人教版数学必修一函数的单调性与最大值
一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f()f()，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 2.函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间 （1）在某个区间具有单调性：①这个区间可以是整个定义域.如：y=x 在整个定义域R上是增函数，②这个区间也可以是定义域的真子集，如：y=x2在定义域（-∞，+∞）上不具有单调性，但在（-∞，0 ] 上是减函数，在 [ 0，+∞）上是增函数
（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义
高中数学 第6课时函数的单调性(1)(教师版) 苏教版
高中数学 第6课时函数的单调性（1）（教师版） 苏教 版 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．理解函数单调性概念； 2．掌握判断函数单调性的方法，会证 明一些简单函数在某个区间上的 单调性； 3．提高观察、抽象的能力．； 自学评价 1．单调增函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那 么就说()y f x =在区间I 上是单调增 函数，I 称为()y f x =的单调 增 区间． 注意：⑴“任意”、“都有”等关键词； ⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为 A ，区间I A ?． 如果对于区间I 内的任意两个值1x ， 2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >， 那么就说()y f x =在区间I 上是单调 减 函数，I 称为()y f x =的单调 减 区间． 3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 上升 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 下降 的图像。（填＂上升＂或＂下降＂） 12x x < ； （2） 比较12(),()f x f x 大小 ； (3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增 （或减）函数＂ . 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间： 例1：画出下列函数图象，并写出单调区间． （1）2 2y x =-+； （2）1 y x =； （3）21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? ． 【解】 （图略） （１）函数2 2y x =-+的单调增区间为 (,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞； （２）函数1 y x = 在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和 (0,)+∞． （３）函数21, 0 ()22, 0x x f x x x ?+≤=?-+>? 在实数集R 上是减函数；
人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题
O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0
7第七讲 函数的单调性及最值(教师版)
第一课时：单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下： 函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ： (1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f ( x )＝1 x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？ 答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1 x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属 第七节.函数的单调性与最值 基本不等式
于f (x )＝1 x 的定义域. 梳理 一般地，有下列常识： (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性. 解 先画出f (x )＝????? x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2 －2x －3)，－1≤x ≤3 的图象，如图.
人教版_数学Ⅰ_131函数的单调性
1 ” 课题：§ 1.3.1函数的单调性 教学目的：(i )通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意 义； (2 )学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3 )能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点：函数的单调性及其几何意义. 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程： 一、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 . f(x) = x ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 2. f(x) = -2x+1 ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 3. f(x) = x 2 ②在区间 _______________ 上，f(x)的值随 -* ----- 1 ----- ? -1 1 x y 」 lb 1 ■ -1 1 x -1 ■ y 」 1 1 --- ■ -1 1 x -1 y 小
-厂 着x 的增大而_________ ． ③在区间________________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而_________ ． 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1 , X2,当X1VX2时，都有f(x 1)导数应用：含参函数的单调性讨论教师版
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 https://www.wendangku.net/doc/8c8219654.html,work Information Technology Company.2020YEAR
导数应用：含参函数的单调性讨论教师版 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数 在区间时上为增函数 在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('... ,)(...0)('... ,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+=x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号)
【教学设计】函数的单调性与最大(小)值第2课时_数学
函数的最大（小）值教学设计 【课标解读】 1．知识目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．能力目标：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．培养学生自主学习的能力，以及勇于探索、严谨求学的科学态度。3．情感目标：利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 【教材分析】 《函数的最值》是高中数学必修一第一章第三节的内容。在此之前，学生已学习了利用定义证明函数的单调性，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是求函数值域，解决恒成立问题的基础。重点是利用函数单调性求函数最值，以及与二次函数有关的最值的求解及应用。难点是有关求最值时的分类讨论问题。 【学情分析】 在教学过程中，教师创设情景，揭示课题，质疑答辩，排难解惑，通过教师的启发点拨，学生的不断探索，逐步解决求函数的最值问题。整个教学过程使学生主动参与、积极思考、探索尝试；让学生体验到了学习数学的乐趣，培养学生自主学习的能力以及严谨的科学态度，养成勇于探索、乐于实践的学风。 【教学目标】 知识与技能： 1．通过生活中的例子帮助学生理解函数最值的定义及其几何意义。 2．学会应用函数的单调性求解函数的最值或值域。 过程与方法： 1．通过本节课的教学，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。 2．通过探究与活动，培养学生合作探究、自主学习的能力。 情感与态度： 1．通过本节课的教学，使学生能结合函数的单调性求函数的最值。
2．通过生活实例感受函数单调性对函数最值的影响，培养 学生的识图能力和分类讨论的能力，养成科学严谨的求学态度，使之成为一种习惯。 【教学过程】 （一）问题情境． 1.引入： 喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后 便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究——函数的最大值与最小值。 2.课堂探究： 探究点1 函数的最大值： 观察下列两个函数图象： 思考1 高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数 定义域内任意自变量x,f(x)与M 的大小关系如何?（学生回答） 【解答】 f(x)≤M （二）深入学习 最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实 数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M; （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值 y 图2
高中数学教师资格面试函数的单调性教案
