2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考数学(文)
2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考
数 学(文科) ★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A 1,2,3,4},B {x 3}x ==<{，则A
B =
A.1,2,3}{
B.1,2}{
C.1x 3}x ≤<{
D.1x 3}x <<{
2.已知复数z 满足(1)z i =
，则z =
A. 1
B.1
C.i
D.－i
3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为
A. 30
B. 40
C.50
D. 80 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则
A.m B.m C.p D.n 5.已知a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则 A.a ∥α，a ⊥b ，则b ⊥α B.a ⊥α，a ⊥b ，则b ∥α C.a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β，则α∥β D.a b ＝A ，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β，则α∥β 6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A. 110 B.15 C. 310 D. 25 7.已知双曲线22 221x y a b -=（a>0，b>0）的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 A. B.2 8.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象 A.向右平移 34π个单位长度 B.向右平移2π 个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2 π 个单位长度 9.已知实数x 、y 满足20 0340x x y x y -≤?? +≥??-+≥? ，则z ＝－x ＋y 的取值范围是 A.[－4，2] B. [－4，0] C. [－2，－4] D[－2，4] 10.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x x f x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为 A.(－1，3) B.(－3，1) C.(,1) (3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞ 11.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为 1 2 C.1 D.2 12.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 第Ⅱ卷 注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上。 13.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，m)，且a 与a ＋b 垂直，则m ＝ 14.已知所有项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 4＝a 4＋21，则公比q ＝ 15.已知锐角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(sin3，－cos3),则角θ的值为 16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝2，A ＝2B ，则c ＝ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内。 17.(本小题满分12分) 已知数列{a n }满足a 1=1，2222* 1(1)2(1),n n n a n a n n n N +-+=+∈，设2 n n a b n = 。 (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式； (Ⅱ)求数列1 1 {}n n b b +的前n 项和S n 。 18.(本小题满分12分) 某电器店周年庆举行为期六天的促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，第五天该电器店老板对前五天中参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下： (Ⅰ)若y 与x 具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y = bx+a ； (Ⅱ)预测第六天的参加抽奖活动的人数(按四舍五入取到整数)。 参考公式与参考数据：5 1 5 2 1 ()() ???,() i i i i i x x y y b a y b x x x ==--==-?-∑∑ 19.(本小题满分12分) 如图所示，四棱锥S －ABCD 中，平面SCD ⊥平面ABCD ，∠SDC ＝∠BCD ＝∠ADB ＝2∠CBD ＝2∠ABD ＝90°，E 为线段SB 的中点，F 在线段BD 上，且EF ⊥平面ABCD 。 (Ⅰ)求证：CE ∥平面SAD ； (Ⅱ)若BC ＝2，∠ECF=45°，求点F 到平面SBC 的距离。 20.(本小题满分12分) 函数2 ()ln x f x ae x x =+-(e 为自然对数的底数)，a 为常数，曲线f(x)在x ＝1处的切线方程为(e ＋1)x －y ＝0。 (Ⅰ)求实数a 的值； (Ⅱ)证明：f(x)的最小值大于5 ln 24 +。 21.(本小题满分12分) 已知点P 为圆x 2＋y 2＝4上一动点，PQ ⊥x 轴于点Q ，若动点M 满足 OM ??→ ?? →??→=+。 (Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程； (Ⅱ)过点(1，0)的直线l 1，l 2分别交曲线E 于点A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，证明：11 AC BD +为定值。 请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，曲线C 1的参效方程为2cos 1cos 2x y φ φ=??=+? (φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为()3 R π θρ==。 (Ⅰ)求曲线C 2的直角坐标方程； (Ⅱ)求曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标。 23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 己知函数()124f x x x =-++。 (Ⅰ)求不等式f(x)>6的解集； (Ⅱ)若()10f x m --≥恒成立，求实数m 的取值范围。 数学参考答案（文科） 1.【解析】{1,2}A B =，故选B. 2.【解析】因为(1)z i = ，所以 z i = ==，所以z i =-. 3.【解析】甲乙丙三所学校抽样比为3：4：5，所以应在丙学校应抽取1 120403 ?=. 4.【解析】因为0.4 0.54log 0.40,4 1,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<. 