2016年虹口高三二模

O

B

A

C

虹口区2016年高考模拟数学试卷（文理合卷）

2016.4

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．设集合{}

2

M x x x ==，{}

20N x log x =≤，则=N M __________.

2．已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b +=

3. 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.

4．已知复数z 在复平面上对应的点在曲线2

y x

=上运动，则z 的最小值等于__________. 5.已知函数()f x 的对应关系如下表：

若函数()f x 6.在正项等比数列{}n a 中，13234

1,,3a a a a =+=

则12

lim()n n a a a →∞

+++= ___________.

7.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π??????

单调递增，则实数ω的最大值为___________.

8.若行列式1

24

cos()

201

16

x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32

，则实数x 的取值集合为__________. 9. 若二项式(2n

x 展开式中的第5项为常数项，则 展开式中各项的二项式系数之和为__________.

10 .已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=

，C 为该球面上的动点，

若三棱锥ABC O -体积的最大值为32

3

，则球O 的表面积为___________.

11. 如图, 22

22+1(0)x y A B a b a b

=>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于

俯视图

左视图

点C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为___________. 12. 若经过抛物线 24y x = 焦点的直线 l 与圆22(4)4x y -+= 相切，

则直线l 的方程为___________.

13.（理） 假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元； 有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这 10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ 不少于其数学

期望E ξ的概率为_________.

（文）设函数2,1()(0,1),2,1

x a x f x a a x x x ?≠?-≥??其中若不等式()3f x ≤的 解集为(],3,-∞则实数a 的取值范围为___________. 14. （理）已知对任意的[](,0)(0,),1,1x

y ∈-∞?+∞∈-，不等式

221620x xy a x +

-≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. （文） 在直角坐标平面，已知两定点(1,0)(1,1)A B 、和一动点(,)M x y 满足01

,02OM OA OM OB ?≤?≤??≤?≤??

则点(,)P x y x y +-构成的区域的面积为_________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.

15． 3a =“”是“直线2

(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的 ( )

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

16．（理）已知抛物线2

1:4C y x =的焦点F 恰好是椭圆22

222:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点，

且两条曲线12C C 与交点的连线过点F ，则椭圆2C 的长轴长等于 (

)

（A 1 （B ）2

（C ） 2 （D ）4

（文）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） （A ）π3

（B ）π4

（C ）43+π （D ） 42+π 17. 在ABC ?中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边， 若222

4

ABC a b c

S ?+-=

（其中)ABC S ABC ??表示的面积，且

Q A D

C

B

P （第20题图）

0,AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

?

?

则ABC ?的形状是 ( )

（A ）有一个角为30?的等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形

18．（理）已知点列(,)()n n n A a b n N *∈均在函数(0,1)x y a a a =>≠的图像上，点列(,0)n B n 满足

1.

n n n n A B A B +=若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ ） （A

）0,??

?+∞ ? ????? （B ）

11,???? ? ????

（C

）0,??

?+∞ ? ?????

（D ）

11,???? ? ?

??

?

（文）已知抛物线27y x =-上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于( ) （A ）5 （B ）

（C ）6 （D

）

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 在锐角ABC ?中， 2sin sin sin()sin(

).4

4

A B B B π

π

=++-

（1）求角A 的值；

（2）若12,AB AC ?=

求ABC ?的面积.

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=?，

2AB AD AP ===，1BC =.

(1) 求点A 到平面PCD 的距离；

(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.

（第20题图）

P

B

C

D

A （文）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=?，

2AB AD AP ===，1BC =. 求： (1) 异面直线PC AD 与所成角的大小； (2) 四棱锥ABCD P -的体积与侧面积.

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

已知函数

131()log 1ax f x x -??

= ?-??

满足(2)1f -=，其中a 为实常数.

（1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；

（2）若不等式1()2x

f x t ??>+ ???

在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.

