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中级微观经济学习题解答最终版5.综述

河北经贸大学研究生教学参考资料

中级微观经济学习题集

彭国富编

河北经贸大学

2012年10月

第二章偏好与选择

四、计算下列各题

1、根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。

（1）王力喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y 。

【分析】喜欢喝汽水x ，但是厌恶吃冰棍y ，意味着x 对y 的边际替代率为负的，效用函数可表示为错误！未找到引用源。(a 、b 均大于零)

（2）李南既喜欢喝汽水x 又喜欢吃冰棍y ，但他认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的。【分析】消费者认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的，三个x 可以完全替代两个y ，x 对y 的边际替代率为2/3,故错误！未找到引用源。,即无差异曲线为一条斜率为错误！未

找到引用源。

的直线

（3）萧峰有个习惯，他每喝一杯汽水x 就要吃两根冰棍y ，当然汽水和冰棍对他而言是多多益善的。

X 和y 为完全互补品，则无差异曲线为直角形状，效用函数为错误！未找到引用源。

X Y 2

3 Y

（4）杨琳对于有无汽水x

喝毫不在意，但他喜欢吃冰棍y 。【分析】杨琳不喜欢喝汽水而喜欢吃冰棒，因此可知x 对y 的边际替代率为0

2、假设某消费者的效用函数为U XY =，X 和Y 表示两种商品，当效用为20单位、X 商品的消费量为5时，Y 商品的消费量是多少？这一商品消费组合对应的边际替代率是多少？如果这时的组合是达到消费者均衡的组合，那么X 和Y 两种商品的价格之比应为多少？

① ∵错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。=20时，由X=5得：错误！未找到引用源。=80。 ② 边际替代率错误！未找到引用源。Y

错误！未找到引用源。1

1=2

X MU X Y -

③ 达到均衡时，

故：错误！未找到引用源。.

3、已知效用函数为1U X Y αα-=，求商品的边际替代率MRS XY 和MRS YX ，并求当

X 和Y 的数量分别为4和12时的边际替代率。

解：

11113(1)(1)(1)

(1)(1)(1)

3X XY Y Y YX X MU X Y Y MRS MU X Y X MU X Y

X MRS MU X Y Y αααααα

αα

ααα

ααααααααα

------====

------===

4、假设某消费者的效用函数为22(,)U U X Y X Y ==，消费者的预算线是X Y I P X P Y =+，试求该约束条件下的最优化问题，并推导出消费者均衡的一阶条件，再推导出用参数表示的X 和Y 的需求函数。

解：

max ..X Y

U X Y s t I P X P Y ?=?

=+? 22()X Y L X Y I P X P Y λ=+--

220X L

XY P X λ?=-=?……（1） 220Y L

X Y P Y λ?=-=?……（2） 0X Y L

I P X P Y λ

?=--=?……（3）（1）除于（2）可得：

P Y X P =……（4）由（4）得：X

P Y X P =

……（5）将（5）代入（3）得：

X P =

……（6）将（6）代入（5）得：

Y P =

……（7）答：（4）式为一阶条件，（6）、（7）式为需求函数。

5、一个消费者每期收入为192元，他有两种商品可以选择：商品A 和B ，他对两种商品的效用函数为U AB =，PA 为12元，PB 为8元。根据他的收入，他要购买多少

数量的A 和B 才能获得最大效用，最大效用为多少？如果商品B 的价格上涨一倍，即16元，要满足他原来的效用水平，需要增加多少收入？

解：（1）最大效用问题

max ..12

8192U AB

s t A B =??

+=? (192128)L AB A B λ=+-- 120L

B A λ?=-=?……（1） 80L

A B λ?=-=?……（2） 1921280L

A B λ

?=--=?……（3）（1）除以（2）可得：

A B = (4)

（4）代入（3）可得： 12B = (5)

（5）代入（4）可得： 8A =

代入效用函数可得： 81296U AB ==?= （2）最小支出问题：

min 1216)

96A B s t AB +??

=? 1216(96)L A B AB λ=++- 120L

B A λ?=-=?……（1） 160L

A B λ?=-=?……（2） 960L

AB λ

?=-=?……（3）（1）除以（2）得：

B A = (4)

（4）代入（3）得：

12811.31A ==……（5）（5）代入（4）得：

1284

B =

24128271.53I ==

271.5319279

I ?=-

6、设效用函数为11212(,)()u x x x x ρρρ

=+，其中，01ρ≠<。求对应的瓦尔拉斯需求函数。

解: 瓦尔拉斯需求函数是如下最大化问题的最优解:

1121

1122m a x (,)()

..u x x x x s t p x p x I

ρρ

?=+?

