几何08不规则多边形.讲义
【例 1】 (第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘
米．问，此楼梯截面的面积是多少？
【例 2】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积
.
【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积
.
F
B
A
【例 3】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2
米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？
B
A 1米
1米
【例 4】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的
面积比乙的面积大__________平方厘米．
6厘米
8厘米
4厘米
【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面
积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．
G F
E
D
C
B
A
【例 5】 如图，ABCD 是74?的长方形，DEFG 是102?的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．
O B
C D G
F
E A
【例 6】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60
米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？
680平方米2720平方米
60
【巩固】(希望杯培训题)如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，
所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．
11
【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？
5
【例7】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
【例8】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？
4
4 4
【例9】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？
?
【巩固】(2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．
第6题
【例10】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？
【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为2
26cm，最小的正方形的边长为多少厘米？
【例11】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？
【例12】(2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．
第2题
【例13】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)
6
【巩固】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？
【例14】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？
10
8 6
丙
乙甲
【例15】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正
方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的1
9
．求A与B的边长之比．如果当
按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？
左图右图
【例16】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？
【例17】(2008年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛)如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．
水池
【巩固】(2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．
第19题
【例18】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？
【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？
【巩固】（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？
【例19】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？
(1)
(2)
【例20】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？
(2)
(1)
【例21】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
图a
【例 22】 图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求
