线性代数第34讲总复习上

线性代数第44讲 复习（4）

一． 本章知识结构

二． 本章自测题

（一）选择题

1. 若 ),,0(2k k =β能由

)1,1,1(,)1,1,1(,)1,1,1(321k k k +=+=+=ααα

唯一线性表示，则k 等于（ ）.

0)(≠k A 3)(-≠k B 0)(≠k C 且 3-≠k k D )(任意.

2. 设向量组r B b b b ,,,:21 能由向量组m 21 线性表示，

则( ).

)(A 当m r <时，向量组A 必线性相关 )(B 当m r >时，向量组A 必线性相关

)(C 当m r <时，向量组B 必线性相关 )(D 当m r >时，向量组B 必线性相关

（选 D . 解法提示：用反证法排除其余三种可能 )

3. 四元齐次线性方程组??

?

??=+=+02104231x x x x 的一个基础解系是 （ ）.

)(A ,)2,0,1,0(T

- (B) T )2,0,1,0(-和

T )1,0,2

1,0( )(C ,)0,0,0,0(T

)(

D T )0,1,0,1(-和

T )2,0,1,0(-

（二）判断题

4. 给定向量组m A a a a ,,,:21 ，如果存在数m k k k ,,,21 使得 ,2211o a a a =+++m m k k k

则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关. （ ） （（×）.解法提示： 定义中要求m k k k ,,,21 不全为零）

（三）填空题

5. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解等于（ ）.

（答案：（基础解系的全体线性组合））

（四）计算题

6. 设,120,21,121??????????-=??????????=??????????-=γβαk 若,3βx γβx βα+=T T 试求此方程组的通解.

,

00310201421321????

?

?????+??????????+??

??

?

?????-=????

?

?????=c

c x x x x 其中21,c c 为两个任意常数.） 7. 设B A ,都是n 阶矩阵, 且 2A ,

E B A =-求矩阵

)(2A BA AB +-的秩. （答案：r )(2A BA AB +-=r =)2(A r .)(n =A ） 8. 已知向量组

,1101????

?

?????-=β,12a 2????

?

?????=β????

?

?????=01b 3β与向量组

,3211??????????-=α,1032??????????=α????

?

?????-=7693α 有相同的秩，且3β可由,1α,2α3α 线性表出，求 b ,a 的值.

线性表出，可求出,5b = .15a =）

9. 已知α是齐次线性方程组0x A =的基础解系, 其中

A = ,062

11a

a 3112

1?????????

???- 求

a 的值.

（ 答案：因为A 是34?矩阵, 基础解系中仅有

一个解向量α, 故,1)(r 3=-A 即.2)(r =A 而

,a 400

a 0011012

1

06211a a 3112

1?

?

???

?

??????--→→??

??????????- 可见.0a =） 10. 已知矩阵A = ??

??

?

?????9a 1a 40321中,0a <且齐次线性方程组0x A =有非 零解. *A 是A 的伴随矩阵, 试求齐次方程组*

A 0x = 的通

解.

（答案：因齐次方程0x A =有非零解,

故

.4a -= 因,2)(=A r 所以.1)(*

=A

r 于是齐次方程组*A 0

x =

列向量是齐次方程组*A 0x = 的解. 故*

A 0x = 的通解为

,2,1()1,0,1(21k k T +.)2T -）

11. 设A 是43?矩阵, 秩 ,1)(=A r 若,)2,0,2,1(T 1=α=2α

,)5,a ,1,1(T -,)5,3,a ,3(T 3--=αT 4)a ,1,1,1(--=α线性相关, 且可

以表示齐次线性方程组0x A =的任一解, 求0x A =的基础解系.

（答案：因设A 是43?矩阵, 秩,1)(=A r 所以0x A =的基础解系有 -n 3)(=A r 个解向量. 由此知向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 且其最大线性无关组就是0x A =的基础解系. 对矩阵

?????????

???-----a 55213a 01a 121211施行初等变换得?

?

???

?

?

