直线及圆的参数方程

直线及圆的参数方程

教学重点和难点:

直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。

例题分析:

例1．下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。

（1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数）

解:（1）始点（-2，3），倾角为π是点角式参数方程。

（2）不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1。

但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准式即（t为参数）

（3）（t为参数）不是点角式参数方程，令t'=-t，得，

∴直线始点为（-2，2），倾角为。

例2．写出过点A（1，-2），倾角为45°的直线l1的点角式参数方程，若l1与l2:x+2y-4=0

相交于B。

（1）求|AB|；（2）求点B的坐标。

解:设l1的参数方程为:

（I）（t为参数）

把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0

解出t=（II），∴|AB|=|t-0|=

把（II）代入（I）得:B(, )。

小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。

例3．求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。

解：（1）用普通方程解决，设弦中点P(x0, y0)，弦的两端点A(x1, y1), B(x2, y2)

由已知得:

(1)-(2)：=0，

∴ (6)

将(5)代入(6)，∴2=, ∴x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。

法（2）参数方程解题设弦中点P(x0,y0)，弦的倾角为a，

∴平行弦的直线参数方程为:（t为参数）(1)

将（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:

(2cos2α+3sin2α)t2+2(2x0cosα+3ysinα)t+2x02+3y02-6=0,

∴t1+t2=

∵P为弦中点，∴t1+t2=0，即2x0cosα+3y0sinα=0，又tgα=2, ∴2x0+6y0=0,

∴P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1内的一条线段。

小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中t1+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。

例4．设M，N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，

过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。

证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP1，NQ1的参数方程为:

（1）和（2）其中t是参数，α是倾斜角。

把（1）（2）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，∴

|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|

评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t1|,|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。

例5．椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M，N

两点，设∠F2F1M=α，

α∈[0,π），若|MN|等于短轴时，求α。

解:∵a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，∴椭圆方程+y2=1。

法（1）设MN所在直线参数方程为....(1)（t为参数）

将(1)代入+y2=1得:(1+8sin2α)t2-4tcosα-1=0

∴t1+t2=, t1·t2=,2b=2。

∴|t1-t2|2=,

∴=22, ∴sin2α=,

∵α∈[0,π），∴sinα=, ∴α=或π。

（法二）设MN方程:y=k(x+2)

x1+x2=......(1),x1.x2= (2)

∵|MN|=|x1-x2|.......又|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2 (3)

将(1),(2)代入(3)，将(3)代入(I)解得:k2=(下略)

另； ∵e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定义:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a

∴|MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, ∴2=·+6, ∴k2=(下略)。

评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更加简化，减少运算的出错可能。

例6．过M(-1,0)的直线l交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且|MA|=3|MB|，求直线l的方程。

分析:∵|MA|=3|MB|，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点角式，直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去应用。

解:设直线MA的参数方程为（t为参数）∴(-1+tcosα)2-t2sin2α-10=0

(cos2α-sin2α)t2-2tcosα-9=0，∴有t1+t2=, t1·t2=

又|MA|=3|MB|，∴t1=±3t2。

当t1=±3t2时，∴4t2=, 3=,

∴t2=, ∴3=,

解得:cos2α=，sin2α=, tgα=±，∴l: y=±(x+1)。

当t1=3t2时，同理可求l:y=(x+1)。

本周小结:

直线参数方程点角式问题，应注重从下面几点讲解。<1>会判断方程是否为点角式参数方程；<2>若参数方程为

会化为点角式，并会求出倾角，一定要注意倾角的范围。<3>会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。

参考练习:

1．直线:（t为参数）的倾斜角是（）

A、20°

B、70°

C、110°

D、160°

2．直线（t是参数）与圆（α为参数）相交所得弦长为（）

A、(3-)

B、

C、

D、(3+)

3．圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2)，AB为过P0且倾角为α的弦。

（1）当α=π，求|AB|；（2）当弦A'B'被点P0平分时，写出直线A'B'的方程。

参考答案:

