高考数学大一轮复习第五章数列第3节等比数列及其前n项和讲义理含解析新人教A版
第3节 等比数列及其前n 项和
考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.体会等比数列与指数函数的关系.
知 识 梳 理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：
a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为非零常数).
(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1
；
通项公式的推广：a n ＝a m q
n －m
.
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.
(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，
a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为
q n .
[微点提醒]
1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2
n }，????
??
1a n 也是等比数列.
2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2
＝ac .( )
(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )
1－a
.( )
(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.
(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2
＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .
(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修5P53A1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q 等于( )
A.－12
B.－2
C.2
D.12
解析 由题意知q 3
＝a 5a 2＝18，即q ＝12
.
答案 D
3.(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.
解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3
，q 3
＝27，∴q ＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，81
4.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2
B.4
C.9
2
D.6
解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 2
4，∴a 2
4＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2
＝0，解得a 4＝2.
又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 2
4＝4，∴a 7＝4. 答案 B
5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
于12
2.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )
A.3
2f B.3
22
f C.12
25
f
D.12
27
f
解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为
12
2的等比数列，设此数列为
{a n }，则a 8＝12
27
f ，即第八个单音的频率为12
27
f . 答案 D
6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则
n ＝________.
解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝
2（1－2n
）1－2＝126，解得n ＝6. 答案 6
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.
(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝63
4，则a 8＝________.
解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .
由?
????a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得?????a 1＋a 1q ＝－1，①
a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，
②
①
得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3
＝1×(－2)3
＝－8.
(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，
则?????S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74
，
S 6
＝a 1
（1－q 6
）1－q ＝634
，解得???
??a 1
＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27
＝32.
答案 (1)－8 (2)32
规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量
a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；
当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
.
【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9
B.15
C.18
D.30
(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2
b 2
＝________.
解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，
则????
?2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2
）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16，
解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24
）
1－2
＝30.
(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝
2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3
，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22
＝
1.
答案 (1)D (2)1
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝31
32
，求λ.
(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝1
1－λ
，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，
得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以
a n ＋1a n ＝λ
λ－1
. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λ
λ－1的等比数列，
于是a n ＝11－λ? ??
??
λλ－1n －1
.
(2)解 由(1)得S n ＝1－? ??
?
?λλ－1n
. 由S 5＝3132，得1－? ????λλ－15
＝3132，即? ????λλ－15
＝132
. 解得λ＝－1.
规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n ＝1的情形进行验证.
【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.
(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，
所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，
所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，
所以S n ＝2
n ＋1
＋n －2，
于是T n ＝(22＋23
＋…＋2
n ＋1
)＋(1＋2＋…＋n )－2n
＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝
2n ＋3
＋n 2
－3n －8
2
.
考点三 等比数列的性质及应用
【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12
B.10
C.8
D.2＋log 35
(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40
B.60
C.32
D.50
解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5
＝10.
(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B
规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2
＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2
B.－ 2
C.± 2
D. 2
(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6
S 3＝3，则S 9S 6
＝________. 解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4，
a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0，
所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 2
5，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.
(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴
S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝7
3
.
法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3
＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝7
3
. 答案 (1)B (2)7
3
[思维升华]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想：如求和时要分q ＝1和q ≠1两种情况讨论，判断单调性时对a 1与q 分类讨论. [易错防范]
1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.
2.S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，
S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1时且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数
列)，但等式(S 2n －S n )2
＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立.
数学运算——等差(比)数列性质的应用
1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.
2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想. 类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；
(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .
【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.
解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2
m ＝0，解得a m ＝0或2. 又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）
2＝(2m －1)a m ＝38，
显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.
代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .
由已知条件，得?????S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得?
????S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162
6＝5.
答案 (1)10 (2)5
类型2 等比数列两个性质的应用
在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *
)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *
).
【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6
B.5
C.4
D.3
(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18
B.－18
C.578
D.558
解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4
＝lg(a 4·a 5)4
＝lg(2×5)4
＝4.
(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝1
8.
答案 (1)C (2)A
类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .
(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n
S m (q 为公比).
【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.
(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列??????
1a n 的前5项
和为________.
解析 (1)由题意，得?????S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得?
????S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝
S 偶S 奇＝－160
－80
＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3
＝9S 3，所以q 3
＝8，q ＝2.
所以数列????
??1a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列，其前5项和为
1－? ??
?
?125
1－12
＝3116. 答案 (1)2 (2)31
16
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A.8
B.9
C.10
D.11
解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C
2.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A.16
B.8
C.2 2
D.4
解析 因为a 4与a 14的等比中项为22， 所以a 4·a 14＝a 7·a 11＝(22)2
＝8， 所以2a 7＋a 11≥22a 7a 11＝22×8＝8， 所以2a 7＋a 11的最小值为8. 答案 B
3.(2019·上海崇明区模拟)已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )
A.1
B.5
C.
3148 D.1116
解析 由题意得a 1（1－q 3）1－q ＝3a 1q 2
，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q
＝
1－? ???
?－125
1－? ??
??－12＝11
16. 答案 D
4.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴
a 1（1－27）
1－2
＝381，解得a 1＝3.
答案 B
5.(2019·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1
＋b ，则a
b
＝( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3
n －1
＋b ，
∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，
a 3＝S 3－S 2＝9a ＋
b －3a －b ＝6a ，
∵等比数列{a n }中，a 2
2＝a 1a 3， ∴(2a )2
＝(a ＋b )×6a ，解得a
b
＝－3. 答案 A 二、填空题
6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14
a 14＋a 15＝________.
解析 设{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3，则a 1(1＋2q )＝a 1q 2
，q 2
－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 则
a 13＋a 14a 14＋a 15＝1
q
＝2－1.
答案
2－1
7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *
)，则通项a n ＝________.
解析 ∵a n ＋S n ＝1，①
∴a 1＝1
2，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②
由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即
a n a n －1＝1
2
(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列，
则a n ＝12×? ???
?
12n －1
＝12
n . 答案
12
n 8.(2018·南京模拟)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *
)，则其前9项的和
S 9＝________.
解析 由a 2n ＋1a n
＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2
n ＝0，
∴(a n ＋1－2a n )2
＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝
2(1－29
)
1－2
＝1 022. 答案 1 022 三、解答题
9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；
(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q
n －1
.
由已知得q 4
＝4q 2
，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)
n －1
或a n ＝2
n －1
.
(2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝1－（－2）n
3
.
由S m ＝63得(－2)m
＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2
n －1
，则S n ＝2n
－1.
由S m ＝63得2m
＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
10.已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，
所以数列{a n }是一个首项为1，公差为2的等差数列，
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
.
等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3
n －1
.
数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n
1－3＝3n
－1
2.
T n ≤S n 即3n
－12
≤n 2，又n ∈N *
，所以n ＝1或2.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 2
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