(2－1，1)． 6.95 解析：由题意，直线4x －3y －2＝0上至少存在一点A ，以该点为圆心，1为半 径的圆与圆C 有公共点，即AC min ＝1＋r.因为AC min 即为点C 到直线4x －3y －2＝0的距离，为145，所以r 的最小值是95 .7.(1，3] 解析：由于左右是对称的，不妨设P 在右支上(即x>0)，根据双曲线的焦半 径公式，有PF 1＝2PF 2等价于ex ＋a ＝2(ex －a)，得到ex ＝3a ，从而e ＝3a x ，又因为x ≥a ，故 e ≤3，所以1 8.6 解析：由x 24＋y 23 ＝1可得F(－1，0)．设P(x ，y)，－2≤x ≤2，则OP →·FP → ＝x 2＋x ＋y2＝x2＋x＋ ＝1 4 x2＋x＋3＝1 4 (x＋2)2＋2，当x＝2时，OP→·FP→取得最大值6. 9.－3解析：设Q的坐标为(x0，y0)，由OP→＝3OQ→得P(3x0，3y0)，所以3y0＝k(3x0－33)，即y0＝k(x0－3)，所以点Q在直线y＝k(x－3)上，又因为点Q在x2＋(y－1)2＝1 上，所以直线y＝k(x－3)与圆x2＋(y－1) 2＝1相交或相切，所以0≤ |1＋ 3k| k2＋ 1 ≤1，解得－ 3≤k≤0，所以k的最小值为－3. 10.解析：如图所示，很明显椭圆上短轴上两个顶点符合题意；根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一个点P满足△F1F2P为等腰三角形即可，则PF1＝F1F2＝2c，或PF2＝F1F2＝2c.当F1P＝2c时，则有 PF1>MF1(M是椭圆在短轴上的上边的顶点)，则MF1＝a，所以2c>a，所以e＝ c a >1 2，所以 1 2 >F2Q， 1>MF1， (Q 是椭圆在长轴上的右边的顶点)， －c， e<1 2， e> 1 3， e<1 2， 所以 1 3 2 .综上所得，椭圆C 的离心率的取值范围是( 1 3， 1 2 ) 11.解析：(1) ＝4， ＝ 2 2， ＝b2＋c2， ＝2， ＝2， 所以椭圆的方程为 x2 4＋ y2 2＝1， 圆的方程为x2＋y2＝4. 由题意得直线l的方程为y＝ 1 2 (x＋2)， ＝1 2（x＋2） ， 2＋2y2＝4， 得3x2＋4x－4＝0， 解得x A＝－2，x P＝ 2 3，所以点 所以AP＝ 45 3， 又因为原点O 到直线l 的距离d ＝2 5 ，所以AQ ＝2 4－45＝855 ， 所以AP AQ ＝453855 ＝56 . (2)若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP －1， 设直线l ：y ＝k(x ＋2)，2＋2y 2＝4，＝k （x ＋2）， 得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以－2＋x P ＝－8k 22k 2＋1，x P ＝2－4k 2 2k 2＋1 ， 所以点 所以AP 2 ＝16＋16k 2 （2k 2＋1）2， 即AP ＝4k 2＋1 2k 2＋1 ， 同理可得AQ ＝4 k 2＋1. 所以λ＝ 4k 2＋1 4k 2＋12k 2＋1 －1＝1－ 1k 2＋1 ，由题意知k 2>0，所以0<λ<1. 12.解析：(1)连结A 2P ，则A 2P ⊥A 1P ，且A 2P ＝a,又A 1A 2＝2a ，所以∠A 1A 2P ＝60°，所以∠POA 2＝60°， 所以直线OP 的方程为y ＝3x. (2)由(1)知，直线A 2P 的方程为y ＝－3(x －a)，直线A 1P 的方程为y ＝ 3 3 (x ＋a),＝－3（x －a ），＝3 3 （x ＋a ）， 解得x P ＝a 2 . 因为e ＝ 32，即c a ＝32，所以c 2＝34a 2，b 2＝14 a 2，故椭圆E 的方程为x 2a 2＋4y 2 a 2＝1. ＝ 3 3 （x ＋a ），＋4y 2 a 2 ＝1，解得x Q ＝－a 7 或x Q ＝－ a(舍去)， 所以PQ QA 1＝ a 2－－a 7 －（－a ）＝34.(3)不妨设OM 的方程为y ＝kx(k>0), kx ， ＋4y 2 a 2 ＝ 1，解得点 所以OB ＝a 1＋k 21＋4k 2 .用－1 k 代替上面的k ，得OC ＝a 1＋k 2 4＋k 2.同理可得，OM ＝2a 1＋k 2 ，ON ＝ 2ak 1＋k 2 .所以S 1·S 2＝1 4·OB·OC·OM·ON ＝a 4·k （1＋4k 2）（4＋k 2）. 因为 k （1＋4k 2）（4＋k 2） ＝ ≤15 ，当且仅当k ＝1时等号成立，所以S 1·S 2的最大值为a 4 5 .