乙正方形的面积．
【例 23】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验
田的面积是多少平方米？
图a
图b
【例 24】 （第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，
FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．
A B
C
D
E
F 48
8
【例 25】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是
110平方米、15
平方米、3
10平方米和
2
5
平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
【例 26】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正
方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？
C 1
D 1
E 1A 1E
B
C D
A
【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为
边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？
A
B C D
I
H G F
E
A
B C D
【例27】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？
【例28】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？
图１图2
【例29】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？
【例 30】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的
长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．
B
【例 31】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分
的总面积是多少平方厘米？
【例 32】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是
由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？
A
B
A B
C
D
E F
G
H
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正
方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？
第2题
【例 33】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．
？5
1215
【例 34】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问
大矩形的面积是多少平方厘米？
12
30
2016
36
G F
E
D
C B A
S 3
S 2S 1
12
30
2016
36
G F
E
D
C B A
【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别
为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？
【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛试题)如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中
有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为 ．
16
42
2
1C
B
D A
【例 35】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见
下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．
绿
黄
红
绿
黄
红
【例 36】 如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方
形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ．
D
C
B
A
绿黄红 3
12
【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有
一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.
绿
黄
红D C B
A
【例37】如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的重叠部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．
【例38】(2005全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2
MD=厘米、3
QC=厘米、5
CP=厘米、6
BN=厘米，那么请你求出四边形MNPQ的面积是多少厘米？
C
P
2
5
5
2
P
C
【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛预赛)长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A，B，C，D分别在四条边上，并且C比A低5米，D在B的左边2米，四边形ABCD的面积是平方米．