?????-+-+---00)

4a ()3a (00a 13a 014a 3012

11, 当且仅当4,3a -=或1 时，向量组,1α,2α,3α4α的秩为3, 从而

推出,1α,2α3α是0x A =的基础解系.）

12. 已知向量组（I ） ,)5,0,3,1(T 1=α ,)4,1,2,1(T 2=α T 33211),,,(=α与

向量组（II ）,)1,6,3,1(T 1--=β T 2)2,b ,0,a (=β等价， 求a,b 的值. （答案 .3b ,1a == 解法提示：由于+-1α=22α,3α只需 考察1α,2α与,1β2β的互相线性表出问题. 作初等变换：

[1α2α ,1β2β]→?

????

???????------→?????????

???--=a 52610b 610a 3610a 111

2145

b 6100323

a 11

1

.a 22000

a 3

b 000a 3610a 111

?

???????????-----方程组211x x +α2α2β=有解 .3b ,1a 0a 220a 3b ==??

??=-=-?即（II ）可由( I ) 线性表出的

充分必要条件是.3b ,1a ==

反之，当.3b ,1a ==时, [,1β2

β1α2α]→?

?

???

????

???--=4521

10362303

1111

.0000000056301111?

?

???

???????→方程组211x x +β2β1α=与211x x +β2β2α=均有解, 说明(I

)可由(II

)线性表出, 所以(I

)与(II

)等价时, .3b ,1a ==) 13. 已知向量组),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(321==-=a a a

.)0,2,1,1(),6,5,1,2(54-==a a （1）说明51,a a 线性无关；

（2）求包含51,a a 的一个极大无关组； （3）将其余向量用该极大无关组线性表示.

（解（1）因向量51,a a 的四个分量不成比例,故知51,a a 线性无关.

（2）把向量组按列排成矩阵后, 对其实施初等行变换：

()

?

????

?

??????--==

?061424

257121103112

301,,,,T 5

T 4T 3T 2T 154a a a a a

A

B =?

?

???

???????--→?

??

??

?

???

?

??--→0000

440000*********)(4222

0111003330

12301

)(r r 通过观察可知521,,a a a 是包含51,a a 的一个极大无关组. （3）把矩阵B 继续做初等行变换：

.00000

110000*********)(00000

110000*********?????

???????→?????

????

???→r B （其中)(r ：3r r -1 ）

则可看出,303215213a a a a a a +

=++= 而 5214a a a a ++=.）

（五）证明题

14. 证明线性方程组 ???

??=++=+-=++.

433,222,1232

1321321x x x x x x x x x 无解

15. 试证明向量 )6,5,3(=b 可以用向量

),1,1,0(),1,1,1(,)1,0,1(321--===a a a

线性表示，并写出表示式.

（证 按定义，设存在数,,,321x x x 使得

332211a a a b x x x ++=

成立. 为此，应解如下线性方程组

???

?

?-=-+=-=+.

653321

3221x x x x x x x 容易求得此方程组的唯一解为???

??==-=,91411

3

21x x x

故有 .32191411a a a b ++-=）

16. 设 ][j i a =A 是n 阶矩阵, 如果

,n ,2,1,i ,∑

i

≠j j

i i

i =>

a a

证明矩阵A 的列向量

),,2,1(],,,[21n j a a a T

j n j j j ==α

线性无关.

(答案：可用反证法. 若存在不全为零的数 ,,,,21n k k k 使得

n n 2211αααk k k +++ ,0=然后，设

就满足关系式：

而有

已知条件矛盾, 所以 n 21,,,ααα 线性无关. )

17. 设A 是n 阶矩阵, t ααα,,,21 是齐次方程组0x A =的基础解系, 若存在i β, 使t i i i ,,2,1, ==αA β, 证明向量组 t ααα,,,21 , t 21,,,βββ 线性无关. (解：若存在不全为零的数,,,,,,,,2121t t l l l k k k 使得

t t t l l k k k ++++++ 112211βαααt β,0= （1）

用A 左乘上式, 并把A ,0α=i t i i i ,,2,1, ==αA β代入, 得

t t l l l ααα2211+++ ,0= （2）

因t ααα,,,21 是齐次方程组0x A =的基础解系, 它们线性无关, 故对（2）必有 .0,0,021===t l l l （1）式, 有

t t k k k ααα2211+++ ,0=即向量t ααα,,,21 ,t 21,,,βββ

线性无关. )

18. 设A 是n m ×

矩阵,对矩阵A 做初等行变换得到矩阵,B 证明矩 阵A 的列向量与矩阵B 相应的列向量有相同的线性相关性. (证法提示： 因经初等行变换由A 可得到B , 故存在初等矩阵

k 21,,,P P P 使 k P 2P .1B A P =把矩阵A ,B 写成列向量形式：

],[n 21αααA = ==P βββB ,][n 21 k P 2P 1P 则有

P =][n 21ααα ,][n 21βββ 于是).n ,,2,1i (i i ==βαP A 的

列向量k 21j j j ,,,ααα 线性相关?[k 21j j j ,,,ααα ]0=????

