图解微分法与图解积分法简介

图解微分法与图解积分法简介

1、图解微分法

下面以图为例来说明图解微分法的作图步骤,图1-6为某一位移线图, 曲线上任一点的速度可表示为:

αμμμμtan t

S t S dx dy dt ds v ===

图位移线图

其中dy 和dx 为s=s(t)线图中代表微小位移ds 和微小时间dt 的线段, α为曲线s=s(t) 在所研究位置处切线的倾角。

上式表明,曲线在每一位置处的速度v 与曲线在该点处的斜率成正比,即v ∝tg α,为了用线段来表示速度,引入极距K(mm),则

αμαμμαμμμμtan tan tan K K K

dx dy dt ds v v t S t S t S =?==== 式中μv 为速度比例尺,μv = μs /μt K ( m/s/mm )。该式说明当K 为直角三角形中α角的相邻直角边时,(Ktg α)为角α的对边。由此可知,在曲线的各个位置, 其速度v 与以K 为底边,斜边平行于s=s(t)曲线在所研究点处的切线的直角三角形的对边高度(Ktg α)成正比。该式正是图解微分法的理论依据,按此便可由位移线图作得速度线图(v-v(t)曲线),作图过程如下:

先建立速度线图的坐标系v=v(t)(图a),其中分别以μv 和μt 作为v 轴和t 轴的比例尺, 然后沿轴向左延长至o 点,o0=K(mm),距离K 称为极距,点o 为极点。过o 点作s=s( t)曲线(图)上各位置切线的平行线o1"、o2"、o3"...等,在纵坐标轴上截得线段01"、02"、03"...等。由前面分析可知,这些线段分别表示曲线在2'、3'、4'... 等位置时的速度,从而很容易画出位移曲线的速度曲线(图a)。

图速度线图

a) 切线作图 b) 弦线作图

上述图解微分法称为切线法。该法要求在曲线的任意位置处很准确地作出曲线的切线，这常常是非常困难的，因此实际上常用“弦线”代替“切线”，即采用所谓弦线法,作图方便且能满足要求,现叙述如下:

依次连接图中s =s(t)曲线上相邻两点,可得弦线1'2'、2'3'、3'4'...等,它们与相应区间位移曲线上某点的切线平行。当区间足够小时,该点可近似认为在该区间(例2,3)中点的垂直线上。因此我们可以这样来作速度曲线:如图b 所示,按上述切线法建立坐标系v=v(t)并取定极距K 及极点o,从o 点作辐射线o1'、o2'、o3'、o4'...等,使分别平行于弦线01'、1'2'、2'3'、3'4'...并交纵坐标轴于1"、2"、3"...等点。然后将对应坐标点投影相交,得到一个个小矩形(例图b 中矩形22"33"),则过各矩形上底中点(例图b 中e,f 点等)的光滑曲线,即为所求位移曲线的速度线图(v=v(t)曲线)。

2、图解积分法

图解积分法为图解微分法的逆过程。

取极距Ｋ（mm ），用图解积分法由力矩Ｍr ―φ曲线求得力矩所做的功Ａr ―φ曲线。

由于 αμαμμμμ???t a n t a n //K K K

dx dy d dA M M A A =?=== 其中 K

A M ?μμμ= 故取Ａr ―φ曲线纵坐标比例尺M A K μμμ?=

求Ａr 的理论依据如下：

∑∑∑???===?=?=?≈===n i i

i A n i i i M n i i i M M M r r x x K x K y K dx K y K dx y d M A 111202020tan tan αμαμμμμμμμμφ??π

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微分积分公式全集

微分积分公式全集 The pony was revised in January 2021

高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、0 101101 lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??++ +? =?? ? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） 四、导数的四则运算法则 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=

⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ ' = 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ? +?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-

微分算子法典型例题讲解

高阶常微分方程的微分算子法 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()()()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成 1 1()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++ ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin3x e x 从而通解是 22123cos3sin3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1(cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0 ()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得 1s i n ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+ 12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x =+++

微分积分公式(全集)

高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 一、001 01101lim 0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿()1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃() 2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '= 六、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() () ()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ? (5) ()() cos cos 2n n ax b a ax b n π? ?+=++??? ??? ? ?