1.C

2.B

3.解:设直线AB方程为:(1)（t为参数）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cosα-2sinα)t-3=0 (2)

∵直线与圆相交，∴(2)有实根，则由韦达定理:t1+t2=2(cosα-sinα), t1·t2=-3,

(1)当α=π时，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=[2(cosπ-sinπ)]2-4×(-3)=30

∴|AB|=。

（2）弦A'B'被点P0平分∴cosα-2sinα)=0tgα=，即k=,

∴A'B'方程为:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。

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选择题

1．直线（t为参数）的倾斜角是（）

A、20°

B、70°

C、110°

D、160°

2．曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线是（）

A、线段

B、双曲线的一支

C、圆弧

D、射线

3．椭圆的两个焦点坐标是（）

A、(-3,5), (-3,-3)

B、(3,3),(3,-5)

C、(1,1),(-7,1)

D、(7,-1),(-1,-1)

4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（）

A、B、C、D、

5．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是（）

A、(x-1)2(y-1)=1

B、y=

C、y=-1

D、y=+1

答案与解析

答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B

解析：

1．本题考查三角变换及直线的参数方程。

解：由直线方程知此直线过定点(3，0)，那么它的斜率k===-ctg20°=tg(90°+20°)=tg110°。因此直线的倾斜角为110°。故应选C。

2．本小题考查化参数方程为普通方程的方法，及解不等式的知识。

解：消去参数t，得x-3y-5=0。因为0≤t≤5，所以2≤x≤77，-1≤y≤24。因此是一条线段，故选A。

3．本小题考查参数方程和椭圆方程的知识，以及坐标轴平移。

解：原方程消参得=1，是中心为（3，-1），焦点在x=3这条直线上的椭圆，c=4，∴焦点坐标为(3，3)及(3，-5)，所以选B。

4．本小题考查参数方程和三角函数式的恒等变形

解：选项A中x≥0，与x2-y=0中x的取值范围不符；B中，-1≤x≤1，与x2-y=0中的x范围不符；

C中，y==ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，y==tg2t=x2，即x2-y=0，故选D。

5．本题考查参数方程的知识。

解：由参数方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故选B

参数方程、极坐标知识小结

一、求轨迹的参数方程

（1）对于曲线的参数方程应注意以下两点：一是参数方程中参数的变化范围是有限制的；二是给出一个t，解出唯一对应的x, y的值，因而得出唯一的对应点。

（2）可供选择的参数较多，如角度、时间、点的坐标、位移、直线斜率等。

二、普通方程与参数方程的互化

1．注意方程等价性

在曲线的普通方程与参数方程的互化中应注意方程的等价性．通过参数的取值范围推出x、y的取值范围。

2．消去参数，把参数方程化为普通方程

化曲线的参数方程为普通方程可用代数消元法和三角消元法，如果参数方程中不含三角函数式，或者参数方程中虽含三角函数式，但三角函数中不含参数，用代入等代数方法消去参数；如果三角函数式含参数，可用三角函数关系消去参数。当然问题不是绝对的，有的题目既可以用代数方法又可用三角方法。

3．普通方程化参数方程

由普通方程化为参数方程，应注意恰当地选择参数，一般在与运动有关的问题中往往选时间为参数，与旋转有关的某些曲线中往往选角度为参数。参数选择得不同，所得方程也不同。因此，同一条曲线的参数方程不是唯一的。注意应用参数方程及参数的几何意义解题，有时可使解法简便。

三、求轨迹的极坐标方程

1．直接法

建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现。也就是说，建立起这个三角形中的边角关系，就是建立了极坐标方程。

2．转移法

如果已知某直线的极坐标方程，求受该直线制约的动点轨迹方程时，常使用转移法，利用已知的极坐标方程推出所求的极坐标的方程。

3．参数法

在建立曲线的极坐标方程时也可运用参数法，先适当地选取参数t，建立动点的坐标ρ、θ与t的关系：

(t为参数)