?

?

??????k 2x x x 有非零解

?P [k 21j j j ,,,ααα ]0=????????????k 2

x x x 有非零解?][k 21j j j βββ 0=?????

???????k 2x x x

有非零解?B 的列向量k

2

1

j j j βββ 线性相关.）

19. 已知A 是n 阶矩阵, 且矩阵A 中各行元素对应成比例.

t ααα,,,21 是 0x A = 的基础解系, 而 β不是0=x A 的解.

n ααα,,, β t t 2211，

其中至少有 0≠i k , 证明用β替换i α后所得向量组 ,,,21 αα1-i α，β,,,1 +i αt α 线性无关. (解法提示：如果

+++ 2211ααh h 1-i h +1i -αh β1++i h ++1i αt h +=t α.0 将已知条件=βt t k k k ααα+++ 2211代入, 并整理有

+++++ 222111)()(ααk h h k h h )(11--+i i k h h 1 - i α+ i k h i α

)(11++++i i k h h ++1

i

α)(t t k h h ++=t α.0

由于已知向量组t ααα,,,21 线性无关, 故必有

,,0)(,0)(2211 =+=+k h h k h h 0)(11=+--i i k h h ，

i k h = 0，,0)(11=+++i i k h h

,

.0)(=+t t k h h

由于0≠i k , 0=i k h 知0=h , 进而必有,,0,021 ==h h

.0=t h 所以向量组 ,,,21 αα1-i α，β

,

,,1 +i αt α线性无关.)

2019春北京大学网络教育学院线性代数作业答案

春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.

6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则 （ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）

11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则 。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那 么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么 。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4

同济大学线性代数教案第一章线性方程组与矩阵

线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为

n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，

a b+

21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：

2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.

授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .

西南大学线性代数作业答案

西南大学线性代数作业答案

第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：

数值分析学习心得体会.doc

数值分析学习感想 一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。这门 课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处 理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。他的内容贴近实际，像数值分析，数值微 分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。 数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有 了更加方便以及科学的方法。像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误 差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误 差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在 别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数 值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出 的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。 数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数 学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中 的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容 易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的， 这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的 都是不同的算法。而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题， 从而知道如何去解决。 在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下， 我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自 己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触 到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。 计算132 2013014923 张霖篇二：数值分析学习报告 数值分析学习心得报告 班级：11级软工一班 姓名： * * * 学号: 20117610*** 指导老师：* * * 学习数值分析的心得体会 无意中的一次选择，让我接触了数值分析。 作为这学期的选修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学 和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的不是很好，但我依然对它比 较感兴趣。下面就具体说说我的学习体会，让那些感兴趣的同学有个参考。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——matlab。matrix laboratory，即矩阵实验 室，是math work公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件。它是当今科学界最具影 响力、也是最具活力的软件，它起源于矩阵运算，并高速发展成计算机语言。它的优点是强 大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面、便捷的与其他程序和语 言接口。 根据上网搜集到的资料，你就会发现matlab有许多优点： 首先，编程简单使用方便。到目前为止，我已经学过c语言，机器语言，java语言，这

河北工业大学线性代数作业答案

线性代数作业提示与答案 作业（1） 一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三．1．阶梯形（不唯一）：????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ，简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4； 2．简化阶梯形为单位矩阵. 四．1．其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定） 当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解， 当2-=λ时，通解为=x ???? ? ?????111k ； 当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-； 2．?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解； 当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x T T k ],,[],,[022111+.