微分积分公式大全

高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? L L （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）limarctan 2 x x π →∞ = （6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot 0x x →∞ = （8）lim arccot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x : tan x x : arcsin x x : arctan x x : 2 11cos 2 x x -: ()ln 1x x +: 1x e x -: 1ln x a x a -: ()11x x ? +-?: 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '=

图解微分法和图解积分法

图解微分法和图解积分法 一些在数学上有微积分关系的物理量，常可用图解微分法和图解积分法进行研究。例如已知机构的位移曲线后，可不必通过机构各个位置的速度图解和加速度图解，直接用图解微分法作出相应的速度曲线和加速度曲线。 一．图解微分法 现以由位移曲线求速度为例，进行说明。 设有一位移曲线()t s s =，如图1-1所示，纵坐标y 代表位移s ，所用的比例尺为?? ? ??mm m s μ，横坐标x 代表时间t ，所用的比例尺为?? ? ??m m s t μ。求位移曲线上某点Ｃ的速度是，如能作出该点的切线t-t ，则所作切线的斜率即该点的速度。由于切线不容易准确作出，在工程上常用邻近两点弦线的斜率来作为切线的斜率。在Ｃ点左右做两条离开Ｃ点有等距的纵坐标线与位移曲线相交于l 及n 点，由于弦线ln 与中点Ｃ的切线接近平行，所以Ｃ点的速度可表示为 x y dx dy dt ds v t S t S ??===μμμμ （1-1） 图1-1 一般Δx 取得最小时，弦线的斜率就和中点切线的斜率越为接近，因而算出速度的精确度也较高。为了节省计算和作图的工作量，一般常取各个时间间隔的Δx 相等，于是可将上式中的()x t s ?μμ/合成为一个常数K ，从而只要依次量出各个时间间隔的Δy ，就可算出相应各时间间隔中点的速度，即 ()y K v ?= （1-2） 例如在图1-1中C 、D 点的速度分别等于K (mn ）、K (pq )。速度算出后，再选择适当的速度比例尺μｖ进行换算，即可作出速度曲线。 为了更简捷地作出速度曲线，可将式（1-1）改写成包含弦线与横坐标轴倾角α的形式：

微分积分公式大全

高等数学微分和积分数学公式（集锦） （精心总结） 一、 1 01 1 01 lim0 n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m - - →∞ ? = ? ? +++? =< ? +++? ∞> ? ?? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1 ） sin lim1 x x x → =（2）( )1 lim1x x x e → +=（3）)1 n a o >= （4）1 n =（5）limarctan 2 x x π →∞ =（6）lim tan 2 x arc x π →-∞ =- （7）limarccot0 x x →∞ =（8）lim arccot x xπ →-∞ =（9）lim0 x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞（11） lim1 x x x + → = 三、下列常用等价无穷小关系（0 x→） sin x x tan x x arcsin x x arctan x x2 1 1cos 2 x x - () ln1x x +1 x e x -1ln x a x a -() 11 x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 () u v u v ''' ±=±()uv u v uv ''' =+ 2 u u v uv v v ''' - ?? = ? ?? 五、基本导数公式 ⑴()0 c'=⑵1 x x μμ μ- =⑶() sin cos x x '= ⑷() cos sin x x '=-⑸()2 tan sec x x '=⑹()2 cot csc x x '=- ⑺() sec sec tan x x x '=?⑻() csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾() 1 ln x x '=