这就是动点轨迹的参数方程。再消去参数t，就得到极坐标方程。

注意在求曲线的极坐标方程时，要特别注意点的极坐标(ρ, θ)取值范围。因为在极坐标系中，平面上所有点的集合与极坐标之间不是”一一对应的；一般情况下，如果限制ρ＞0，0≤θ≤2π，则除极点外，平面内的点和它的极坐标之间便可以一一对应。但是这样的限制对于研究曲线的极坐标方程有时有妨碍。如限制0≤θ≤2π，那么螺线ρ=aθ只表示动点M的轨迹的一部分，这时螺线只剩下圈了，这显然是不合适的。

四、极坐标方程与直角坐标方程互化

1．极坐标方程与直角坐标方程互化时要注意以下两点：

①在一般情况下ρ取正值，θ取最小正角；

②由tanθ=求θ时，因为在(0,2π)中满足条件的θ的值有两个，这必须由原来的点所在的象限来确定θ的值。

2．化直角坐标方程为极坐标方程应注意所得方程之间的关系。例如所求极坐标方程为ρ=0及ρ=2asinθ。因为ρ=0包含于ρ=2asinθ，所以最后答案方程为ρ=2asinθ即可。

3．化极坐标方程为直角坐标方程时注意方程变形时的等价性。

五、极坐标系中点的对称性

若点P(ρ,θ), 则点P关于极轴的对称点是(ρ,-θ)或(-ρ, π-θ)；关于极垂线的对称点为(ρ,π-θ)或

(-ρ,-θ)；关于极点的对称点是(ρ,π+θ)或(-ρ,θ)。

高考真题解析

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选修4-4.doc

2019-2020学年高中数学 2.2圆的参数方程及应用教案 北师大版选 修4-4 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取

???==θθ sin 5cos 5:1y x C (θ为参数)和???+=+=0 0245 sin 345cos 4:t y t x C (t 为参数) （1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ sin(θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2 +y 2 -2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?

椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (2 2 0220=-+-的参数方程是???α +=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α +=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 y x 2 2（20π <α<）， 22b a 4+， 例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+ ?+α=++=cos 82110 21cos 12211x 21x x B A 3sin 42 119 21sin 6211y 21y y B A +α=+ ?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α =3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值

例3 设点P （x ，y ）在椭圆19y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则55 53arcsin sin 534|5sin 4cos 3|d 22-??? ? ? +α= +-α+α=。 当5 3 arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 P ， π），A （a ，0）。 解得1cos =α（舍去），或2 22 b a b cos -=α。 因为1cos 1<α<-，所以1b a b 1222<-<-。可转化为1e e 112 2<-<-，解得21e 2 > ，于是1e 22<<。故离心率e 的取值范围是? ?? ? ??122，。 [截距法]解线性规划问题 由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =- +，则z b 为直线y a b x z b =-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。 （2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1

参数方程直线、圆专题练习

参数方程直线、圆专题练习... 评卷人得分 一．选择题（共9小题） 1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（） A．0 B．C．D．2 2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D． 3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（） A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线 5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支 6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3） 7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（）A．αB．α﹣C．α+D．α+

8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（） A．B．﹣C．2 D．﹣2 评卷人得分 二．填空题（共16小题） 10．参数方程（α为参数）化成普通方程为． 11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为 13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是． 14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为． 15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是． 16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．

圆的参数方程习题

圆的参数方程习题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

圆的参数方程习题 1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么 [ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线l上 C．点P在圆M上，又在直线l上 D．点P既不在圆M上，又不在直线l上 2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是 [ ] A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程

迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．

8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程． 9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数) (1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆． (2)求圆心的轨迹方程． 10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．

圆的参数方程习题答案 1．C 2．A 8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1 O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1 设P点为(x 0，y ) 9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0

即(x －acosθ)2＋(y －asinθ)2=a 2 ． ∴不论Q 是何值，方程总表示圆心在(acos θ，asin θ)半径为a 的圆． ∴圆心的轨迹方程为x 2＋y 2=a 2 的交点为A ，B ，A 、B 对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方