作业(2) 一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3． 0； （注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．12 2 2 +++γβα 作业(3) 一．1．c; 2. d ; 3.a 二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ n i i a x 1 ，得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ． 3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表

线性代数心得体会

线性代数 关键词：高等数学自学理解 线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。 线性代数是继微积分之后又一门高等数学，与微积分想比，线性代数的基础行列式和矩阵是在高中有所学习的，入门还是相对比较简单的。线性代数从内容上看前后联系紧密，环环相扣，因此解题方法灵活多变，学习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。所以多做题也是积累经验来方便自己在解题时能更快更准确得运用适当的性质来简化题目。 认真上好每一堂课对于学习好线性代数是格外重要的.教材上的知识和技巧主要由老师在课堂上以授课的形式传授给你。你在上课时应集中精力听讲，积极思考老师提出的问题，迅速而恰当地做笔记。看书的准确程序是：课前预习内容，课上跟着老师的思路走，尽量不看书来回答上课提出的问题，课后进行复习巩固。而有的人恰恰相反，他们在课上埋头看自己的书，丝毫不理会老师在讲什么，这样做只会降低效率 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能朦朦胧胧地想到它的所以然就行了。学习线代及其它任何学科时都要静下心来，如果学习前很亢奋就拿出一两分钟时间平静下来再开始学习。遇到不会做的题时不要去想“这道题我怎么又不会做”等与这道题无关的东西，一心想题，这样解出来的可能性会大很多。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路记住，即做完题目后要总结自己做题的思路，活用在之后的做题中。 很多人都说，审计是文科的，学像微积分和线代这样的理科课程没有什么意义，虽然表面看起来是这样的，但实际上却不然。理科注重的逻辑，在学习的理科的过程中，我们的思路会变得清晰，会计是很复杂的一个专业，很多时候不同的条件会需要进行不同的处理，而理科会让这些复杂的东西在我们脑海中变得仅仅有条，所以学习线代也是有必要的。

专科《线性代数》大作业

学习中心 姓 名_____________ 学 号 西安电子科技大学网络教育 2014学年上学期 《线性代数》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1．大作业于2014年06月17日下发，2014年06月29日交回。 2．试题必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计。 3. 试题须手写完成，不能提交打印稿和复印稿，否则计零分。 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1．向量组1α=(),0,0,1T 2α=(),0,2,1T 3α=()T 5,0,0是线性 ； ()A 相关； ()B 无关； ()C 表示； ()D 组合． 2．设有向量1α=()T k ,3,1,4-，2α=,41,43,41,1T ??? ??- 当k = 时，1α，2α为线性相关； ()A 1； ()B －1； ()C 3； ()D －4． 3．行列式8 76 54321 0000 00 00a a a a a a a a 中元素7a 的代数余子式为 ； ()A 542632a a a a a a - ()B 542631a a a a a a - ()C 632542a a a a a a - ()D 854863a a a a a a -． 4．设 10010020 000 1000 -=a a ，则a = ； ()A 21- ； ()B 21； ()C －1； ()D 1．

5．设??????????=1011α，??????????=0102α，??????????=1003α，向量???? ? ?????--=011β可表示为321,,ααα的线性 组合：321αααβc b a ++=，则 ； ()A 1,1,1-=-=-=c b a ； ()B 1,1,1-=-==c b a ； ()C 1,1,1-==-=c b a ； ()D 1,1,1=-=-=c b a ． 6．设有矩阵23?A ,32?B ,33?C ,下列矩阵运算可行的是 ； ()A AC ； ()B ABC ； ()C C B T ； ()D BC AB -． 二、填空题：（每小题3分，共21分） 1．设34?A ·5?B k = C n m ?， 则 k = ，m = ，n = ； 2．设A =??????-432101，B =?? ????065231，则T AB = ； 3．设A =???? ? ?????--c b c a b c 000，则A 2= ； 4．设A =??????????--210413161，B =???? ??????--121312510， 则 （1）A +B 2= ， （2）A 2－B = ； 5．排列534162的逆序数()=534162 t ； 6．非齐次线性方程组x A =b 有解的充要条件是 。 三、计算题：（共20 分） 1．4 1111411 1141 1114 ===

