《高级中学完整数学解题的思维策略》

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一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了， 也会给分。)

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根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 （大家以后会遇到很多你不会的题，也会遇到很多你会但 是做错了的但是又拿很少分的题，大家错了后又该怎么办呢，改错本的应用，改错本的 技巧，应该记下什么样的错题或者什么样的题，举例比如我高考前有一段时间发现我计 算老是出问题，因为计算老是丢分，而且还丢不少分，物理也是，，那该怎么办呢，，考 试卷子后面答案练习计算能力，不但数学计算能力提高，物理也提高，（物理比如说磁场 和能量那很多计算题，），一举两得，分析原因，是计算问题，还是粗心问题，还是基础 知识掌握不牢固，公式没记住，都要对每一道错题反思） 提出独特见解，检查思维过程，不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确，运算和推理精确无误。 五．数学思维的归纳总结性 在日后的学习中也会交给大家对一些常用如对数例，解析几何（解释），等很多的举 例，也会在日后交给大家一些高考的答题技巧。 六．学习习惯的培养 我感觉任何一个想学好考好的学生，习惯是很重要的，去年有几个学生我感觉挺聪 明的，但是最后考的不理想，平时老是玩手机，玩 qq，玩空间，什么样的角色做什么样 的事。还有上课该怎么利用，有些同学感觉上课老师讲的知识点我下来再记，主要的时 间还是在课堂，能在课堂记住的课堂一定要记住，大家肯定有学习好一点的，也有不好 一点的，大家到这的目的只有一个，那就是来学习了，平时学习要坚持，谁坚持到最后 谁笑的最美，有不会的就要问，
七．考试的心态。 不是先告诉大家要自信，在考场上我感觉最重要的要有一种紧迫感但是又不慌（就 好像有人在后面催的你了），举例，，，接下来的才是自信。（万万不可因为有点成绩就骄 傲，大家眼光一定要放远，你的竞争对手是宣化一中，张家口一中，很水一中，咱们阳 原一中有个特点，我感到很不可思议，就是每年高考前半个月或者一个星期，学校就给 大家放假，我看去年补课的学生，很多块高考呀，都开始照相，玩 qq,转呀,直到高考最后 移门大家那颗紧绷心都不能放下）
第一讲 数学思维的变通性
一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的
变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现， 本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种 有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决 问题的前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对 题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题 思路，找到解题方法。

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例如，求和 1 1 1 1 .
12 23 34
n(n 1)
这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且 1 1 1 ，因 n(n 1) n n 1
此，原式等于1 1 1 1 1 1 1 1 问题很快就解决了。
223
n n1 n1
（2）善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。
因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联
想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组
x xy
y2 3
.
这个方程指明两个数的和为 2 ，这两个数的积为 3 。由此联想到韦达定理， x 、 y 是一元二次方
程 t 2 2t 3 0 的两个根，
所以
xy31或

x 3 .可见，联想可使问题变得简单。 y 1
（3）善于将问题进行转化
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通 过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲， 就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题 时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。
思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决 若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使 思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高 思维变通性，必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例 （1） 观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的 训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例 1 已知 a,b, c, d 都是实数，求证 a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d)2 .
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 y
A(a, b)
证明 不妨设 A(a,b), B(c, d) 如图 1－2－1 所示， 则 AB (a c)2 (b d)2 .
B(c, d )
O 图 1－2
x
－1

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OA a2 b2 , OB c2 d 2 , 在 OAB 中，由三角形三边之间的关系知： OA OB AB 当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。
因此， a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d)2 . 思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这 些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公 式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 已知 3x2 2 y 2 6x ，试求 x 2 y 2 的最大值。
解 由 3x2 2y2 6x 得
y 2 3 x 2 3x. 2
y 2 0, 3 x2 3x 0, 0 x 2. 2
又 x2 y 2 x2 3 x2 3x 1 (x 3)2 9 ,
2
2
2
当 x 2 时， x2 y 2 有最大值，最大值为 1 (2 3)2 9 4.
2
2
思 路 分 析 要 求 x2 y2 的 最 大 值 ， 由 已 知 条 件 很 快 将 x2 y2 变 为 一 元 二 次 函 数
f (x) 1 (x 3)2 9 , 然后求极值点的 x 值，联系到 y 2 0 ，这一条件，既快又准地求出最大值。上
2
2
述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
思维障碍 大部分学生的作法如下：
由 3x2 2 y 2 6x 得 y 2 3 x2 3x, 2
x2 y 2 x2 3 x2 3x 1 (x 3)2 9 ,
2
2
2
当 x 3时， x2 y 2 取最大值，最大值为 9 2
这种解法由于忽略了 y 2 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表
面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。
有些问题的观察要从相应的图像着手。
例3 已知二次函数 f (x) ax2 bx c 0(a 0), 满足关系
f (2 x) f (2 x) ，试比较 f (0.5) 与 f ( ) 的大小。 y
思路分析 由已知条件 f (2 x) f (2 x) 可知，在与
函数值相等，说明该函数的图像关于直线 x 2 对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
O
x 2 左右等距离的点的
2
x
图 1－2－