+=?

建立上述最大化问题的拉格朗日方程:

1121122()()L x x I p x p x ρρρ

λ=++--

求偏导可得:

1112111

()0L x x x p x ρ

ρρ

λ--?=+-=? (1)

12222()0L x x x p x ρ

ρρρρλ--?=+-=?……（2） 11220L

I p x p x λ

?=--=?……（3）（1）除以（2）可得:

1122x p x p ρ-??= ???也即：11

1122p x x p ρ-??

= ?

(4)

将（4）式代入（3）式可得：

112

x p p p p ρ-=??+ ???……（5）（5）式代入（4）式可得：

12111

112

2p I p x p p p p ρρ--?? ???=

??+ ???

(6)

（5）、（6）式即为所求瓦尔拉斯需求函数。

第三章需求分析

四、计算下列各题

1、某企业产品的需求函数为150.15d Q P =-，P 为价格，该企业的经理试图将价格从目前的8元提高一些，当价格提高后总收益会如何变化？该企业是否应当提价？为什么？

分析：

表明缺乏价格弹性，价格变化方向与总收益变化方向相同，提价会提高总收益，故

企业应当提价。

2、某企业面临的需求函数为200412d Q P I =-+，其中P 为价格、I 为收入。设产品价格为25元，当人们的收入为2000元时，收入弹性是多少？该商品是正常品还是劣等品？为什么？

分析：需求收入弹性是指消费者收入水平变化1%所带来的消费者需求变化的百分比。用E I 来表示。

1、EI>0时，为正常品。

2、EI<0时，为低档品。

I Q Q Q I E I I I Q

2000

12200425122000240000.996024100

??==?

??=?-?+?==>

故该商品为正常品。

3、张三通过市场调研得到三种产品A 、B 和C 的如下数据：当A 产品的价格提高1%，人们对B 产品的需求会增加2%，人们对C 产品的需求会减少1.5%。试确定A

d TR P Q(P)dTR dQ(P)

=Q(P)+P dP dP

dQ Q Q 1dP P Q(1E )

=????=+ ?

?=-d d ln Q dQ Q dQ P

E d ln P dP P dP Q 8

0.15150.158

0.091

=-=-?=?

-?=<

和B 及A 和C 之间的相互关系，并求出A 产品对B 产品及C 产品的交叉价格弹性。

分析：需求交叉价格弹性是度量一种商品或劳务的价格变化对另一种商品或劳务需求量的影响程度。

由于A 产品的价格提高1%，人们对B 产品的需求会增加2%，说明A 与B 之间存在着替代关系；又由于A 产品的价格提高1%，人们对C 产品的需求会减少1.5%，所以，A 与C 之间存在着互补关系。

根据需求交叉价格弹性的计算公式：

y y y x

xy x x x y Q Q Q P E P P P Q ??==??

可得： AB 0.02E 20.01==（替代品）

Ac 0.015

E 1.50.01=-=-（互补品）

4、已知一个消费者对牛奶的需求函数为：x=10+w/(10p),其中x 为一周内牛奶的消费量，w=120元为收入，p=3元（每桶），现在假定牛奶价格从3元降为2元。问：（1）该价格变化对该消费者的需求总效应为多少？（即其牛奶消费会变化多少？）（2）请计算出价格变化的替代效应。（提示：如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？现在他用多少钱就相当于原来的120元钱？）

（3）请计算出价格变化的收入效应。

分析：替代效应：在保持效用水平不变的条件下，由一种商品价格变动从而两种商品相对价格变动而引起的一种商品对另一种商品的替代被称之为替代效应。

收入效应：在消费者收入不变的条件下，由一种商品价格变动引起的消费者实际收入的变动所导致的两种商品消费数量的变动，被称之为价格变动的收入效应。

假设△x 为价格变动的总需求效应；△x s 为价格变动的替代效应；△x n 为价格变动的收入效应。也即：

212221222

()()

[()()][()()]

[()()]

s n s n

x x p ,I x p ,I x x p ,I x p ,I x x x x p ,I x p ,I x p ,I x p ,I x p ,I x p ,I '?=-'?=-?=?+?''=-+-=-