线性代数学习有感

线性代数学习有感 从素未谋面到一知半解，或许将来会有相见恨晚。总之到现在为止，经过将近一个学期的学习，我对线性代数有了一些小小的感想。 线性代数是高等院校一门重要的基础数学课程，具有较强的了逻辑性，抽象性和广泛的实用性。这是我在上网查阅资料时看到的大家对于线性代数的定义。不同于高等数学的是，线性代数几乎从一开始就是一个全新的概念，至少给我的感觉是这样。虽说线性代数主要就是为了解齐次或非齐次的线性方程组，这个目的之于我并不算太陌生，可是它所运用到的东西却是我几乎从未见到过的。我们都知道，线性代数研究的范围通常都不是我们能想象到的二维空间，而是上升到n维空间，这一点相当不可爱。并且在线性代数的学习过程中，我们几乎每天都是跟一些新的概念，新的定理打交道，因此理解和记忆起来有相当大的困难，常常是花很久的时间还是理解不了。 我跟一些就读于其他高校的高中同学交流了一下各自学校线性代数的教学情况，很多同学都谈到了同一个问题。不少老师在教学的时候，经常会舍弃一些重要概念、性质和定理的引入，以及相关的几何意义的解释，以至于学生接受的通常是一个个被硬生生灌输的概念，法则或定理。平心而论，我觉得北邮线性代数的老师在这一点上做得还是不错的，至少给我授课的张鹏老师对这一点抓得比较好。张老师对细节的要求比较高，她会时不时询问学生对知识的理解情况，经常会多次讲解，这真的是一个好现象。不过说实话，由于课时的限制，老师不可能把所有东西都讲解得很透彻，尽管老师尽力讲解了，可每次上完课我仍会有些许疑惑。不过乐观地看，这也未必不是件好事。这就要求我们自己在课下去总结去思考，才能有深刻的理解，并且这样能更好地培养我们的逻辑思维能力。 俗话说得好：“学而不思则罔”。如果我们不去进行深入的思考，那么我们所学到的线性代数的知识就只是一些零散的孤立的概念和方法，无法理解这些概念和方法的意义以及它们之间的联系，到头来只会做一些简单的计算，我们的眼光会被限制，无法上升到一个高度去看待线性代数问题，无法将所学的知识点融会贯通。记得张老师说过，当给你一个信息的时候，尤其是一些不太明显的信息，你要能立刻理解它的内涵，也就是说能够马上联想到与它等价的一些信息。比如说，告诉你一个矩阵是非奇异矩阵，它包含的信息有：首先明确它是一个n阶方阵，它的秩是n，它便是满秩矩阵，它所对应的n阶行列式不等于零，那么n个n维向量便线性无关，还有这个方阵是可逆方阵，并且可以想到它的转置矩阵也是可逆的······还有一点，在线性代数的学习过程中，大片大片的定理确实令人头痛，不过我觉得，其实有些定理或推论是没有必要去背的，因为它们就是另外某个定理的特殊情况，而这些特殊情况，只要我们稍微思考一下，思维稍微开放一点，完全可以自己概括，没有必要多记几个来增加自己的记忆负担。比如说向 “当m>n时，m个n维向量一定线性无关”，量组的线性相关性的定理6的推论2： 看过定理6后你会觉得这完全就是废话嘛，如果你把这当作另一个定理来记忆的话，说句不脸红的话，我们自己都可以联想出很多这种“推论”，会让你记到疯掉。再有就是在记忆一些定理概念的时候，不一定非得按原文记忆，我们可以按照自己的理解来记忆，适合自己的方法才是最好的方法。在学习线性代数的过程中，联想和思考是非常重要的，不要畏惧线性代数的抽象性，理解后的喜悦是难以言表的。通过联想和思考，把学过的知识点串起来，深化理解，我们才能把线性代数学得更好。

数值线性代数大作业报告

数值线性代数实验 大报告 指导老师：赵国忠 姓名：1108300001 刘帅 1108300004 王敏 1108300032 郭蒙

一、实验名称：16题P75上机习题 二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务 三、实验内容与要求： P75上机习题 先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程 序完成下面两个计算任务： （1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。 （2） 设A n = 1 1...111... .......... ... 1-1 (01) -- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧ x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。 四、 实验原理： （1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for 循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。 （2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n ，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。 五、 实验过程： (1)程序： clear for n=5:20