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图像简捷地解出此题。
解 （如图 1－2－2）由 f (2 x) f (2 x) ，
知 f (x) 是以直线 x 2 为对称轴，开口向上的抛物线 它与 x 2 距离越近的点，函数值越小。
2 0.5 2 f (0.5) f ( )
思维障碍 有些同学对比较 f (0.5) 与 f ( ) 的大小，只想到求出它们的值。而此题函数 f (x) 的表
达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而 思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才 能顺利解题。提高思维的变通性。
（2） 联想能力的训练.（练想法一般用到什么时候，感觉用一般的想法算不出来的时候用联想法）
例4 在 ABC中，若 C 为钝角，则 tgA tgB 的值
(A) 等于 1
(B)小于 1
(C) 大于 1
(D) 不能确定
思路分析 此题是在 ABC中确定三角函数 tgA tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的两角和
公式 tg( A B) tgA tgB 可得下面解法。 1 tgA tgB
解 C 为钝角，tgC 0 .在 ABC中 A B C C (A B)
且 A、B均为锐角，
tgC tg (A B) tg(A B) tgA tgB 0.
1 tgA tgB tgA 0,tgB 0,1 tgA tgB 0.即tgA tgB 1.
故应选择（B） 思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不 牢固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。
例5 若 (z x)2 4(x y)( y z) 0,证明：2 y x z.
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与 一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当 x y 0 时，等式 (z x)2 4(x y)( y z) 0
可看作是关于 t 的一元二次方程 (x y)t 2 (z x)t ( y z) 0 有等根的条件，在进一步观察这个 方程，它的两个相等实根是 1 ，根据韦达定理就有：
y z 1即 2y x z x y
若 x y 0 ，由已知条件易得 z x 0, 即 x y z ,显然也有 2y x z .

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例6 已 知 a、b、c 均 为 正 实 数 , 满 足 关 系 式 a2 b2 c2 , 又 n 为 不 小 于 3 的 自 然 数 ， 求
证: an bn cn .
思路分析 由条件 a2 b2 c2 联想到勾股定理, a、b、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想
到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设 a、b、c 所对的角分别为 A 、 B 、 C.则 C 是直角， A 为锐角，于是
sin A a , cos A b , 且 0 sin A 1, 0 cos A 1,
c
c
当 n 3 时，有 sin n A sin 2 A, cosn A cos2 A
于是有 sin n A cosn A sin 2 A cos2 A 1
即
( a )n (b)n 1,
cc
从而就有 an bn cn .
思维阻碍 由于这是一个关于自然数 n 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进 行数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目 条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。
（3） 问题转化的训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识，
而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以， 进行问题转化的训练是很必要的。
○1 转化成容易解决的明显题目
例 11 已知 a b c 1 1 1 1, 求证 a 、 b 、 c 中至少有一个等于 1。 abc
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们 熟悉的形式。 a 、 b 、 c 中至少有一个为 1，也就是说 a 1、b 1、c 1中至少有一个为零，这样，问 题就容易解决了。
证明 1 1 1 1, bc ac ab abc. abc
于是 (a 1)(b 1)(c 1) abc (ab ac bc 1) (a b c) 0.
a 1、b 1、c 1中至少有一个为零，即 a 、 b 、 c 中至少有一个为 1。 思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为
1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种
“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
例12 直线 L 的方程为 x p ，其中 p 0 ；椭圆 E 的中心为 O(2 p ,0) ，焦点在 X 轴上，长半
2
2
轴为 2，短半轴为 1，它的一个顶点为 A( p ,0) ，问 p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点， 2
它们中的每一点到点 A 的距离等于该点到直线 L 的距离。 思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y2 2 px
（1）

是，又从已知条件可得椭圆 E 的方程为 [x (2 p )]2 2 y2 1 4
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（2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求 p 的取值范围。将（2）代入
（1）得：
x2 (7 p 4)x p 2 2 p 0. 4
（3）
确定 p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：

(7 p
4) 2
p 2

4
2p
0
7 p 4 0
4( p 2 2 p) 0 4
在 p 0 的条件下，得 0 p 13.
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。 ○2 逆向思维的训练 逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正 面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。 例 13 已知函数 f (x) 2x2 mx n ，求证 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小于 1.
思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要 证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 都小于 1。
f (1) 1 1 2 m n 1 3 m n 1
①
则

f (2)
1 1 8 2m n 1
9 2m n 7
②

f (3)
1
1 18 3m n 1
19 3m n 17
③
①＋③得
11 2m n 9 ，
与②矛盾，所以假设不成立，即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小于 1。
○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不 同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提 高数学思维的变通性。
例 14 已知复数 z 的模为 2，求 z i 的最大值。
解法一（代数法）设 z x yi(x、y R)，

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则x2 y 2＝4. z i x2 ( y 1)2 5 2y. y 2, 当 y 2 时，z i 3.
max
解法二（三角法）设 z 2(cos i sin ),
则 z i 4cos2 ＋（2sin 1)2 5 4sin .
当sin 1时，z i 3. max
解法三（几何法） z 2,点z是圆x2 y 2 4上的点， z i 表示z与i所对应的点之间的距离。
如图 1－2－3 所示，可知当 z 2i 时， z i 3. max
解法四（运用模的性质） z i z i 21 3
y
O ．i
x
．Z
-2i
图 1－2－3
而当 z 2i 时， z i 3. z i 3. max
解法五（运用模的性质） z i 2 (z i)(z i) zz (z z)i 1