假设商品1为正常品牛奶，在商品价格变化之前，消费者的预算线为AB ，该预算线与无差异曲线U1相切于a 点，a 点是消费者效用最大化的一个均衡点。当牛奶的价格由3变为2时，使得预算线的位置由AB 移动到'AB ,新的预算线'AB 与另一条代表更高的效用水平的无差异曲线U2相切于b 点，则b 点为牛奶价格下降后的消费者的效用最大化的均衡点。比较a,b 两个均衡点，牛奶的需求量的增加量为11''''X X ,这便是牛奶价格下降所引起的总效应。这个总效应可以被分解为替代效应和收入效应两部分。

①带入数据可以直接得出总效用的变动错误！未找到引用源。=10+120/10*3=14

错误！未找到引用源。=10+120/10*2=16

错误！未找到引用源。价格变化的替代效应：

错误！未找到引用源。(',')(,)s X X P W X P W ?=-,其中错误！未找到引用源。为变化后的价格,'W 为补偿收入并且'W W W =+?(错误！未找到引用源。

,'W X P P P P ?=??=-)

计算可得错误！未找到引用源。14,'1W X P P P P ?=?=-?=-=-

代入数据可得替代效应为错误！未找到引用源。(',')'(,)s X X P W X P W ?=-=（错误！未找到引用源。20）错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）=1.3

价格变化的收入效应为（也可以用总效用减去替代效用就可以得到收入效用）

(',)'(',')0.7n X X P W X P W ?=-=

5、假设效用函数为0.52U Q M =+，其中，Q 为商品的消费量，M 为消费者收入。求：（1）需求函数。（2）P=0.05，Q=25时的消费者剩余。

解：（1）需求函数

上述问题的最大化模型为： 0.5max 2..U Q M

s t M PQ ?=+?

=? 可简化为：

0.5max 2U Q PQ =+

求解得： 0.50.520U

Q P Q

-?=+=? 2116Q P =或

0.50.25P Q -= 另解：

消费者均衡的条件可以写为： (1)

P λ=,它表示消费者对任何一种商品的最优购买

量应该是使最后一元钱购买该商品所带来的边际效用和所付出的这一元钱的货币的边际效用相等。

由题意可知，货币的边际效用

U M λ?=?, 边际效用1

21=2

U MU Q Q -?=?

代入（1）式可得，需求函数为0.50.25P Q -=

（2）消费者剩余

0.50

0.50.50.250.50.5250.05252.5 1.251.25

cs pdp pQ

Q dp pQ

Q pQ -=-=-=-=?-?=-=??

第四章技术与生产

四、计算下列各题

1、生产函数为21618Q KL L =-+-，工人工资为w=8，产品价格为p=1。计算：（1）短期内K=2，最优劳动投入是多少？（2）最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最

大平均产量是多少？

解:

（1）最优投入=利润最大化由此建立目标函数： max PQ wL rK π=-- 2max 28218L L r π=-+--

4802

L L L π

?=-+=?= （2）平均产量函数：

max 16AQ KL L

=--+

由最大化一阶条件可得：

218

AQ L

L L ?=-+=?= 18

231643

AQ =-?-+=

2、假定一家企业的生产函数为13

y L =，产出品价格p=3，工资率w=4，固定资本成本为2。问：（1）最优要素投入量L*。（2）最优供给量y*。（3）计算这家企业的利润量。（4）这家企业应不应关闭？

解:

（1）企业利润最大化问题

max 342py wL k L L π=--=--

2332

40110.125

48L L

L π

-?=-=???

=== ???

（2）最优供给量13

y L *

3111232

110.544y L ?**????

==== ? ?????