北师大版高三数学选修4-4教案：2.2圆的参数方程及应用

第二课时 圆的参数方程及应用 一、教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取

（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。 （二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合） 例2、1、已知点P （x ，y ）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，求（1） x2+y2 的最值， （2）x+y 的最值， （3）P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。 解：圆x2+y2- 6x- 4y+12=0即（x- 3）2+（y- 2）2=1，用参数方程表示为 由于点P 在圆上，所以可设P （3+cos θ，2+sin θ）， （1） x2+y2 = (3+cos θ)2+(2+sin θ)2 =14+4 sin θ +6cos θ θ +ψ). (其中tan ψ =3/2) ∴ x2+y2 的最大值为 。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ （ θ + 4 π ）∴ x+y 的最大值为 ，最 小值为 。 (3)2 | )4 sin(24|2 | 1sin 2cos 3|π θθθ++= -+++= d 显然当1)4 sin(±=+ π θ时，d 取最大值，最小值，分别为1+ 1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2 +y 2 -2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为 最短的直线方程是__________； 3、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0，则x -2y 的最大值为 。 （三）、课堂练习：学生练习：1、2 （四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 （五）、作业：课本P39页A 组6、7、8 B 组5 1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D ） A ．一个定点 B ．一个椭圆 C ．一条抛物线 D ．一条直线 2、已知)(sin cos 2为参数θθ θ ?? ?=+=y x ，则22)4()5(++-y x 的最大值是6。 3cos 2sin x y θ θ =+?? =+?

直线及圆的参数方程

直线及圆的参数方程 教学重点和难点: 直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。 例题分析: 例1．下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。 （1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数） 解:（1）始点（-2，3），倾角为π是点角式参数方程。 （2）不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1。 但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准式即（t为参数） （3）（t为参数）不是点角式参数方程，令t'=-t，得， ∴直线始点为（-2，2），倾角为。 例2．写出过点A（1，-2），倾角为45°的直线l1的点角式参数方程，若l1与l2:x+2y-4=0 相交于B。 （1）求|AB|；（2）求点B的坐标。 解:设l1的参数方程为:

（I）（t为参数） 把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II），∴|AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。 例3．求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。 解：（1）用普通方程解决，设弦中点P(x0, y0)，弦的两端点A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1)-(2)：=0， ∴ (6) 将(5)代入(6)，∴2=, ∴x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。

法（2）参数方程解题设弦中点P(x0,y0)，弦的倾角为a， ∴平行弦的直线参数方程为:（t为参数）(1) 将（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得: (2cos2α+3sin2α)t2+2(2x0cosα+3ysinα)t+2x02+3y02-6=0, ∴t1+t2= ∵P为弦中点，∴t1+t2=0，即2x0cosα+3y0sinα=0，又tgα=2, ∴2x0+6y0=0, ∴P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1内的一条线段。 小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中t1+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。 例4．设M，N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称， 过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证:|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|。 证明:由已知可设M(a,0), N(-a, 0)(a>0) 则直线MP1，NQ1的参数方程为: （1）和（2）其中t是参数，α是倾斜角。 把（1）（2）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得:|MP1|·|MP2|=，|NQ1|·|NQ2|=，∴ |MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2| 评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|t1|,|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。 例5．椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M，N 两点，设∠F2F1M=α， α∈[0,π），若|MN|等于短轴时，求α。 解:∵a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，∴椭圆方程+y2=1。

圆的参数方程练习题有答案教学教材

圆的参数方程 1.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ y ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)， B ? ???－3，3 2是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入?????x ＝2cos θy ＝3sin θ，得? ????cos θ＝1，sin θ＝0. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0. 将点B ????－3，32的坐标代入? ????x ＝2cos θy ＝3sin θ， 得?????－3＝2cos θ， 32 ＝3sin θ， 即???cos θ＝－32，sin θ＝1 2. 由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π 6 ， 所以点B ????－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π 6 . 2.已知曲线C 的参数方程是? ????x ＝2t y ＝3t 2 －1，(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值． [思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组． [解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????0＝2t －1＝3t 2 －1，∴t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上． 把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程? ????x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得?????4＝2t 10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上， ∴? ??? ?2＝2t ，a ＝3t 2 －1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2. 3.已知曲线C 的参数方程为? ????x ＝t 2 ＋1 y ＝2t ，(t 为参数)． ①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上． 把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到???? ?3＝t 2＋1，2＝2t ，即???t ＝±2，t ＝1. 故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6. 4.(1)曲线C ：? ????x ＝t y ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________． 解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)

椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程及其应用 大纲对椭圆的参数方程的要求是达到理解的程度，如果适当地引进一点简单的参数方程知识，可以起到拓宽视野，简化平面解析几何的运算的功效。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用，希望能够给读者一些启迪。 一般都是这样定义的： 椭圆1b )y y (a )x x (22022 0=-+-的参数方程是? ??α+=α+=sin b y y cos a x x 00（α是参数，0b 0a >>，）。 特别地，以点（00y x ，）为圆心，半径是r 的椭圆的参数方程是? ??α+=α+=sin r y y cos r x x 00（α是参数，r>0）。 一、求椭圆的内接多边形的周长及面积 例1 求椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+的内接矩形的面积及周长的最大值。 解：如图，设椭圆1b y a x 22 22=+的内接矩形在第一象限的顶点是A （ααsin b cos a ，）（2 0π<α<），矩形的面积和周长分别是S 、L 。 ab 22sin ab 2sin b cos a 4|EA ||FA |4S ≤α=α?α=?=， 当且仅当4 a π=时，22m a x b a 4sin b 4cos a 4|)EA ||FA (|4L ab 2S +≤α+α=+==，，22max b a 4L +=，此时α存在。 二、求轨迹

例2 已知点A 在椭圆136y 144x 22=+上运动，点B （0，9）、点M 在线段AB 上，且2 1MB AM =，试求动点M 的轨迹方程。 解：由题意知B （0，9），设A （ααsin 6cos 12，），并且设M （x ，y ）。 则，α=+?+α=++=cos 82 11021cos 12211x 21x x B A 3sin 42 11921sin 6211y 21y y B A +α=+?+α=++=， 动点M 的轨迹的参数方程是? ??+α=α=3sin 4y cos 8x （α是参数）， 消去参数得116 )3y (64x 2 2=-+。 三、求函数的最值 例3 设点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+，试求点P 到直线05y x =-+的距离d 的最大值和最小值。 解：点P （x ，y ）在椭圆19 y 16x 2 2=+上，设点P （ααsin 3cos 4，）（α是参数且)20[π∈α，）， 则5553arcsin sin 53 4|5sin 4cos 3|d 22-??? ??+α=+-α+α=。 当5 3arcsin 2-π=α时，距离d 有最小值0，此时椭圆19y 16x 22=+与直线05y x =-+相切；当5 3arcsin 23-π=α时，距离d 有最大值2。 四、求解有关离心率等入手比较困难的问题

直线的参数方程及其应用举例

直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x

直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α )t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα <2>一般形式 )1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： )y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα 的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0 :t,M M 0故即= <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0

<3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 2t t t 2 1M += （3）圆锥曲线的参数方程 <1>)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+ 轴正方向的旋转角 的几何意义动半径对于其中x α <2> 其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ 角）。 <3>)(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???== <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 )(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????== （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式

(完整版)圆的参数方程及应用

圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=?。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++?2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆2 2 4x y +=上有定点A （2，0），及 两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= 3 π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。 【解】由∠BAC=3 π ，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π ))，由重心坐标公式并化简，得： C x y O A B 图1