for i=1:n for j=1:n a(i,j)=1/(i+j-1); end end c=cond(a); f=norm(c,inf); fprintf('n=%3.0f\nnorm(c,inf)%e\n',n,f) end 运行结果： n= 5 norm(c,inf)4.766073e+005 n= 6 norm(c,inf)1.495106e+007 n= 7 norm(c,inf)4.753674e+008 n= 8 norm(c,inf)1.525758e+010 n= 9 norm(c,inf)4.931542e+011 n= 10 norm(c,inf)1.602467e+013 n= 11 norm(c,inf)5.224376e+014 n= 12 norm(c,inf)1.698855e+016 n= 13 norm(c,inf)3.459404e+017 n= 14 norm(c,inf)4.696757e+017 n= 15 norm(c,inf)2.569881e+017 n= 16 norm(c,inf)7.356249e+017 n= 17 norm(c,inf)4.362844e+017 n= 18 norm(c,inf)1.229633e+018 n= 19 norm(c,inf)9.759023e+017 n= 20 norm(c,inf)1.644051e+018 （2）程序：

学习线性代数的意义

线性代数有什么用？ 线性代数有什么用？这是每一个圈养在象牙塔里，在灌输式教学模式下的“被学习”的学生刚刚开始思考时的第一个问题。我稍微仔细的整理了一下学习线代的理由，竟然也罗列了不少，不知道能不能说服你： 1、如果你想顺利地拿到学位，线性代数的学分对你有帮助； 2、如果你想继续深造，考研，必须学好线代。因为它是必考的数学科目，也是研究生科目《矩阵论》、《泛函分析》的基础。例如，泛函分析的起点就是无穷多个未知量的无穷多线性方程组理论。 3、如果你想提高自己的科研能力，不被现代科技发展潮流所抛弃，也必须学好，因为瑞典的L.戈丁说过，没有掌握线代的人简直就是文盲。他在自己的数学名著《数学概观》中说： 要是没有线性代数，任何数学和初等教程都讲不下去。按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的。它是第二代数学模型，其根源来自于欧几里得几何、解析几何以及线性方程组理论。…，如果不熟悉线性代数的概念，像线性性质、向量、线性空间、矩阵等等，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，甚至可能学习社会科学也是如此。 4、如果毕业后想找个好工作，也必须学好线代： 想搞数学，当个数学家（我靠，这个还需要列出来，谁不知道线代是数学）。恭喜你，你的职业未来将是最光明的。如果到美国打工的话你可以找到最好的职业（参考本节后附的一份小资料）。 想搞电子工程，好，电路分析、线性信号系统分析、数字滤波器分析设计等需要线代，因为线代就是研究线性网络的主要工具；进行IC集成电路设计时，对付数百万个集体管的仿真软件就需要依赖线性方程组的方法；想搞光电及射频工程，好，电磁场、光波导分析都是向量场的分析，比如光调制器分析研制需要张量矩阵，手机信号处理等等也离不开矩阵运算。 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞图像处理，大量的图像数据处理更离不开矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量的后期电脑制作没有线代的数学工具简直难以想象。 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数的42个方程的方程组，他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。这些模型通常都是线性的，也就是说，它们是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫“投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了1973年的诺贝尔经济学奖。 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一个重要议题是线性规划。许多重要的管理决策是在线性规划模型的基础上做出的。线性规划的知识就是线代的知识啊。比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护运作等；又如，你作为一个大商场的老板，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。 对于其他工程领域，没有用不上线代的地方。如搞建筑工程，那么奥运场馆鸟巢的受力分析需要线代的工具；石油勘探，勘探设备获得的大量数据所满足的几千个方程组需要你的线代知识来解决；飞行器设计，就要研究飞机表面的气流的过程包含反复求解大型的线性方程组，在这个求解的过程中，有两个矩阵运算的技巧：对稀疏矩阵进行分块处理和进行LU分解；作餐饮业，对于构造一份有营养的减肥食谱也需要解线性方程组；知道有限元方法吗？这个工程分析中十分有效的有限元方法，其基础就是求解线性方程组。知道马尔科夫链吗？这个“链子”神通广大，在许多学科如生物学、商业、化学、工程学及物理学等领域中被用来做数学模型，实际上马尔科夫链是由一个随机变量矩阵所决定的一个概率向量序列，看看，矩阵、向量又出现了。 另外，矩阵的特征值和特征向量可以用在研究物理、化学领域的微分方程、连续的或离散的动力系统中，甚至数学生态学家用以在预测原始森林遭到何种程度的砍伐会造成猫头鹰的种群灭亡；大名鼎鼎的最小二乘算法广泛应用在各个工程领域里被用来把实验中得到的大量测量数据来拟合到一个理想的直线或曲线上，最小二乘拟合算法实质就是超定线性方程组的求解；二次型常常出现在线性代数在工程（标准设计及优化）和信号处理（输出的噪声功率）的应用中，他们也常常出现在物理学（例如势能和动能）、微分几何（例如曲面的法曲率）、经济学（例如效用函数）和统计学（例如置信椭圆体）中，某些这类应用实例的数学背景很容易转化为对对称矩阵的研究。 嘿嘿（脸红），说实在的，我也没有足够经验讲清楚线代在各个工程领域中的应用，只能大概人云亦云地讲述以上线代的一些基本应用。因为你如果要真正的讲清楚线代的一个应用，就必须充分了解所要应用的领域内的知识，最好有实际的工程应用的经