（3）利润为：

342

30.540.12521

L L π=--=?-?-=- （4）该企业平均收益

3==Y

TR AR

平均成本： 40.1252

50.5

TC wL K AC y y +?+=

=== 平均可变成本： 40.125

10.5

wL AVC y ?=

== 因为：AC AR AVC >>，错误！未找到引用源。说明短期内厂商若生产可以弥补部分固定成本，在不生产时损失的为全部固定成本，此时损失小，所以厂商应继续生产，不应关闭。或者：因为企业关闭后，企业的损失等于固定成本2，但如果坚持经营，那么损失只有1，故企业不应关闭。

3、已知生产函数1212(,)0.5ln 0.5ln f x x x x =+，求利润函数12,(w ,w p)π，并用两种方法求供给函数1,2y(w w ,p)。

解:（1）求解利润函数

1122max pf w x w x π=--

()121122max 0.5ln 0.5ln p x x w x w x π=+--

111110.50.50p p

w x x x w π*?=-=?=

? 2

22220.50.50p p

w x x x w π*?=-=?=? 代入利润方程可得：

1212120.50.50.50.50.5ln 0.5ln 0.50.50.5ln ln p p p p p w w w w w w p p p p

w w π??=+-- ??

???

=+- ??

（2）供给函数的求解：

解法一（利用生产函数求解）：由于在各个时期厂商都会选择能够获得最大利润的产量来投入要素进行生产，可将得到的错误！未找到引用源。的结果直接代入生产函数，

可得：

1212

0.50.5(,)0.5ln

0.5ln

p p

f x x w w *=+ 解法二（利用利润函数求解）：霍泰林引理给出了利用利润函数求解供给函数和要素需求函数的方法。其基本思路如下：

(,)max[()]=()(,)

((,))(,)(,)

(,)(,)(,)(,)(,)p w pf x x pf x x p w f x p q p w p p w x p p w p w q p w x p p

πωωπωπωωππωω

*****=--?∴

==??=-???=

?? 也即：

在本题中，由霍太森引理直接可得

(,)

((,))0.50.50.5ln 0.5ln

p w f x p p

p p

w w πω*?=

?=+

4、已知成本函数为2C(Q)Q 5Q 4=++，求厂商供给函数S(p)与利润函数(p)π。

解：厂商的利润最大化问题为：

2max ()54PQ C Q PQ Q Q π=-=--- 250P Q Q

?=--=? 52P Q -=

代入利润函数：

()2

21540.25 2.5 2.254

P P P π=--=-+

由霍泰林引理可得供给函数：

0.5 2.5Y P P π*?==-?

5、假定某厂商的生产函数是q 2KL =，而资本投入在短期固定为K 。（1）计算厂商的总成本为q 、w 、v 、与K 的函数；（2）给定q 、w 与v ，资本投入应如何加以选择以使成本最小化？

解：（1）

224q q KL L K

=∴=

4q STC K wL K w

K νν=+=+

（2）成本最小化问题： 0.50.5

min ..

2K wL

s t K L q ν+??=? 0.50.5(2)H K wL q K L νλ=++- 0.50.50H

w K L L λ-?=-=?……（1） 0.50.50H

K L K νλ-?=-=?……（2） 0.50.520H

q K L λ

?=-=?……（3）（1）/（2）可得：

K L w

ν= (4)

（4）代入（3）式得：

0.5

22q q w

K w νν==??

???

第五章博弈论

四、计算下列各题

1、一个两人同时博弈的支付竞争如下表所示，试求纳什均衡。是否存在重复剔除占优战略均衡？

乙

甲

左中右上 2，0 1，1 4， 2

中 3，4 1，2 2，3 下 1，3 0，2 3，0

分析：

乙

甲左中右

上2，0 1，1 4，2

中3，4 1，2 2，3

下1，30，2 3，0

分析：那什均衡作为一个最优策略组合，每个局中人的策略都是给定其他局中人的策略情况下的最佳反映。那什均衡（上，右）（中，左）

占优战略是指参与人的最优战略不依赖于其他参与人的战略选择，不论其他参与人选择什么战略，他的最优战略是唯一的。相对于占优战略，其他策略均为劣战略。重复剔除占优战略均衡指的是剔除劣战略后剩下的唯一战略组合。

囚徒A

囚徒B

坦白抵赖坦白（-5，-5）（0，-8）抵赖（-8,0）（-1，-1）

囚徒A

囚徒B

坦白抵赖坦白（-5，-5）（0，-8）抵赖（-8,0）（1，-1）

不存在重复剔除占优战略均衡，因为甲和乙都没有占优战略。2、考虑一个二人序贯博弈，局中人甲先行动，它可以在“上”或

“下”中选择其一；局中人乙看到对方行动之后决定选“左”或者“右”。如果甲选“上”，乙选“左”时双方的支付向量为（2，1），选“右”时是（0，0）；如果甲选“下”，乙作何选择都无关紧要，双方的支付都是（1，2）。要求：

