靖安县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
靖安县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（
，﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（
）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
2． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ）A ．3
B ．
C ．2
D ．6
4． 下列结论正确的是（
）
A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．
B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．
C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2
D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α
5． 已知双曲线的方程为﹣
=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或D ．
或
6． 已知向量，，若，则实数（ ）
(,1)a t = (2,1)b t =+ ||||a b a b +=-
t =A.
B. C. D. 2-1
-1
2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．7． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ）
A ．M=P
B ．P ?M
C ．M ?P
D ．M ∪P=R
8． 已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长
M )1,0(M y x 22
=x M ||PQ 等于（ ）
||PQ A ．2 B ．3 C ．4 D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，
难度较大.
9． 在ABC ?中，2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]
A ．(0,
]6
π
B ．[
,)6
π
π C. (0,
]3
π
D ．[
,)
3
π
π10．已知F 1、F 2
是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（
）
A ．（0，1）
B ．（0，]
C ．（0，）
D ．[，1）
11．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
时，则输入的值为（
）2
1
A ．
B ．
C ．或
D ．或21-1-21-10
12．已知函数（）在定义域上为单调递增函数，则的最小值是（ ）2
()2ln 2f x a x x x =+-a R ∈A ．
B ．
C ．
D ．
1
4
1
2
二、填空题
13．定义在R 上的可导函数()f x ，已知
()
f x y e
=′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．
a ，
b ，
c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
15．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，{}n a 1a m =n n S 2132n n S S n n ++=+n N *?∈1n n a a +<恒成立，则的取值范围是_______．
m 【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
16．已知函数，，其图象上任意一点处的切线的斜率恒()ln a f x x x =+
(0,3]x ∈00(,)P x y 12
k ≤成立，则实数的取值范围是
．
17．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ．
三、解答题
18．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．
19．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
20．（本小题满分12分）已知函数．1
()ln (42)()f x m x m x m x
=+-+∈R （1）时，求函数的单调区间；当2m >()f x （2）设，不等式对任意的恒成立，求实数的[],1,3t s ∈|()()|(ln 3)(2)2ln 3f t f s a m -<+--()4,6m ∈a 取值范围．
【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．
21．如图所示，在正方体中．1111ABCD A B C D -（1）求与所成角的大小；
11A C 1B C （2）若、分别为、的中点，求与所成角的大小．
E F AB AD 11A C EF
22．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；
（Ⅱ）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求
的值．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为方程为x C r =（），直线的参数方程为（为参数）．
],0[πθ∈l 2t cos 2sin x y t a
a
ì=+?í
=+??t （I ）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直，求点的直角坐标和曲线C D C C D +2=0x y +D 的参数方程；
（II ）设直线与曲线有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．
l C l 24．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ）（1）求f （1）的值，
（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．
靖安县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，
∴sin（﹣α）=．
∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）
=+=，
∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）
=﹣=．
∴cos2﹣sin cos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα
=﹣=，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
2．【答案】B
【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，
若a⊥b，则α⊥β不一定成立，
故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，
∴c=2，a=3，
∴b=
∴2b=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．
4． 【答案】B
【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确；B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；
C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；
D 中选项也可能相交．故选：B ．
【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
5． 【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为
﹣
=1，
焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2=3m ，离心率e=
．
焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2=﹣3m ，
离心率e==．
故选：C ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
6． 【答案】B 【解析】由知，，∴，解得，故选B.
||||a b a b +=- a b ⊥ (2)110a b t t ?=++?=
1t =-7． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}；∴P ?M ．故选B ．
8． 【答案】A
【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为M MN x N ),(00y x M )0,(0x N MNQ Rt ?0||y MN =MQ 圆的半径，为的一半，因此
NQ PQ 22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)
PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+又点在抛物线上，∴，∴，∴.
M 02
02y x =2
2
00||
4(21)4PQ x y =-+=2||=PQ
9． 【答案】C 【
解
析
】
考点：三角形中正余弦定理的运用.10．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，∵
=0，
∴M 点的轨迹是以原点O 为圆心，半焦距c 为半径的圆．又M 点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即c ＜b ，c 2＜b 2=a 2﹣c 2．
∴e 2=
＜，∴0＜e ＜
．
故选：C ．
【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．
11．【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数 ，当时，，解得，当时，，
???=x y x lg 20
0>≤x x 0≤x 212=x
1-=x 0>x 21lg =x
解得，所以输入的是或，故选D.10=x 1-10考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]12．【答案】A 【解析】
试题分析：由题意知函数定义域为，，因为函数),0(+∞2'
222()x x a f x x
++=2
()2ln 2f x a x x x
=+-（）在定义域上为单调递增函数在定义域上恒成立，转化为在a R ∈0)('≥x f 2
()222h x x x a =++)
,0(+∞恒成立，，故选A. 1
1
0,4
a ∴?≤∴≥考点：导数与函数的单调性．
二、填空题
13．【答案】（﹣∞，2）【解析】试题分析：由()
21()0f x x
e
f x '≤≥?≥′时，()
21()0f x x e
f x '>
的
增区间是（﹣∞，2）考点：函数单调区间14．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=
，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，
由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．
化简可得 5ab=3b 2，∴ =．故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
15．【答案】15(,43
-
16．【答案】2
1≥a 【解析】
试题分析：，因为，其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立，'
21()a f x x x =
-(0,3]x ∈00(,)P x y 1
2
k ≤，，，恒成立，由．1
2112a x x ∴-≤(0,3]x ∈x x a +-≥∴221
(0,3]x ∈2111,222
x x a -+≤∴≥考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F （1，0），∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=，y 1y 2=﹣4①．∵|AF|=3|BF|，
∴y 1+3y 2=0，可得y 1=﹣3y 2，代入①得﹣2y 2=，且﹣3y 22=﹣4，消去y 2得k 2=3，解之得k=±．
故答案为：
．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），
则线段A′A的中点B（，），
由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．
再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，
解①②做成的方程组可得：
m=﹣，n=，
故点A′的坐标为（﹣，）．
【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．
19．【答案】
【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k 1x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）=，∴k1=
又g（4）=，∴k2=
从而f（x）=，g（x）=（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），
令，∴（0≤t≤）
当t=，y max≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
20．【答案】
+∞
【解析】（1）函数定义域为(0,)
2分
单调递减；…………3分
2m
-2
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
60?90?
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】
试
题解析：（1）连接，，由是正方体，知为平行四边形，AC 1AB 1111ABCD A B C D -11AA C C 所以，从而与所成的角就是与所成的角．11//AC A C 1B C AC 11A C 1B C 由可知，11AB AC B C ==160B CA ∠=?即与所成的角为．
11A C BC 60?
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．22．【答案】
【解析】（I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC ．
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，
∴AA1⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），
∴，，．
设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．
则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．
，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．
===．
∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．
（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D
，
∴=，=（0，3，﹣4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查圆的参数方程和极坐标方程、直线参数方程、直线和圆位置关系等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想和基本运算能力．
（Ⅱ）设直线：与半圆相切时
l 2)2(+-=x k y )0(22
2
≥=+y y x 2
1|22|2
=+-k
k ，，（舍去）
0142=+-∴k k 32-=∴k 32+=k
设点，，)0,2(-B
AB
k =-故直线. l ]22-24．【答案】
【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，
令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0；
（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6），
∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2
等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6），∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴，解得﹣3＜x＜9，
即不等式的解集为（﹣3，9）．