线性代数课后作业答案(胡觉亮版)

第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x

解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-

线性代数学习心得体会doc

线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，

想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只

线性代数 大作业(二)

线性代数 大作业（二） 学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________ 1.在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示,而T1,T 2,T 3,T 4表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如T 1=(30+40+T 2+T 3)/4，请计算该钢板的温度分布。 (1)根据已知条件可以得到以下线性方程组得矩阵形式:????????? ???-------0114140110414110 ????????????4321T T T T =???? ? ???????70505030 (2)给出方程组的解。 T 1=30。 C,T 2=25。 C,T 3=25。 C,T 4=20。 C A=[0 -1 -1 4;-1 4 0 -1;-1 0 4 -1;4 -1 -1 0]; b=[30;50;50;70]; U=rref([A,b]) U = 1 0 0 0 30 0 1 0 0 25 0 0 1 0 25 0 0 0 1 20 请过这六个点作一个五次多项式函数p 5(x)=5 54 43 32 2 10x x x x x αααααα+++++,并求当x=6时的函数值p 5(6) 。 p 5(6)=3956 x=[0;1;2;3;4;5]; 2030404020C C C C C C

y=[2;6;0;26;294;1302]; A=[x.^0 x.^1 x.^2 x.^3 x.^4 x.^5]; a=A\y; disp('五次多项式系数为：') disp(a); x0=6; y0=a(1)+a(2)*x0+a(3)*x0^2+a(4)*x0^3+a(5)*x0^4+a(6)*x0^5; disp(y0); 五次多项式系数为： 2.0000 5.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 1.0000 3.9560e+003 假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？ 解：设第n 年市区人数和郊区人数分别为x n 和y n ,则第n+1年的市区和郊区为 ???+=+=++n n n n n n y y y x x 9.0x 12.01.088.011，则矩阵表示为??????++11n n y x =? ?????9.012.01.088.0??????n n y x A=[0.88 0.10;0.12 0.90]; x0=[800000;200000]; x20=A^20*x0; disp(x20); 1.0e+005 * 4.5695 5.4305 故20年后市区和郊区的人口数分别为456950,543050。 3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。 表1 混凝土的配方