（1）画出该博弈的博弈树，并找出它的两个纳什均衡；（2）求该博弈的子博弈精炼纳什均衡，解释另一个纳什均衡为什么不可能出现。

分析：

（1）

甲上下乙乙

左右左右（2,1）（0,0）（1,2）（1,2）

乙左右

（2,1）（0,0）

（1,2）（1,2）

两个那什均衡（上，左）、（下，右）

（2）乙乙

左右左右（2,1）（0,0）（1,2）（1,2）子博弈I 子博弈∏

（上，左）是该博弈的子博弈的精炼那什均衡。

（下，右）在子博弈∏中构成了那什均衡，在子博弈I 中没有构成

上

下

甲

那什均衡。所以那什均衡不能实现。

3、双寡头博弈中，市场反需求函数为()P Q a Q =-。其中，12Q q q =+为市场总需求，但a 有H a 和L a 两种可能情况，并且厂商1知道a 究竟是H a 还是L a ，而厂商2只知道H a a =的概率是θ，L a a =的概率是1θ-，这种信息不对称情况是双方都了解的。双方的总成本都是i i i c q cq =。如果两厂商同时选择产量，本博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？

解：

]c a )1(a [31

q a )1(a Ea 2)c a (3

1q )c q a (21q 0c q 2q a q )c q a (21q 0c q 2q a q cq q q q -aq cq q )q q a (cq pq L H 2

H 2

12122212111

212

111121111--+=-+=-=????

????--=?=---=??--=?=---=??--=---=-=**

θθθθπππ所以：来讲：

因为对于厂商 [][]H 1H H L H L L 2L H L L H 11a a 111111q a a (1)a c c a (1)a c 2326632a a 111111q a a (1)a c c a a c 233663θθθθθθθθ**=????

-+---=----?? ?????=????=

-+---=+--?? ?????

因此，厂商的最优战略为：、当时：

、当时：

第六章局部均衡

四、计算下列各题

1、在某垄断竞争市场上，代表性厂商的长期成本函数为

3252002700LTC Q Q Q =-+，

市场的需求函数为2200100P A Q =-。求在长期均衡时，代表性厂商的产量和产品价格。

解：在垄断竞争市场达到长期均衡时，存在：MR LMC P LAC ==、因为：Q A dQ

Q AQ d dQ dPQ dQ dR MR 2002200)1002200(2

-=-===

()32

252002700154002700d Q Q Q dLTC LMC Q Q dQ dQ -+===-+ 252002700LTC

LAC Q Q Q

==-+

所以：

2200200154002700

220010052002700

A Q Q Q A Q Q Q ?-=-+??-=-+?? 由此可求得：Q=10，A=1，从而： 220010022001100101200P A Q =-=?-?=

2、双寡头市场上，厂商1的成本函数为118C Q =，厂商2的成本函数为2220.8C Q =，该市场的需求函数为1520.6P Q =-。求该市场的古诺模型解。假设：（1）两家以利润最大化为目标的厂商1和2，销售同质产品；（2）两家厂商都假定对手的产量是固定的，即每个厂商在预测对手产量的决策的基础上制定自己的产量决策。

联立寡头1和寡头2的反应函数得：Q 1= 104 Q 2=32 P=152-0.6Q=70.4

3、双寡头市场上，厂商1位领导者，其成本函数为1113.8C Q =，厂商2为追随者，其成本函数为2220C Q =，该市场的需求函数为1000.4P Q =-。求该市场的斯塔克伯格模型解。

分析：斯塔克伯格模型研究的是寡头厂商具有先后决策顺序的产量决策模型。先决策者为领导者，后决策者为追随者。通常假定领导者视跟随者反映函数为给定的。

=-+，对其

P Q A

成本的影响为：2

=++。（1）求在无广告的情况下，利润最

C Q Q A

大化产量、价格和利润。（2）求有广告的情况下，利润最大化是的

产量、价格和利润。（3）比较（1）和（2）的结果。

第七章要素市场

四、计算下列各题

1、某消费者的效用函数为U HY H =+，其中，H 为闲暇，Y 为收入（他以固定的工资率出售其劳动所获得的收入），求该消费者的劳动供给函数。他的劳动供给曲线是不是向上倾斜的？

2、考虑一个两期消费者，假定他的效用函数是12U c c =，其中c t