D
C
B A
D
C
B
A
【例39】(2004全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？
D F
C
C
F D
【例 40】 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、
乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？
F
E G
D B
B
D
G
E
F g
f
c
图1 图2 图3
【例 41】 如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求
三角形ADE 的面积．
F
E
C
B D
A
H 2
H 1
H
A
D
B
C
E
F
最全的几何画板实例教程
上篇用几何画板做数理实验 图1-0.1 我们主要认识一下工具箱和状态栏，其它的功能在今后的学习过程中将学会使用。 案例一四人分饼 有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平 均分给四个人，应该如何分？ 图1-1.1 思路：这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。 方案一：画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部 分面积相等，（其实四个三角形全等）。如图1-1.2。 图1-1.2
方案二：四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-1.3。 图1-1.3 用几何画板验证： 第一步：打开几何画板程序，这时出现一个新绘图文件。 说明：如果几何画板程序已经打开，只要由菜单“文件”→“新绘图”，也可以新建一个绘图文件。 第二步：(1)在工具箱中选取“画线段”工具； (2)在工作区中按住鼠标左键拖动，画出一条线段。如图 1-1.4。 注意：在几何画板中，点用一个空心的圈表示。 图1-1.4 第三步：(1)选取“文本”工具；(2)在画好的点上单击左键，可以标出两点的标签，如图1-1.5： 注意：如果再点一次，又可以隐藏标签，如果想改标签为其它字母，可以这样做： 用“文本”工具双击显示的标签，在弹出的对话框中进行修改，(本例中我们不做修改)。如图 1-1.6 图1-1.6 在后面的操作中，请观察图形，根据需要标出点或线的标签，不再一一说明 B 图1-1.5 第四步：(1)再次选取“画线段”工具，移动鼠标与点A 重合，按左键拖动画出线段AC ；(2)画线段BC ，标出标签C ，如图1-1.7。 注意：在熟悉后，可以先画好首尾相接的三条线段后再标上标签更方便。 B 图1-1.7 第五步：(1) 用“选择”工具单击线段AB ，这时线段上出现两个正方形的黑块，表示线段处于被选取状态；(2) 由菜单“作图”→“中点”，画出线段AB 的中点，标上标签。得如图1-1.8。 注意：如果被选取的是点，点的外面会有一个粗黑圆圈。在几何画板中，选取线段是不包括它的两个端点的，以后的问题都是这样，如果不小心多选了某个对象，可以 B C D 图1-1.8
几何画板的深度迭代的用法大全
如何用好几何画板的深度迭代 第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：!(1)!(1)!(1)(2)! n n n n n n =?--=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n 项。我们知道12n n a a -=+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，各点相距1cm ，那么怎么由A 点和B 点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm 。所以我们以A 点作为原像，B 点作为初像，迭代一次得到B 点，二次为C 点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变
几何画板常用图片画法介绍
几何画板常用图像画法介绍 一、 工具介绍 “选择”工具（按住不扭，工具和 “画点”工具 “画圆”工具 “画线”工具（按住鼠标左键不放会出现一排按扭，后两个是“画射线” “文本”工具 “自定义”工具二、 参数设置 首先进入画图界面,点击右键“参数选项”选择对应参数（颜色选为黑色）点击确定(或画完图后,统一把右键颜色改为黑色,特殊情况除外)。
三、具体图片制作方法 1.圆(弧/扇形) （1）先画一个圆； （2）在需要的弧上确定三点，用“移动箭头工具”选中对应的三个点； （3）点击“构造→过三点的弧”即可做出弧线。 2.正多边形 （1）“数据→新建参数”在数值中输入数值（数值为几即为几边形），点确定后，参数将出现左上角 （2）点击“自定义工具→正多边形→正n边形（内n<42）” （3）点击左上角的参数，即可画出对应的正多边形。 3.立体图形 （1）点击“自定义工具→立体几何”即可画出立体图形 4.平行线 （1）先点击“线段直尺工具”画出一条线段； （2）用“点工具”在线段外画出一个点； （3）用“移动箭头工具”选中线段和点，点击“构造→平行线”画出平行直线； （4）用“点工具”在平行直线上画出两点，用“移动箭头工具”选中点； （5）用“构造→线段”，选中线段右键“隐藏线段”。 说明：根据（1）画出一条线段，选中粘贴复制可。 5.垂直线 （1）线点击“线段直尺工具”画出一条线段； （2）用“点工具”在线段外画出一个点； （3）用“移动箭头工具”选中线段和点，点击“构造→垂线”画出垂线； （4）用“点工具”在垂线上画出两点，用“移动箭头工具”选中点； （5）选中线段右键“隐藏线段”。 说明:“自定义工具→线工具→垂线段工具”画一条垂线即可。 6.阴影 6.1规则图形 弧：两个圆的重合阴影
几何画板4.06入门教程