线性代数学后感

线性代数学习总结 本学期，在吴老师的带领下，我们对线性代数进行了系统的学习。我对线性代数的总体感觉是公式难记，比较抽象，计算容易出错。但是线性代数又是样很实用的工具，比如说对多元一次方程组的求解就可谓非常方便。对于这种难学好用的学科确实让我们比较为难，好好学吧，要有足够的毅力和勇气，不好好学吧，又觉得可惜，好好的工具不掌握哪行？结合这点以及我在平时学习以及近阶段复习当中的感受做出以下线性代数学习的总结。 一：首先学习线性代数要有兴趣。没有兴趣的话对于这样一门课很难学好。兴趣哪里来？这就要求我们对线性代数的重要性非常清楚。对于我们理工科的学生来说，线性代数是我们以后解决专业领域问题的基本工具，想要在专业领域有点成绩，就必须把线性代数学好。再者，线性代数在考研中也占有相当大的比重，鉴于现今就业形势不乐观，考研无疑也是条退路，所以学好现性代数有现实意义。 二：现代入门，重在概念和定义。这是学习的一切学习的基础，只有把握这个环节，我们的学习实践活动才能得以开展，知识是人类高度概括、总结的经验，不可能像平常说话那么通俗易懂。所以我们要想把知识学好，就得在概念上下功夫。例《线性代数》这门课程中的二次型，那我们首先得非常清楚的知到，什么叫做实二次型，什么是特征值，特征向量，什么是相似矩阵等等。否则这一块的知识没有办法开展。 三：学习相关概念后，要学会如何去操作。在线性代数中这一点就体现得很突出。如在我们学习正交矩阵这个概念后，我们得要学会如何去求正交矩阵；再如，当我们认识了矩阵的对角化定义之后，我们得掌握如何去将一个矩阵对角化。其实，就是学会如何去操作，这是我们掌握数学工具的使用方法的重要途径，所以这部分的工作是我们的学习中心和重点。只有掌握了这部分，我们才能在以后学习或者生活中遇到相似的问题，就有了这个工具去为我们解决实际的问题。 四：课堂听讲是关键，课前课后预习巩固。一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时做别的事只会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一个半小时的时间好好听呢？上课时，老师之一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你之学习方法甚至改变你之一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲之某个题自己会做也要听一下老师之思路。

线性代数齐次方程组解法

D =) () ()(0)()() (001 11112 132 3122211331221 1 312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ 按第一列展开，再将各列的公因子提出来 D = ) ()()() () () (121323122211331221131 2a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k k k ------------ =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) 22322 32 111 ---k k k k k a a a a a a 得到的k －1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为 ∏≤<≤-k i j j i a a 2)( 于是 D =(a 2－a 1)(a 3－a 1)…(a k －a 1) ∏≤<≤-k i j j i a a 2)(= ∏≤<≤-k i j j i a a 1)( 因此，对于任意正整数n ≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕 例1.14 计算n 阶三对角行列式： D n = 2 1 120000 021000 12 1000 12------ 解 由行列式的性质1.4，将D n 的第一列的每个元看成两个元之和，得

D n = 2100 12000002100 120 00011----- +2 1 1200000 21000 12 1 00011------ 第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得 D n =D n －1+ 1 110000 01000 110 00011 ---=D n －1+1 反复利用上面的递推公式，得到 D n =D n －1+1=D n －2+2=…=D 1+n －1=2+n －1=n +1 例1.15 计算n 阶行列式 D n = n a b b b a b b b a 21 (a i ≠b , i =1,2,…,n ) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。 D n =n a b b b a b b b a b b b 000121 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得

西南大学2020年秋季线性代数 【0044】机考大作业参考答案

一、必答题 什么是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵？ 答：系数矩阵：方程组左边各方程的系数作为矩阵就是此方程的系数矩阵。 増广矩阵：将非齐次方程右边作为列向量加在系数矩阵后就是增广矩阵其次方程有非零解的条件是系数矩阵的秩小于N 就是说未知数的个数大于方程的个数。 1、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。 1231231232322 21x x x x x x x x x ++=??++=??+-=? 2、求解上述线性方程组 二、从下列两题中任选一题作答 1、(a)什么是逆矩阵？ (b)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程11(2)T E C B A C ---=，试求矩阵A ，其 中1232012300120001B --?? ?- ?= ? ???，1201012000120001C ?? ? ?= ? ???。 （a ）设A 是一个n 阶矩阵，若存在另一个n 阶矩阵B ，使 得： AB=BA=E ，则称方阵A 可逆，并称方阵B 是A 的逆矩阵

（b ） 2、(a)什么是向量组的极大线性无关组？ (b)判断 向量组()()()123=1320=70143=2101T T T ααα-、、、 ()()45=5162=2-141T T αα、是否线性无关。 (c) 求出一个向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。 三、从下列两题中任选一题作答 1、（a ）阐述方阵的特征值和特征向量的定义。 对于方阵a,存在一个非零向量x 和实数λ，使得ax=λx 成立，则称λ为矩阵的特征值，x 称为a 相对于λ的特征向量。 延伸： 由ax-λx=0得(a-λe)x=0.

线性代数的学习方法和心得体会

线性代数的学习方法和心得体会 一、学习方法 今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。 首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。 总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。 我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成； 2. 这些点之间存在相对的关系； 3. 可以在空间中定义长度、角度； 4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动， 认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动形式而已。