冀教版九年级数学上册知识点

/ 6 23章 数据分析 23.1平均数和加权平均数 1、一般地，我们把n个数nxxx,...,,21的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作x，读作“x拔”，即)....(11nxxnx 2、已知n个数nxxx,...,,21，若nwww,...,,21为一组正数，则把 nnnwwwwxwxwx......212211叫做n个数nxxx,...,,21的加权平均数，nwww,...,,21分别叫做这n个数的权重，简称权。 23.2中位数和众数 1、一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。 2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。 23.3方差 设n个数据nxxx,...,,21的平均数为x，各个数据与平均数偏差的平方分别是22221)(,...,)(,)(xxxxxxn。偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用2s表示，即 222212)(...)()(1xxxxxxnsn 当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小。因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小。 23.4用样本估计总体 由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大。但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近。因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数。同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差。 24章 一元二次方程 24.1一元二次方程 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式为).0(02acbxax其中，2ax是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。一元二次方程的解也叫做这个方程的根。
/ 6 24.2解一元二次方程 1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 2、对于一元二次方程02cbxax： 当042acb时，方程有两个不相等的实数根； 当042acb时，方程有两个相等的实数根； 当042acb时，方程没有实数根。 我们把acb42叫做一元二次方程02cbxax的根的判别式。 3、当042acb时，一元二次方程02cbxax的两实数根可以用aacbbx242求出。这个式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 4、因式分解法：把一元二次方

程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根。 24.3 一元二次方程根与系数关系 如果一元二次方程02cbxax的两根分别为21,xx，那么acxxabxx?2121,。 24.4一元二次方程的应用 25章 图形的相似 25.1比例线段 1、如果选用同一度量单位，量得线段a和b的长度分别为m和n，我们就把m和n的比叫做线段a和b的比，记作nmba::，或nmba。 2、在四条线段dcba,,,中，如果a与b的比等于c与d的比，即dcba，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 3、比例的基本性质 如果dcba，那么bcad。 如果bcad，那么dcba（0,db） 特别地，如果cbba，即acb2，就把b叫做a,c的比例中项。 如果knmdcba...，那么kndbmca......
/ 6 4、黄金分割 在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足ACBCABAC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，ABAC称为黄金比。黄金比618.0215ABAC 每条线段上的黄金分割点都有两个。 25.2 平行线分线段成比例 （1) 基本事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。 对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比。 DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB,, （2）推论1 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 ACCEABBDECAEDBADACAEABAD,, （3） 推论2 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。 在△ABC中，DE∥BC，BCDEACAEABAD 25.3相似三角形 （1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 （2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。 25.4 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理 (1) 两角对应相等的两个三角形相似。 (2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 (3) 三条边对应成比例的两个三角形相似。 (4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。 25.5 相似三角形的性质 相似三角形的性质定理 （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比。 （2）相似三角形周长的比等于相似比。 （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 l3l2l1FEDCBAABCDEEDCBAEDCBA
/ 6 25.6 相似三角形的应用 25.7 相似多边形和

图形的位似 （1）形状相同的图形称为相似图形。一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。 （2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比。 （3）位似图形的画法 确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）； 选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线； 根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点，得到相应的位似图形。 26章 解直角三角形 26.1 锐角三角函数 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90° ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即batan的邻边的对边AAA ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即casin斜边的对边AA ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cbcos斜边的邻边AA 2、一些特殊角的三角函数值 3、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化。 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数。 为方便起见，今后将222tan,cos,sin分别记作222tan,cos,sin。 30° 45° 60° sinα 12 22 32 cosα 32 22 12 tanα 33 1 3
/ 6 26.2 锐角三角函数的计算 26.3解直角三角形 1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素。由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。 2、在Rt△ABC中，∠C=90° 三边之间的关系是222cba； 两锐角之间的关系是90BA； 边角之间的关系是 casin斜边的对边AA cbcos斜边的邻边AA batan的邻边的对边AAA 在边角之间的关系中，将∠A换成∠B，同时将a,b交换，即可得到∠B与边之间的关系式。 根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素。 26.4解直角三角形的应用 我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比lh叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角。显然，lhtan 27章 反比例函数 27.1 反比例函数 一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成)0(kkxky为常数，且的形式，那么称y为x的反比例函数，k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的实数。 27.2 反比例函数的图像和性质 反比例函数)0(kkxky为常数，且的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样

的曲线叫做双曲线。 对于反比例函数xky，当k>0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小；当k<0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大。 27.3反比例函数的应用
/ 6 28章 圆 28.1圆的概念及性质 （1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径。 （2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦。过圆心的弦叫做这个圆的直径。 （4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆。 （5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 （6）能够完全重合的两个圆叫做等圆。能够完全重合的两条弧叫做等弧。 28.2过三点的圆 （1）不在同一条直线上的三点确定一个圆。 （2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心。 28.3圆心角和圆周角 （1)顶点在圆心的的角叫做圆心角。圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧。 （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。 （3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等。 （4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 （5)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 （6）直径所对的圆周角是直角。 90°的圆周角所对的弦是直径。 （7）同弧所对的圆周角相等。 （8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 （9）圆内接四边形的对角互补。 28.4 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 28.5弧长和扇形面积的计算 （1）计算公式 设n圆心角所对弧的长为l，所对扇形的面积为S，则180rnl，3602rnS或lrS21 （2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高。 （3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长。 反过来，扇形也可以围成一个圆锥。