《几何画板》简介 《几何画板》软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件。它的全名是《几何画板--21世纪的动态几何》。 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，它能显示或构造出其它较为复杂的图形。它的特色首先能把较为抽象的几何图形形象化，但是它最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。 《几何画板》操作简单，只要用鼠标点取工具栏和菜单就可以开发课件。它无需编制任何程序，一切都要借助于几何关系来表现，因此它只适用于能够用数学模型来描述的内容--例如部分物理、天文问题等。因此，它非常适合于几何老师使用，因为用它进行开发最关键的是“把握几何关系”--这正是老师所擅长的。用《几何画板》进行开发速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5--10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。 学习数学需要数学逻辑经验的支撑，而数学经验是从操作活动中获得。离开人的活动是没有数学、也学不懂数学的。在老师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。从这个意义上说《几何画板》不仅应成为教师教学的工具，更应该成为学生的有力的认知工具。在当前大力开展素质教育和减负工作的情形下，把《几何画板》交给学生无异于交给学生一把金钥匙，是一件特别有意义的事。 由此可见，《几何画板》是一个“个性化”的面向学科的工具平台。这样的平台能帮助所有愿意使用技术的老师在教学中使用技术，也能帮助学生在实际操作中把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展思维能力。可以认为，类似《几何画板》这样的平台代表着教育类工具软件的一个发展方向。 2.1 用工具框作图 通过本章，你应 1、熟练使用绘图工具作“点”、“线”、“圆”
《几何画板》教程——从入门到精通
写在前面 我们经过几年的信息技术课程的学习，对常用的办公软件、网页制作软件都有了比较详细的了解，为我们有效利用信息技术改造学习奠定了良好的基础。本学年，我们将就信息技术和学科学习的整合进行探索，分上下两篇：上篇主要学习用几何画板做数理实验的方法；下篇则重点掌握信息技术在研究性学习中的应用。 考虑到初三课程的实际情况，我们没有严格按照课时来安排内容，而是用专题和案例的方式来组织材料，方便各校根据教学环境和课时情况灵活安排教学进度。 我们在顺德教育信息中心为初三信息技术的学习开辟了专门的网站：网络探索（WebQuest），域名是https://www.wendangku.net/doc/8e8482216.html,。本课程的相关工具和范例都在这里提供，各章节的编者担任相应栏目的版主，随时欢迎广大师生前往交流。 欢迎随时访问网络探究网站，了解网络学习的最新进展！
上篇用几何画板做数理实验 同学们都喜欢物理和初三新开的化学，因为这两门课都有好多实验，那么数学就没有实验吗？ 有的。我们可以用特定的“数字化的实验室软件”来验证数学定律，探索数学规律。这样的软件现在国内外有很多，比较著名的有国内的“数学实验室”和国外的“几何画板”。鉴于初中的数学知识范围，我们可以先学习简单易学的“几何画板”，高中以后我们可以借助大型的“数学实验室”平台来完成更多的数学实验。 说明：几何画板是一个著名的教学工具软件，网上可以下载其试用版本，国内已经有3.05版的汉化版本。本教材以3.0版为例编写。在我们的网络探索社区（https://www.wendangku.net/doc/8e8482216.html,）的顺德信息技术教材专区中，有专门的几何画板学习讨论专栏，方便于同学们在网上交流学习心得，讨论学习问题。同时，本课程的案例程序也可以在该栏目找到。最新的几何画板试用版本也会放到这里供下载，请到自行下载安装。（安装过程请参考https://www.wendangku.net/doc/8e8482216.html,/Jc/Jhhb.htm）， 在顺德市教育信息中心（https://www.wendangku.net/doc/8e8482216.html,）的虚拟教研社区“培训大楼”中，也有几何画板专栏，专门供老师和有兴趣的同学讨论几何画板的高级使用问题。 除了用几何画板进行大量的数学探索实验之外，与数学紧密相连的物理同样可以在几何画板上完成很多实验。我们将选取大家在初中数学和物理中遇到的一些典型问题为例子，利用几何画板来完成一些数学和物理实验。学完这些例子，相信同学们会熟练地应用几何画板，并且对学习过的或将要学的数学知识、物理知识有更进一步的认识。好啦，让我们开始吧。 首先请下载安装好几何画板软件，打开几何画板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如图所示：
几何画板迭代全解(谢辅炬)
几何画板迭代全解 市南海区石门中学辅炬 目录 ?迭代的基本概念以及迭代的基本操作 ◆迭代的概念 ◆迭代在代数、几何中的应用 ◆画正多边形 ◆数列的图像、前n项和与积 ?迭代与分形几何 ◆Sierpinski 三角形 ◆Sierpinski 地毯 ◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树 ◆分形树 ◆KOCH 曲线 ◆KOCH Snowflake柯克雪花 ◆数学之美 ◆H迭代 ◆蜂巢 ◆其它分形欣赏 ?函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集 ◆迭代法求方程解 ◆MIRA ◆Henon-Attractor ◆Mandelbrot集合 ◆Julia Sets集合 ◆牛顿迭代法 ?下期预告