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圆的参数方程及应用 对于圆的普通方程 (x a)2 ( y b)2 R 2 来说，圆的方程还有另外一种表达 x a Rcos 形式 ( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达 y b Rsin 形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。 【解】圆 x 2 y 2 1的参数方程为： x cos 。 y sin 则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos 3sin 2 = 1 cos2 sin 2 3 1 cos2 2 sin 2 cos2 = 2 2 sin(2 2 2 k 3 （k ∈Z ）时， x 2 2xy 3 y 2 的最大值为： 2 2 ； k 8 时， x 2 2xy 3y 2 的最小值为 2 2 。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问 y 题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的 ) ，则 4 （ k ∈Z ） 8 方法解决。 B 二、求轨迹 O A x C 例 2 在圆 x 2 y 2 4 上有定点 A （2，0），及 图 1 两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。 3 ，得∠BOC= 2 4 ），则 B(2cos θ,2sin 【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3 θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2 ))，由重心坐标公式并化简，得： 3 3

参数方程极坐标圆与直线部分

参数方程极坐标第三天 题型三：（如果不会了别急着看答案，先看第二页例题） 已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标. [解析] （Ⅰ）由，可得 所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为， 曲线的极坐标方程化为参数方程为（5分） （Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为， 由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为 ，；, .

题型三例题（先用直角坐标求最后转化极坐标） 已知圆θθρsin cos :+=O 和直线:l 2 2)4sin(=-πθρ。(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；当),0(πθ∈时，求直线l 于圆O 公共点的极坐标。 解：（1）圆θθρsin cos :+=O ，即θρθρρsin cos 2+= 圆O 的直角坐标方程为：y x y x +=+22，即022=--+y x y x 直线:l 2 2)4sin (= -πθρ，即1c o s si n =-θρθρ则直线的直角坐标方程为：1=-x y ，即01=+-y x 。 （2）由???=+-=--+0 1022y x y x y x 得???==10y x 故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为)2,1(π。

练习 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为?????==θ θsin 2cos 6y x (θ为参数)，直线l 的参数方程为??? ????-==t y t x 21223(t 为参数)，T 为直线l 与曲线C 的公共点，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求点T 的极坐标； （II ）将曲线C 上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)后得到曲线W ，过点T 作直线m ，若直线m 被曲线W 截得的线段长为32，求直线m 的极坐标方程. 解：（I ）C 的普通方程为12622=+y x 。将??? ????-==t y t x 21223代入上式整理得0442=+-t t ，解得2=t 故点T 的坐标为)1,3(，其极坐标为)6,2(π . ………………………5分 （II ）坐标变换式为???='='y y x x 3故W 的方程为12 )3(622=+y x ，即622=+y x …7分 当直线m 的斜率存在时,设其方程为)3(1-=-x k y ，即013=+--k y kx ， 由圆心)0,0(到直线m 距离3得31132=++-k k ，33-=k ，∴直线m 为233+-=x y ， 当直线m 的斜率不存在时，其方程为3=x ，显然成立. 故直线m 的极坐标方程为3cos =θρ或2cos 33sin =+ θρθρ. …………………10分

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课题：圆的参数方程及应用 教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学方法：启发、诱导发现教学. 课时数：1课时 教学过程： 一、复习引入 1、曲线的参数方程的定义、求法步骤 x y O r M M0

4 2 -2 -4 -5 5 c 1 A P C 2、圆的方程. 3、（一）、圆的参数方程探求 1、学生阅读课本P32,根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。 )(sin cos 为参数θθ θ?? ?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。 说明：（1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 思考交流：你能回答课本第33页的思考交流题吗？ 3、若如图取

..圆的参数方程及应用(教学设计)

2.1.2 圆的参数方程及应用(教学设计) 教学目标： 知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合） 过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程。 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程 教学难点：选择圆的参数方程求最值问题. 教学过程： 一、复习回顾： 1、曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：?? ?==) ()(t g y t f x 反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：?? ?==)() (t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程? ? ?==)() (t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。 2、参数方程的求法： （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ； （2）选取适当的参数； （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式； （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程。 二、师生互动，新课讲解: （一）、圆的参数方程探求 1、根据图形求出圆的参数方程） 圆2 22r y x =+参数方程? ??==θθsin cos r y r x （θ为参数） 说明： （1）参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。 （2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。 （2）圆2 2020)()(r y y x x =-+-参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 例1：已知圆方程x 2+y 2+2x -6y +9=0，将它化为参数方程。 x y O r M M 0