已知直线2y x =是双曲线22

22:1x y C a b

-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠

都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ． (1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ． 问：在x 轴上是否存在定点T ，使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的 坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS += 试求直线l 的方程．

23. (本题满分18分)

（理）本题共3个小题，每小题6分.

设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *

-=∈

（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；

（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+?∈求数列{}n b 的前n 项和.n T

（3）设(1)(),n n c n a n N *=+?∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤ 试求M 的最小值.

（文）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分.

已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足4

3934.a S a a a ==+，

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12,k k k a a a ++=求正整数k 的值； （3）是否存在正整数k ，使得221

k

k S S -恰好为数列{}n a 的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k ；若不存在，请说明理由．

（第20题解答图）

虹口区2016年高考模拟数学试卷 参考答案与评分标准

2016年4月

一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）

1．[]0,1 2． 3 3．125 4． 2 5． {}3,2,1,5- 6.

92 7. 32 8． 2,3x x k k Z ππ??

=±∈????

9. 64 10．64π 11

10x y ±-=

13．（理）

2

3

； （文）(]1,3 14．

（理）(

,8-∞-； （文）4

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15. A 16. C 17. D 18. B 三、解答题（本大题共5题，满分74分）

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

()2222sin sin sin(

)sin(

)sin sin(

)cos(

)

4

4

4

4

111

sin sin(2)sin cos 1242222

A B B B B B B B B B B π

π

π

π

π=++-=+++=++=+=

解：因分

故由ABC ?为锐角三角形，得.

6A π

=

……6分

（2）由（1

）知cos A =

由已知，有

12cos ,

AB AC cb A =?=?=

故bc = ……9分

从而111

sin 222

ABC S bc A ?=

?=?= ……12分

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

（理）解：(1)以},,{为正交基底建立空间 直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），

(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分

设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =

由(2,1,0),DC =- (0,2,2),DP =- (0,2,0).DA =-

则

20

2,2.220n DC x y y x z x n DP y z ì?ì?-==???T

眄镲=?-+=??

??

令1x =，则(1,2,2)n = . ……5分

（第20题图）

P

B

C

D

A 所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n

×-?=== ……7分 (2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==

且(1,1,1).CQ

=--

设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z = 则00000000200,.0n AD y y z x n AQ x z ì?ì?==??镲T眄镲=-?+=???

? 令01x =，则0(1,0,1)n =-

. ……10分

设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则

000

sin cos ,CQ n CQ n CQ n θ?=<>==

=

故直线CQ 与平面ADQ

所成角的大小为arc ……14分 注：第（1）小题也可用等积法来做.

（文）解：（1）由已知，有//,BC AD AD PAB ⊥面， 故BC 与PC 所成的角PCB ∠等于AD 与PC 所成的角， 且.BC PB ⊥ ……3分 因1,BC =

易知PB =

故tan PC PCB BC ∠==

故异面直线BC 与PC

所成角的大小为tan arc …7分

1(2)31111

()(21)22 2.103232

P ABCD ABCD V S AP AD BC AB AP -=

?=?+??=?+??=?梯形分

容易求得：,3,PD CD PC ===

故由余弦定理，得222

cos 2CD PC PD PCD CD PC +-∠=?

从而

11sin 3 3.22PCD S CD PC PCD ?=??∠=?= ……12分

又2,PAB PAD PBC S S S ???== 因此

=+++7PAB PAD PBC PCD P ABCD S S S S S ????-=四棱锥侧面积 ……14分

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由1312121(2)log 1,,21

33a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分

于是131()log 1x f x x +??=

?-?

?，

其定义域为

(,1)(1,).D =-∞-?+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-?+∞有

11113333

1111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+??????

-=+=?== ? ? ?------??????

故()f x 为奇函数. ……7分

（2）由1()2x f x t ??>+ ???，得[]1()2,32x

t f x ??<- ???

在恒成立. 由

12

111x x x +=+

--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13

()log g u u =在(0,)+∞上也递减， 故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分 由()f x 及12x

y ??