图解：主板电源线接法

图解：主板电源线接法 图解：主板电源线接法（电源开关、重启开关、USB、耳机麦克风等） 一般，主板电源开关和重启线不分正负，只要接上电源开关线就可以正常开机和关机了；电源和硬盘灯就分正负，不过些线接不接都不影响电脑正常使用。 一般，主板电源线等共有8根，每两根组成一组，电源开关一组，重启一组，电源灯一组（分正负），硬盘灯一组（分正负）。 一般电源线接口如下： 电源LED灯 + －电源开关 。。。。 。。。。。 + －重启未定义接口（这果多一个接口，貌似没用的） 硬盘LED灯 一般只需注意以上电源线的接法就行了，其他基本不用记，只要接口接合适就行了。 其他线如USB线、音频线、耳麦线都是整合成一组一组的，只要接口插得进就对了。

菜鸟进阶必读！主板跳线连接方法揭秘 初级用户最头疼的跳线连接 作为一名新手，要真正从头组装好自己的电脑并不容易，也许你知道CPU应该插哪儿，内存应该插哪儿，但遇到一排排复杂跳线的时候，很多新手都不知道如何下手。 钥匙开机其实并不神秘 还记不记得你第一次见到装电脑的时候，JS将CPU、内存、显卡等插在主板上，然后从兜里掏出自己的钥匙（或者是随便找颗螺丝）在主板边上轻轻一碰，电脑就运转起来了的情景吗？是不是感到很惊讶（笔者第一次见到的时候反正很惊讶）！面对一个全新的主板，JS总是不用看任何说明书，就能在1、2分钟之内将主板上密密麻麻的跳线连接好，是不是觉得他是高手？呵呵，看完今天的文章，你将会觉得这并不值得一提，并且只要你稍微记一下，就能完全记住，达到不看说明书搞定主板所有跳线的秘密。

这个叫做真正的跳线 首先我们来更正一个概念性的问题，实际上主板上那一排排需要连线的插针并不叫做“跳线”，因为它们根本达不”到跳线的功能。真正的跳线是两根/三根插针，上面有一个小小的“跳线冒”那种才应该叫做“跳线”，它能起到硬件改变设置、频率等的作用；而与机箱连线的那些插针根本起不到这个作用，所以真正意义上它们应该叫做面板连接插针，不过由于和“跳线”从外观上区别不大，所以我们也就经常管它们叫做“跳线”。 看完本文，连接这一大把的线都会变得非常轻松 至于到底是谁第一次管面板连接插针叫做“跳线”的人，相信谁也确定不了。不过既然都这么叫了，大家也都习惯了，我们也就不追究这些，所以在本文里，我们姑且管面板连接插针叫做跳线吧。 轻松识别各连接线的定义

大一微积分公式

有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '=

最新微分算子法

微分算子法

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 高阶常微分方程的微分算子法 撰写 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32 230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1 111 ()()() ()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---= ++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连 续函数，上述方程又可写成 11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡++ + ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3206116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -， 2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1(cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=??

微分积分公式全集

x 高中大学数学微分与积分公式（全集） （高中大学数学） 二 _ 、 重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、 下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、 导数的四则运算法则 五、 基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m

1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、 微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx

凑微分法解不定积分(个人用讲义)

凑微分法 一，凑微分法原理 回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义） 为了说明这个式子，我们来看几个例子： 例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。 我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将 这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们 会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。 具体的实例就不举了，多操作。 下面我要重点说说，讨厌，这个问题 二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌 什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分 我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。 根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数 所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。 最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。

微积分公式大全

导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2222 212sin cos 1121u u x du x x u tg dx u u u -==== +++，　，　，　 22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot ()ln ()(ln 1)1(log )ln x x x x a x x x x x x x x x x a a a x x x x x a '='=-'=?'=-?'='=+' = 2 2 2 (arcsin )(arccos )1 (arctan )11 (arc cot )11 ()x x x x x x thx ch '= '='= +'=- +' = 2 22 2sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc ln ln(x x dx xdx x C x dx xdx x C x x xdx x C x xdx x C a a dx C a shxdx chx C chxdx shx C x C ==+==-+?=+?=-+=+=+=+=+????????? 222222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot 1arctan 1ln 21ln 2arcsin xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C dx x C a x a a dx x a C x a a x a dx a x C a x a a x x C a =-+=+=++=-+=++-=+-++=+--=+???????? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