高中数学教师资格面试函数的单调性教案 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高中数学教师资格面试《函数的单调性》教案： 函数的单调性 课题：函数的单调性 课时：一课时 课型：新授课 一、教学目标 1.知识与技能： （1）从形与数两方面理解单调性的概念。 （2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。 2.过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力。 （2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法。 （3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
3.情感态度价值观： 通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题。 二、教学重点 函数单调性的概念形成和初步运用。 三、教学难点 函数单调性的概念形成。 四、教学关键 通过定义及数形结合的思想，理解函数的单调性。 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 教师活动：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律，描述前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。然后提出两个问题：问题一：二次函数是增函数还是减函数问题二：能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数 学生活动：观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述，y=2x的图象自变量x 在实数集变化时，y随x增大而增大，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增
高中数学人教版习题《函数的单调性》
基础梳理 1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数． 例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____. 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]． 例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____. 3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________, 基础梳理 1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞) 思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？ 1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数． 2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？ 2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评 1．下列结论正确的是()
高中数学函数的单调性公开课优秀教学设计
如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 一、教学内容分析: 函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。 二、教学目标设置: （一）知识与技能： 1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义； 2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性； 3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。 （二）过程与方法： 1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述； 2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念； 3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更
《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修)
1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计 【教学目标】 1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义； 3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性. 【导入新课】 1.通过对函数x y 2=、x y 3-=、x y 1=及2x y =的观察提出有关函数单调性的问题. 2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念. 3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题： ① 以y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形； 问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等. ② 以y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形： 问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？ 答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称； （2）若点（x ，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x ，－f(x)）也在函数图象上，即
函数的单调性
函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为：
函数的单调性教师版
单调增区间 函数y ＝x x +-11的递减区间是(―∞, ―1)、(―1, ＋∞) .函数y ＝log 12 (4＋3x －x 2)的一个单调递增区间是 ( ) A.(－∞，32] B.[32 ，＋∞) C.(－1，32) D.[32 ，4) 解析：由t ＝4＋3x －x 2＞0得－1＜x ＜4，即函数y ＝log 12 (4＋3x －x 2)的定义 域为(－1,4)， 又y ＝log 12t 是减函数，t ＝4＋3x －x 2在[32 ，4)上递减， 所以函数y ＝log 12(4＋3x －x 2)在[32 ，4)上递增. 答案：D 函数x x x f ln 2)(2-=的增区间是 2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++ 解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ?-++≥?=?--+得或，函数2223(1)4y x x x =--=-- 即22(1)4(13)(1)4(13) x x y x x x ?--+-≤≤?=?--<->??或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和 单调性的应用 1.求参数范围
高中数学 1.3.1 函数的单调性教案 新人教版必修1
安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.3.1 函数的单 调性教案新人教版必修1 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 艾宾浩斯记忆遗忘曲线、连一连 (2)下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数x y x y x y x y 1,,2,22= =+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数2+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． (2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大，在)0,(-∞上y 随x 的增大而
高中数学必修一《函数的单调性》优秀教学设计
函数的单调性 课题2.3.1函数的单调性 授课类型新授课 课时安排1课时 教具多媒体、实物投影仪 教学目标 （1）了解单调函数、单调区间的概念；理解增函数、减函数的概念；掌握利用函数的单调性定义证明简单函数的单调性的基本方法 （2）能用自已的语言表述概念；能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；能把文字描述、图像特征、数学语言结合起来准确地表述、判断、证明函数的单调性；学 会利用函数的单调性解决诸如不等式、函数最值（值域）的问题（本节课只设置引导目标）（3）通过数形互助培养学生直观判断与严格证明相结合、形象与抽象相结合的思维习惯；渗透联系与变化的认识观 教学重点函数的单调性（增函数、减函数）的概念 教学难点对函数单调的定义中数学语言的准确理解和灵活运用 教材开发点对函数的单调性的应用引导 教材与学情 函数的单调性是函数重要性质之一，也是今后研究函数时涉及最多的性质之一，如函数值域与最值、比较大小与解不等式、函数图像等问题均与函数的单调性相关；同时函数的单调性也是高考考查的重点内容。 学生在初中学过一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数，已有一些具体函数的知识，在学生的现有认知结构中，一方面能用描点法画出简单函数的图像，另一面可以根据函数的图象观察出“图像上升（或下降）”、“随着自变量的增大函数值增大”等 变化趋势，同时在此之前，刚刚学习抽象的函数概念，所以对函数的单调性的认识首先依赖于函数图象的直观性，然后才能逐步过渡抽象的数学语言理解层面。 本节课的教学应以函数的单调性的概念为主线设计材料、设计问题、设计活动，一方面设计几个比较性、思辨性好的问题，另一面要充分利用证明函数单调性的例题加深学生对单调性概念的准确（严谨性）理解。考虑到学生将来还要学习导数的知识，函数单调性的判断会变得比较容易，因此，在教学中，应该适当减少用定义判断证明单调性的问题，注意引导学生主动地应用函数的单调性去解决问题。 教学过程 一、复习引入: 1.复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法，也学习了一次函数、二次函数和反比例函数。为了研