第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： !(1)! (1)!(1)(2)! n n n n n n =?- -=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我 们知道 1 2 n n a a - =+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图 1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n
几何画板迭代全解
几何画板迭代全解 目录 ?迭代的基本概念以及迭代的基本操作 ◆迭代的概念 ◆迭代在代数、几何中的应用 ◆画正多边形 ◆数列的图像、前n项和与积 ?迭代与分形几何 ◆Sierpinski 三角形 ◆Sierpinski 地毯 ◆摇曳的Pythagorean Tree毕达哥拉斯树 ◆分形树 ◆KOCH 曲线 ◆KOCH Snowflake柯克雪花 ◆数学之美 ◆H迭代 ◆蜂巢 ◆其它分形欣赏 ?函数迭代：函数映射，M集，朱丽亚集 ◆迭代法求方程解 ◆MIRA ◆Henon-Attractor ◆Mandelbrot集合 ◆Julia Sets集合 ◆牛顿迭代法 ?下期预告
第一章：迭代的概念和操作 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义： !(1)! (1)!(1)(2)! n n n n n n =?- -=-?- 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 更具体一点，在代数学中，如计算数列1，3，5，7，9......的第n项。我们 知道 1 2 n n a a - =+，所以迭代的规则就是后一项等于前一项加2。以1作为原像，3作为初像，迭代一次后得到5，再迭代一次得到7，如此下去得到以下数值序列7 , 9，11, 13, 15......如图1.1所示。 图1.1 图 1.2 在几何学中，迭代使一组对象产生一组新的对象。图1.2中A、B、C、D、E、F、G，各点相距1cm，那么怎么由A点和B点得到其它各点呢？我们可以发现其中的规律就是从左到右，每一个点相当于前面一个点向右平移了1cm。所以我们以A点作为原像，B点作为初像，迭代一次得到B点，二次为C点，以此类推。 所以，迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。我们先通过画圆的正n
几何画板画图
几何画板画图 ----动态图形中多边形有重合点如何构造多边形 动态图形中多边形有重合点如何构造多边形 题目： 如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A（0, 4),点B 在x轴正半轴上，且∠ABO=30°。动点P在线段AB上从点A 向点B 以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒。在x轴上取两点M，N 作等边△PMN。 （1）求直线AB的解析式； （2）求等边△PMN 的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M运动到与原点O重合时t的值； （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C 在线段AB上。设等边△PMN 和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S 与t的函数关系式，并求出S的最大值. 一、基本图形的绘制 1．利用【点工具】，在绘图区绘制任意一点，保持该点的选中状态，单击【显示】→【点的标签】，出现对话框后，将标签修改为O，单击【确定】，则字母O出现在点的附近，拖动字母可以改变字母的位置（后面标记标签的方法相同，也可以利用快捷键“Alt+/”标记图形对
象的标签）。选中点O，单击【变换】→【平移】，出现“平移”对话框后，“平移变换”选“极坐标”方式，“固定距离”为默认的“1.0”厘米，“固定角度”修改为的“0°”，单击【平移】，得到向右的平移点，选中点O和平移点，单击【构造】→【直线】，得到水平的直线，利用【点工具】，在这条直线点O的左右各绘制一个自由点，如图1所示。 2．单击【自定义工具】→【箭头工具】→【箭头A】，在绘图区绘制箭头向右的箭头，如图2所示。 3．将箭头上左右两点和点O左右的两点分别合并，方法如下：先选中直线上左边的点，再选中箭头上左边的点（这里有顺序要求），单击【编辑】→【合并点】，则箭头上的点合并到直线上。另两点合并方法相同，结果如图3所示。 4．选中直线和平移的点，单击【显示】→【隐藏对象】，隐藏直线和点，拖动箭头上的两个点，改变为合适的长度，结果如图4所示。 5．利用同样的方法，构造过点O的铅直箭头，构成直角坐标系，标记出x和y，如图5所示。
几何画板V5.0加强版使用大全
几何画板V5.0加强版使用大全 点的生成与作用 例1 画三角形 先画三个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令画出三角形。 注：用按住Shift键的方法，最大的好处是三个顶点都被选中。 例2 画多边形 先画多个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令（或直接按CtrL+L）画出多边形。 注：选取顶点的顺序是十分重要的，不同的顺序会得出不同的多边形。 线的作法 “画线工具”有三种线段、直线和射线，选中后在绘图窗口中进行画图即。 例 3 制作验证三角形的三边的垂直平分线相交于一点的课件（初步进行作图练习） 画圆的方法 画圆有3种方法 用画圆工具作圆；通过两点作圆；用圆心与半径画圆（这种方法作的圆定长不变，除非改变定长时，否则半径不变） 画圆弧的方法 画圆弧也有3种方法 按一定顺序选定三点然后作弧（按逆时针方向从起点到终点画弧）；选取圆及圆上2点作弧（从第一点逆时针方向到第二点之间的一段弧）；选取圆上三点作弧（与法2相似，只是无需选中圆，作完弧后，可以隐藏原来的圆，可见新作的弧） 扇形和弓形 与三角形内部相似（先选中三个顶点），扇形和弓形含有“面”，而不仅仅只有“边界”。