=- ???

在区间[]2,3均单调递增，知

[]1()()2,32x

x f x ???

=- ???

在单调递增， ……12分

故2

min

15()(2)(2).24x f ????

==-=- ???

因此，实数t 的取值范围为5

(,).4

-∞-

……14分 22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.

解：（1）由已知，得11,2,2a a b b a

=?=?????==???故双曲线C 的方程为 22 1.4y x -= ……3分

(1,)AM m n =-

为直线AM 的一个方向向量， ∴直线AM 的方程为

1,1x y m n -=-它与y 轴的交点为(0,).1n

P m

- ……5分

（2）由条件，得(,),N m n -且(1,)AN m n =--

为直线AN 的一个方向向量， 故直线AN 的方程为

1,1x y

m n -=--它与y 轴的交点为(0,

).1n Q m

+ ……7分 假设在x 轴上存在定点0(,0)T x ，使得TP TQ ⊥,则 由0(,

),1n TP x m =--

0(,),1n TQ x m =--+ 及221,4

n m -=得 0(,)1n T P T Q x m ?=-?- 22222

00002

2(,)40.11

(1)1

4

n n n x x x x n

m m --=-=-

=-=+-+- 故02,x =±即存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0),-满足题设条件. ……10分

(3) 由OR OS RS +=

知，以OR OS 、为邻边的平行四边形的对角线的长相等， 故此四边形为矩形，从而.OR OS ⊥

……12分

由已知，可设直线l 的方程为2,y kx =+并设1122(,),(,),R x y S x y

则由2

22,1,4

y kx y x =+???-

=?? 得 22(4)480.k x kx -++= 由2221632(4)16(8)0,k k k ?=--=->及240,k -≠得2284k k <≠且 （*） 由1212

12122248

,,(2)(2),44

k x x x x y y k x k x k k +=-

==++-- ……14分 得2222121212122228(1)84(2)

(1)2()440444

k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-?=+=++++=-+==---

故22,k =符合约束条件（*）.

因此，所求直线l

的方程为 2.y =+ ……16分 23.（理） (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分. 解：（1）当1n =时， 22111111(1);2

S a S S S -==?=

当2n =时， 222222212

(1)();23

S a S S S S -==-?=

当3n =时， 233333323

(1)().34

S a S S S S -==-?= ……2分

由此，猜测： ().1

n n

S n N n *=∈+ 下面用数学归纳法证明：

（i ）当1n =时，结论显然成立； （ii ）假设当()n k k N *=∈时，1

k k

S k =

+；则当1n k =+时，由条件，得 21111111(1)().22

21

k k k k k k k k k k k S a S S S S S k S k k +++++++-==-?=

==-+-+

即当1n k =+时，结论也成立.

于是，由（i ），（ii ）可知，对任意的,.1n n

n N S n *

∈=

+均有

……4分 当111

2,.1(1)

n n n n n n a S S n n n n --≥=-=

-=++时又1111,212a S ===

? 于是数列{}n a 的通项公式为:1().

(1)n a n N n n *

=∈+

……6分

(2)因 121111111(1)(1)(1)(1)(),(2)22

n n n n n n b n a a n n n n ++++=-+?=-?=-?-++……8分 当n 为奇数时，

12111111111111(1)()()()()()232435461121111111

(1)?221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ??=+++=

---+---+--+-??-++????=-+-=+??++++?? 分

当n 为偶数时， 12111111111111(1)()()()()()232435461121111111

(1).221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ??

=+++=

---+---++---??-++????=--+=-??++++??

故111,(22(1)(2)11(1)=.

22(1)(2)111,(22(1)(2)n

n

n n n T n n n n n ???+???++??-???=-???++????

?-

???++?