主板电源线接法

解：主板电源线接法（电源开关、重启开关、USB、耳机麦克风等） 一般，主板电源开关和重启线不分正负，只要接上电源开关线就可以正常开机和关机了；电源和硬盘灯就分正负，不过些线接不接都不影响电脑正常使用。 一般，主板电源线等共有8根，每两根组成一组，电源开关一组，重启一组，电源灯一组（分正负），硬盘灯一组（分正负）。 一般电源线接口如下： 电源LED灯 + －电源开关 。。。。 。。。。。 + －重启未定义接口（这果多一个接口，貌似没用的） 硬盘LED灯 一般只需注意以上电源线的接法就行了，其他基本不用记，只要接口接合适就行了。 其他线如USB线、音频线、耳麦线都是整合成一组一组的，只要接口插得进就对了。 菜鸟进阶必读！主板跳线连接方法揭秘 初级用户最头疼的跳线连接 作为一名新手，要真正从头组装好自己的电脑并不容易，也许你知道CPU 应该插哪儿，内存应该插哪儿，但遇到一排排复杂跳线的时候，很多新手都不知道如何下手。

钥匙开机其实并不神秘 还记不记得你第一次见到装电脑的时候，JS将CPU、内存、显卡等插在主板上，然后从兜里掏出自己的钥匙（或者是随便找颗螺丝）在主板边上轻轻一碰，电脑就运转起来了的情景吗？是不是感到很惊讶（笔者第一次见到的时候反正很惊讶）！面对一个全新的主板，JS总是不用看任何说明书，就能在1、2分钟之内将主板上密密麻麻的跳线连接好，是不是觉得他是高手？呵呵，看完今天的文章，你将会觉得这并不值得一提，并且只要你稍微记一下，就能完全记住，达到不看说明书搞定主板所有跳线的秘密。

这个叫做真正的跳线 首先我们来更正一个概念性的问题，实际上主板上那一排排需要连线的插针并不叫做“跳线”，因为它们根本达不”到跳线的功能。真正的跳线是两根/三根插针，上面有一个小小的“跳线冒”那种才应该叫做“跳线”，它能起到硬件改变设置、频率等的作用；而与机箱连线的那些插针根本起不到这个作用，所以真正意义上它们应该叫做面板连接插针，不过由于和“跳线”从外观上区别不大，所以我们也就经常管它们叫做“跳线”。

高等数学积分公式和微积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

电线最规范的接法

电线最规范的接法 电线最规范的三种接法 下面是第一种接法。注意：在家装中是不应有接头的，特别是在线管内更不能有接头，如果有接头也应该是在电线盒内。通常的电线接头都是这样的接法，才能保证电线接头不发生打火、短路，与接触不良的现象。 下面是第二种接法(防火胶布隔离法)，多用于吊项内，或比较高能的工程中，主线不能能弄断，符线绕主线6--8周，吊顶内的射灯，一路上要有很多灯就是这样接法，用防火胶布缠在里面，它的作用就是防止电打火烧坏东西，这是在吊顶内很重要。外面再用绝缘胶布缠绕。

下面是第三种接法，就是压线冒接线法，这种方法是最规范和最实用的，但是它需要专用工具来做，压线冒的压线钳来压线，把压电线用的专用钳子，套在压线冒上，用力压紧就行了。另外还要说一下，压线冒的大小根据所压线经的大小与根数有关我们常用的是T4型的，就是直径毫米的，能压四根四平方毫米的电线。

我们见过很多电线的事故发生，有一部分是电线超负荷的使用造成的，另一部分是电线的接头松动造成的。电线线盒内的接头不付合规范，电线不受负载情况下，没有一点事，只要一推上电闸就会跳闸，并且电线的接线盒内就会"啪啪"几声的冒火，后再出现跳闸声，这种现象全部是由于，电线的接头不规范，电压在受负载的情况下，接触不良造成的。下面是第一种接法。注意：在家装中是不应有接头的，特别是在线管内更不能有接头，如果有接头也应该是在电线盒内。通常的电线接头都是这样的接法，才能保证电线接头不发生打火、短路，