扇形和弓形的画法类似： 用上述方法作圆弧，选择该弧，用“作图”菜单中的“扇形内部”（或“弓形内部”）命令作出扇形或弓形（阴影部分）。 度量、计算与制表 [度量] 选中三角形内部后，在“度量”菜单中“面积”和“周长”命令，度量三角形面积与周长。利用“显示”菜单中“参数选择”命令，可以进行“对象参数”设置。 [计算] “度量”菜单的“计算”命令可以对对象的值进行运算，求得所需要的结果，我们以“相交弦定理”验证为例进行说明。 ①画一个圆及两条相交的弦；②度量出四条线段的长度（距离）；③分别选择同一直线上的两条线段的距离值，利用“度量”菜单中的计算命令，依次计算出两者之积④拖动动点，观察规律：相交弦定理。 [制表] 在“度量”菜单中“制表”命令。选择上例中“四条线段的长度”，利用“制表”命令，制出表格。变化图形，增加表格项的方法有3种：选中表格菜单中“加项”命令；选中表格利用CtrL+E快捷键；双击表格。 变换 “变换”包括平移、旋转、缩放、反射等命令。各标记命令允许指定决定变
最新几何画板基本操作
几何画板基本操作
基本操作 点的生成与作用 例1 画三角形 先画三个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令画出三角形。 注：用按住Shift键的方法，最大的好处是三个顶点都被选中。 例2 画多边形 先画多个点（可按住Shift键连续画点）；然后利用“作图”菜单中的“线段”命令（或直接按CtrL+L）画出多边形。 注：选取顶点的顺序是十分重要的，不同的顺序会得出不同的多边形。线的作法 “画线工具”有三种线段、直线和射线，选中后在绘图窗口中进行画图即。 例3 制作验证三角形的三边的垂直平分线相交于一点的课件（初步进行作图练习） 画圆的方法 画圆有3种方法 用画圆工具作圆；通过两点作圆；用圆心与半径画圆（这种方法作的圆定长不变，除非改变定长时，否则半径不变）
画圆弧的方法 画圆弧也有3种方法 按一定顺序选定三点然后作弧（按逆时针方向从起点到终点画弧）；选取圆及圆上2点作弧（从第一点逆时针方向到第二点之间的一段弧）；选取圆上三点作弧（与法2相似，只是无需选中圆，作完弧后，可以隐藏原来的圆，可见新作的弧） 扇形和弓形 与三角形内部相似（先选中三个顶点），扇形和弓形含有“面”，而不仅仅只有“边界”。扇形和弓形的画法类似： 用上述方法作圆弧，选择该弧，用“作图”菜单中的“扇形内部”（或“弓形内部”）命令作出扇形或弓形（阴影部分）。 度量、计算与制表 [度量] 选中三角形内部后，在“度量”菜单中“面积”和“周长”命令，度量三角形面积与周长。利用“显示”菜单中“参数选择”命令，可以进行“对象参数”设置。 [计算] “度量”菜单的“计算”命令可以对对象的值进行运算，求得所需要的结果，我们以“相交弦定理”验证为例进行说明。 ①画一个圆及两条相交的弦；②度量出四条线段的长度（距离）；③分别选择同一直线上的两条线段的距离值，利用“度量”菜单中的计算命令，依次计算出两者之积④拖动动点，观察规律：相交弦定理。
几何画板全教案
第二单元几何画板 第八课认识新朋友—几何画板4.07 课题：几何画板简介 教学目标：1）通过几何画板课件演示展示其魅力激起兴趣 2）了解几何画板初步操作 教学重点：让学生了解几何画板的工作界面 教学难点：能用几何画板将三角形分成四等份，并用几何画板验证。 教学过程： 一、概述几何画板 几何画板是专门为数学学习与教学需要而设计的软件。有人说它是电子圆规，有人说它是绘图仪，有人说它是数学实验室。它号称二十一世纪的动态几何。它可帮助我们理解数学，动态地表达数量关系，并可设计出许多有用或有趣的作品。 二、几何画板作品展示 三、几何画板简介 1）启动 开始|程序|几何画板|几何画板。启动几何画板后将出现菜单、工具、画板。工具(从上到下) 选择、画点、画圆、画线、文本、对象信息、脚本工具目录。 2）操作初步 1、文件 新画板打开一个新的空白画板。 新脚本打开一个新的空白脚本窗口。用于录制画板的画图过程。 打开打开一个已存在的画板文件(.gsp)或脚本文件(.gss)。 保存 [保存当前画板窗口画板文件或脚本窗口脚本文件]，路径+文件名，确认。 打印预览 打印 退出 2、选择几何画板的操作都是先选定，后操作。 选工具(选择画点画圆画线文本对象信息脚本工具目录) 单击：工具选项。 选选择方式移到选择按左键不放→平移/旋转/缩放；拖曳到平移/旋转/缩放；放→选定。 功能：移动选定的目标按平移/旋转/缩放方式移动。 选一个目标鼠标对准画板中的目标(点、线、圆等)，指针变为横向箭头，单击。 选两个以上目标法一第二个及以后，Shift+单击。 选两个以上目标法二空白处拖曳→虚框；虚框中的目标被选。 选角选三点：第一、第三点：角两边上的点；第二点：顶点。 不选单击：空白处。 从多个选中的目标中不选一个 Shift+单击。
《画正多边形》反思
《画正多边形》教学反思——logo语言 网络 上个星期四在罗阳小学举行了赣榆区的小学信息技术教研活动，这次教研活动主要内容是小学logo语言教学研讨会，我们四位老师以同课异构的形式展示了pc logo软件来指挥小海龟画正多边形和 画星星。说实话刚接到《画正多边形》这一课题的时候我觉得不知道该从什么地方入手，因为是新教材的内容，网上可以参考的教学设计和课件很少那么可以观摩的上课视频就近乎没有了，而且四位老师是同课异构，那就可能会出现同的教学设计，相同的上课思路，怎样上才能同一课型上出不同的风格呢？这是我一直思考的问题。Logo语言是一种计算机语言，Logo语言强调创造性的探索而不是机械地记忆事实，从而我感受到Logo语言的意义所在，明确了Logo语言的教学应努力的方向。下面我就这次教研活动尝试Logo语言的公开教学谈谈自己的几点认识吧。 一、兴趣是最好的老师 计算机程序设计语言教学的成败很大程度上取决于学生对计算 机课的兴趣。本节课的教学内容是LOGO语言中的REPEAT命令，我主要引导学生通过“探”这个过程，“悟”出Repeat重复命令的作用，以及重复次数和重复内容之间的关系，同时让学生可以利用掌握的重复命令来画出其他规则图形，既是基础知识的学习也是思维能力的培养。为了能让学生对此有兴趣，教师在教学设计上要多动脑筋。相比前面的FD、BK、RT、LT等命令，Repeat这个命令比较抽象！怎么把