??当为奇数)

当为偶数)

……12分 （3）因1

(1),n n c n a n

=+?=

由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，

设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++ 11,1,(),q Q q d a N a +*∈<=

∈因且 设(,,2,,).v

q u v N u u v u *=∈≥且互质 （i ）当1v =时，因11

,2q u =

≤

故 2112312111111

(1)12.2222

m m m m d d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分

（ii ）当1v ≠时，因1

1

111m m m m v d d q a u

---==?是数列{}n c 中的项，故1().m a v a a N -*''=?∈

211231123221123221

1232211111(1)111111

()111111111122323233121()321232(3).23213

m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d d d d q q q a v v u v u vu u v v u v u vu u m --------------------++++=++++=

+++++'≤+++++≤+++++?????

-????==-<-≥- 从而

综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，

其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2

m -- ……18分

另解（3）：因1

(1),

n n c n a n =+?=

由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，

设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++

11

,1,().q Q q d a N a +*∈<=

∈因且 （i ）当1a =时，因1

,2q ≤

故 211232111111

112.2222

m m m m d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分

（ii ）当2a ≥时，因1

1,11a a q a a

+≤=+ 故

2112311111

(1)111

31

2(3).22

m m m d d d d q q q a a a a

a m --++++=++++

<-≥

综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，

其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2

m -- ……18分

23.（文）本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分. 解：（1）设{}n a 的奇数项构成的等差数列的公差为,d 偶数项构成的等比数列的 公比为,q 则12121(1),2.n n n

a n d a q --=+-= 由已知，得2(2)22,

14(1)2 3.

q d d d d q q =++=????

?+=++=?? ……3分

故数列{}n a 的通项公式为：2

2,

(.23,(n n n n a n -??=????当为奇数)当为偶数) ……5分

（2）当k 为奇数时，由12,k k k a a a ++=得 112

2

2

2323

.2k k k k k k

--+??=+?=

由于1

2

2

3

,22k k N k k k

-*+∈=而

仅在时为正整数，与为奇数矛盾！ ……7分 当k 为偶数时，由12,k k k a a a ++=得 22

2

23

+123 2.k k

k k -??=??=（）

综上，得 2.k = ……10分

（3）由(1)可求得[]212

213(21)2(1333)31,

k k k S k k -=+++-+++++=+- 1221223 1.k k k k S S a k --=-=+-

若

221k

k S S -为数列{}n a 中的一项，则22222121

()23().m k k k k S S m m m S S ---==?为正奇数，或为正偶数……13分 （i ）若221

()k k S m m S -=为正奇数，则2121231(3)3(1)(1).31k k k k m m m k k --+-=?-=--+- 当1k =时，3m =，结论成立；

当1k ≠时，1231,13k m k m --=--由1231

0,0,13,

13k m m k m

-->><<--得解得 由于m 为正奇数，故此时满足条件的正整数k 不存在.

……15分

（ii ）若2

2221

23(),m k

k S m S --=?为正偶数显然1k ≠，则

22222

1

2

122

2

2

2122

2

31

3231

23

(323

)3(1)(23

1).31

1

323m m m m k k k m k k k k k --------+-?-=??-?=-?-?

=+---? 由1k >得22

1

2

2222

32310,0123 3.1

323m m k m k ----?->>?

,23

m m -?由为正偶数得为正偶数，

因此2

2

232m -?=，从而1

122313 1.

1

k k k k --=?=-- 121223133 1.

k k k k k k --==-≥>-当时，；下面用数学归纳法证明：当时，

①12331k k k -=>-当时，显然；

②123311l k l l k l -=≥>-=+假设当时，有；当时，

2222

(1)112233(1)(1)1(1)(4)0,3333(1)(1) 1.

l l l l l l l l l +--??≥--+-=-+->??

=?>->+-由得

故

即1k l =+当时，结论成立.

由①，②知：1233 1.k k k -≥>-当时，

综合（i ），（ii ）得：存在两个正整数k ,k =1或2，使221k k S

S -为数列{}n a 中的项.……18分