与接触不良的现象。 导线的几种连接方法 1．剖削导线绝缘层可用剥线钳或钢丝钳剥削导线的绝缘层，也可用电工刀剖削塑料硬线的绝缘层，如图3—1所示。 用电工刀剖削塑料硬线绝缘层时，电工刀刀口在需要剖削的导线上与导线成450夹角，如图3—1b)所示，斜切入绝缘层，然后以250度角倾斜推削，如图3—1c)所示。最后将剖开的绝缘层折叠，齐根剖削如图3—1d)所示。剖削绝缘时不要削伤线芯。 2．单股铜芯导线的直线连接和T形分支连接 (1) 单股铜芯导线的直线连接先将两线头剖削出一定长度的线芯， 清除线芯表面氧化层，将两线芯作X形交叉，并相互绞绕2～3圈，再扳直线头，如3—2b）示。将扳直的两线头向两边各紧密绕6圈，切除余下线头并钳平线头末端。 (2) 单股铜芯导线的T 形分支连接将剖削好的线芯与干线线芯十字相交，支路线芯根部留出约3～5mm，然后顺时针方向在干线线芯上密绕6～8圈，用钢丝钳切除余下线芯，钳平线芯末端，如图3—3所示。 3．7股铜芯导线的直线和T形分支连接 (1) 7股铜芯导线的直线连接首先将两线线端剖削出约150mm并将靠近绝缘层约1/3段线芯绞紧，散开拉直线芯。清洁线芯表面氧化层，然后再将线芯整理成伞状，把两伞状线芯隔根对叉，所示。理平线芯，把7根线芯分成2、2、 3三组，把第一组2根线芯扳成如图3—4c)所示状态，顺时针方向紧密缠绕2圈后扳平余下线芯，再把第二组的2根线芯扳垂直，所示。用第二组线芯压住第一组余下的线芯紧密缠绕2圈扳平余下线芯，用第三组的3根线芯压住余压的线芯，所示，紧密缠绕3圈，切除余下的线芯，钳平线端，用同样的方法完成另一边的缠绕，完成7股导线的直线连接。 (2) 7股铜芯导线的T形分支连接剖削干线和支线的绝缘层，绞紧支线靠近绝缘层1/8处的线芯，散开支线线芯，拉直并清洁表面，所示。把支线线芯分成4根和3根两组排齐，将4根组插入干线线芯中间，所示。把留在外面的3根组线芯，在干线线芯上顺时针方向紧密缠绕4～5圈，切除余下线芯钳平线端。再用4根组线芯在干线线芯的另一侧顺时针方向紧密缠绕3～4圈，切除余下线芯，钳平线端，所示完成T形分支连接。 4．19股铜芯导线的连接其方法与7股导线相似。因其线芯股数较多，在直线连接时,可钳去线芯中间几根。

2凑微分法

第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求： 熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：凑微分法，变量代换法。 难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容： 一、 凑微分法 利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。 例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。 解 因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 21 (='， 所以c x xdx +=?2sin 2 12cos 。 例2 求dx x ?)4sin(3 解 ) 4sin(3))4cos(4 3() 4sin())4cos(4 1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =- ?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(4 3)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：) (12+=' t ，联想到 )(u = ' ，再想到 u u u u u u = '?= = '=')3 2( 2 32 3)()(3 23 23 3 如果12+=t u

1 2))12(3 1( 1 22)12(12))12(3 2( 3 3 += '+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++= +? 3 )12(3 112。 在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ） 例4 求dx x x ?+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2 x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作? ?'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 2 1x +， 由于 c u du u du u f += =?? 23 3 2)( 就可以得到 c x dx x x ++= +?32 2 2 )1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。 把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则 或者 ?? = +=du u f c u F dx dx du u f )()()(， 例5 求? +dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

常用微积分公式大全

常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.