抽象的命令形象化，让学生容易理解，教学中我首先让两个同学配合做游戏完成小海龟的运动轨迹，一个学生下命令，另外一个同学按命令行走，通过学生自己做动作来亲临感受小海龟的运动轨迹，使编程语言形象化。教学中注意做好难点的铺垫，使得难点迎刃而解。如在学生绘制出正四边形后，提问：小海龟重复了几次，每次旋转了多少度？小海龟一共走了多少度？学生边回答我边板书。在绘制正三边形时，学生就明白了小海龟重复了三次，个别聪明的学生就与正四边形的内容对比的看，一个学生回答出来了，其他学生也就由迷惑到豁然开朗了小海龟每次旋转了120度。教学中我以观察为主，对比为辅，精心设计了表格，表格式的板书使得学生的对比观察思路更加的清晰。在教学评价中我没有采用以往单一评价，而是采用让每个小组的小海龟爬楼梯的形式，哪个小组表现的最好就是冠军小组，小海龟贴近本节课的内容又可以提高学生的合作精神和集体荣誉感，通过这样一些环节，课堂收到的效果往往事半功倍。 二、动手操作，探索规律 学生在绘制正七边形时，由于正七边形特殊，360除以7除不尽，同学们只是求一个近似值怎么办？这时有个同学说了可以用旋转公 式360/7作为小海龟的旋转的角度，从而悟出正多边形的画法：Repaet 边数 [FD 边长 RT 360/边数] 三、重视生成，提高应变能力 1．在绘制正七边形时，没有太扎实，学生按我引导的方法绘制出正七边形后，我让学生绘制出正九边形，学生仍然把小海龟的每次
几何画板绘制正多边形
绘制正十七边形 【活动目标】 1.理解迭代的含义； 2.进一步熟悉旋转变换； 3.掌握迭代变换的基本操作。 【活动描述】 上一活动中采用“旋转变化法”绘制了正五边形，用旋转变换不难画出正多边形，但如要绘制正十七边型，得用旋转变换16次。那么有没有更好更灵活的方法呢，本活动采用“迭代法”。通过了解迭代的含义、画点并作旋转变换、使用迭代变换绘制正十七边形来完成整个正五边形的绘制。 任务1 了解迭代的含义 迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。 基本概念 迭代：按一定的迭代规则，从原象到初象的反复映射过程。 原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。 初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。 几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度。（本活动所涉及到的迭代均为没有参数的迭代） 任务2 画点并作旋转变换 1.作两个点，标记为A、B； 2．让B点围绕点A为中心旋转360 17 得点B'； （1）选择“变换”→“旋转”，弹出【旋转】对话框；选取点A作为旋转中心，作如图1的设置，得到旋转后的点B'；连接BB'，如图2所示。
图 1 图 2 任务3 使用迭代变换绘制正十七边形 1. 选定B点，选择菜单“变换”→“迭代”（如图3），出现如图4所示对话框； 图 3
图 4 2. 单击B'，对话框变为下图（如图5），注意到“迭代次数：3”，图形在原有的基础上，增加了3条线段。 图 5 3. 重复按小键盘上的“＋”键，直到迭代次数变为16（也就是重画16条）。（如图6）单击“迭代”按钮，正十七边形构造完毕，如图7所示。 图 6
几何画板教程(最新版)
《几何画板》最新教程 《几何画板》是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，构造出其它较为复杂的图形。 《几何画板》最大的特色是“动态性”，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变。 举个简单的例子。我们可以先在画板上任取三个点，然后用线段把它们连起来。这时，我们就可以拉动其中的一个点，同时图形的形状就会发行变化，但仍然保持是三角形。再进一步，我们还可以分别构造出三条形的三条中线。这时再拉动其中任一点时，三角形的形状同样会发生变化，但三条中线的性质永远保持不变。这样学生就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的三条中线交于一点。 请注意：上述操作基本上与老师在黑板上画图相同。但当老师说“在平面上任取一点”时，在黑板上画出的点却永远是固定的。所谓“任意一点”在许多时候只不过是出现在老师自己的头脑中而已。而《几何画板》就可以让“任意一点”随意运动，使它更容易为学生所理解。所以，可以把《几何画板》看成是一块“动态的黑板”。《几何画板》的这种特性有助于帮助学生在图形的变化中把握不变的几何规律，深入几何的精髓。这是其它教学手段所不可能做到的，真正体现了计算机的优势。 另一方面，利用它的动态性和形象性，还可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。 《几何画板》的操作非常简单，一切操作都只靠工具栏和菜单实现，而无需编制任何程序。在〈几何画板〉中，一切都要借助于几何关系来表现，因此用它设计软件最关键的是“把握几何关系”，而这正是老师们所擅长的；但同时这也是它的局限性：它只适用于能够用几何模型来描述的内容—例如几何问题、部分物理、天文问题等。 用《几何画板》开发软件的速度非常快。一般来说，如果有设计思路的话，操作较为熟练的老师开发一个难度适中的软件只需5-10分钟。正因为如此，老师们才能真正把精力用于课程的设计而不是程序的编制上，才能使技术真正地促进和帮助教学工作，并进一步推动教育改革的发展。