参数方程直线、圆专题练习

参数方程直线、圆专题练习、、、 评卷人得分 一.选择题(共9小题) 1.曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的方程为x﹣y﹣2=0,P、M 分别为曲线C与直线l上的点,则|PM|的最小值为() A.0 B. C. D.2 2.直线l的参数方程为(t为参数),则l的倾斜角大小为() A. B. C. D. 3.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相交的弦长为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知曲线的参数方程为(0≤t≤5),则曲线为() A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线 5.参数方程(t为参数,且0≤t≤3)所表示的曲线就是() A.直线 B.圆弧 C.线段 D.双曲线的一支 6.椭圆的参数方程为(θ为参数),则它的两个焦点坐标就是() A.(±4,0) B.(0,±4) C.(±5,0) D.(0,±3) 7.已知α就是锐角,则直线(t为参数)的倾斜角就是() A.α B.α﹣ C.α+ D.α+ 8.已知M为曲线C:(θ为参数)上的动点.设O为原点,则|OM|的最大值就是() A.1 B.2 C.3 D.4

9.已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为() A. B.﹣ C.2 D.﹣2 评卷人得分 二.填空题(共16小题) 10.参数方程(α为参数)化成普通方程为. 11.已知椭圆的参数方程为,则该椭圆的普通方程就是. 12.椭圆(θ为参数)的右焦点坐标为 13.已知圆C的参数方程为(θ为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,则直线l截圆C所得的弦长就是. 14.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数)相切,则实数m的值为. 15.设点A就是曲线就是参数)上的点,则点A到坐标原点的最大距离就是. 16.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点个数为. 17.参数方程(θ为参数)化为普通方程就是. 18.直角坐标系xOy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:ρcos(θ+)=t,若两曲线有公共点,则t的取值范围就是. 19.直线(t为参数)对应的普通方程就是.

2016_2017学年高中数学第二章参数方程2_3参数方程的应用第2课时圆椭圆的参数方程的应用学案苏

圆、椭圆的参数方程的应用 1．能用曲线的参数方程去研究曲线的性质． 2．会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题． [基础·初探] 1．圆的参数方程 圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a ＋r cos α， y ＝b ＋r sin α(α为参数)．其中，参数α的几何 意义是以圆心A (a ，b )为顶点，且与x 轴同向的射线按逆时针方向旋转到圆上一点P 所在半径成的角． 2．椭圆的参数方程 椭圆的参数方程的常见形式为? ?? ?? x ＝a cos θ， y ＝b sin θ(θ为参数)． [思考·探究] 1．椭圆的参数方程与圆的参数方程有什么区别和联系？ 【提示】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝r 2 普通方程都是平方和等于1的形式， 故参数方程都运用了三角代换法，只是参数方程的常数不同． 2．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？ 【提示】 从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令????? x ′＝1a x ，y ′＝1 b y ， 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以变成圆x ′2＋y ′2 ＝1.

利用圆x ′2＋y ′2 ＝1的参数方程 ????? x ′＝cos φ，y ′＝sin φ (φ是参数)可以得到椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程??? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为离心角)，而不是OM 的旋转角，如图． [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 圆的参数方程的应用 在圆x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5＝0的距离最大． 【自主解答】 圆的方程x 2 ＋2x ＋y 2 ＝0可化为(x ＋1)2 ＋y 2 ＝1，所以设圆的参数方程为 ? ?? ?? x ＝－1＋cos θ， y ＝sin θ. 设P (－1＋cos θ，sin θ)，则点P 到直线2x ＋3y －5＝0的距离为 d ＝ |2 －1＋cos θ＋3sin θ－5| 22＋3 2 ＝ |2cos θ＋3sin θ－7| 13 ＝ |13sin θ＋α－7|13 (其中sin α＝213 13， cos α＝313 13 )． 当sin(θ＋α)＝－1，θ＋α＝3π 2 ，