5.【解析】由a ，b 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知： 在A 中，//a α，a b ⊥，则b 与α相交、平行或b α?，故A 错误； 在B 中，a α⊥，a b ⊥，则//b α或b α?，故B 错误； 在C 中，a α?，b α?，//a β，//b β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，a b A =，//a α，//b α，//a β，//b β，则由面面平行的判定定理 得//αβ，故D 正确．故选D ． 6.【解析】从5个人中随机抽取3人，所有的情况为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），（甲、丙、丁），（甲、丙、戊），（甲、丁、戊），（乙、丙、丁），（乙、丙、戊），（乙、丁、戊），（丙、丁、戊），共10种，其中满足条件的为（甲、乙、丙），（甲、乙、丁），（甲、乙、戊），共3种，故所求概率3 10 P = . 7．【解析】因为渐近线互相垂直，所以 1b a =，又因为一个焦点与圆2240x y x +-=的圆心 重合，所以2c =，解得a b ==c a = 8.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4 π 个单位长度， 可得)])244 y x x x ππ =++=+π=，故选C. 9.【解析】作出可行域如右图所示，是三角形ABC 内部区域（包含边界）平移直线0:l y x =，当其过点 (1,1)A -时，z x y =-+取得最大值， max 112z =+=；当其过点(2,2)C -时，z x y =-+取得最小值，min 224z =--=-.所以z x y =-+的取值范围是[4,2]-. 10.【解析】由题意可知，当x R ∈时，1()x x f x e e =- ，所以1()0x x f x e e '=+>为R 上的 单调递增函数，故由2 (2)(3)0f x x f --<，得2 (2)(3)f x x f -<，即2 230x x --<，解 得13x -<<，故选A. 11.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由 题意得22020x y x y +-=?? --=?，解得0 2 x y =??=?，所以直线l 过定点(0,2)Q .因为OP l ⊥，所以点P 的 轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线30x y -+=的距 12.【解析】设CD 中点为N ，则1 ||(||||)2 MN AC BD = +. 由抛物线定义可知||||,||||AC AF BD BF ==，所以11 ||(||||)||22 MN AF BF AB = +=. 因为直线l 的斜率为 2 ，所以||||3CD AB = ，进而||||||6CN DN AB ==，所以 |||||CM DM AB === ，即CDM ?是等边三角形. 13.【答案】11 3 -【解析】向量(2,3)a =，(1,)b m =-，∴(1,3)a b m +=+， a 与a b +垂直，∴23(3)0m ++=，解得11 3 m =-． 14.【答案】4【解析】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以3 31211q S q -= =-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =. 15.【答案】32 π - 【解析】由三角函数的定义可知 cos sin 3cos(3)2πθ= ==-，因为(0,)2πθ∈，所以3(0,)22ππ -∈，又因 为cos y x =在(0,)π上单调递减，所以32 π θ=- . 16. 5 2 【解析】由正弦定理可知3cos 24a B b = =，进而21cos cos 22cos 18A B B ==-=. 又由余弦定理可得22222495cos 244b c a c c A bc c c +-+--===，所以 25148c c -=，解得5 2 c =（另一负根舍去）. 解法2，一般求出3cos 4B =后直接运用222323 cos 234 c B c +-==??来求得52c =或2c =，然 后再检验2c =是增根. 一般学生不会按照标准答案那样再去求解cos A ，然后运用 22222495 cos 244b c a c c A bc c c +-+--=== 求解52c =. 17.【解析】（1）因为()()2 2 221121+-+=+n n n a n a n n ，*∈n N ， 所以 () 1 2 2 21+- =+n n a a n n *∈n N ，即数列{}n b 是等差数列， 因为11a =，所以()1 22 21211n n a a b n n n ==+-=-.……………………………………………6分 （2）因为 11111 ()(21)(21)22121 b b n n n n ==--+-+， 121n + + -……………………12分 18.【解析】（1）依题意：()1 1234535 x = ++++=， ()1 46102322135 y = ++++=，………………………………………………………2分 所以 5 1 5 2 1 ()() ?() i i i i i x x y y b x x ==--=-∑∑ ()()()()()()()()()()()()()()() 22222 1341323613331013432313532213=1323334353--+--+--+--+---+-+-+-+- 5.3=， ?13 5.33 2.9a =-?=-，………………………………………………………7分 故所求回归直线方程为? 5.3 2.9y x =-.……………………………………………………8分 （2）将x=6,代入? 5.3 2.9y x =-中，得? 5.36 2.928.929y =?-=≈， 故预测第八天的参加抽奖活动的人数为29.………………………………………………12分 19. 【解析】（1）证明：因为平面SCD ⊥平面ABCD ， 平面SCD 平面ABCD CD =，SD CD ⊥， SD ?平面SCD ，故SD ⊥平面ABCD ； 又EF ⊥平面ABCD ，故//EF SD ； 因为EF ?平面SAD ，SD ?平面SAD ，故//EF 平面SAD ； 取SA 中点G ，连接GE ，GD ，则//GE AB ，且1 2 GE AB = ； 因为0 90BCD ABC ∠=∠=，故//CD AB ，故//GE CD ； 由角度关系可知，1 2 CD AB = ，故CD GE =， 即四边形CDGE 为平行四边形，//CE GD ； 又因为CE ?平面SAD ，GD ?平面SAD ，故//CE 平面SAD .………………………6分 （2）由（I ）可知，F 是线段BD 的中点.在等腰直角△BCD 中，2==CD BC ，则22=BD ， 在Rt ECF ?中，0 45ECF ∠=，所以1 2 EF CF BD == = 所以2SD EF ==SC =……………………………………………………8分 易知是点F 到平面SBC 的距离是点D 到平面SBC 的距离的一半，过D 作平面SBC 的垂线，交平面SBC 于点M ，则易知M 一定在线段SC 上，由SC DM SD CD ?=?得 3SD CD DM SC ?= =，所以点F 到平面平面SBC 的距离为3 ……………………12分 20.【解析】（1）对()f x 求导可得1 ()2x f x ae x x '=+- ，所以(1)1f ae '=+. 由曲线()f x 在1x =处的切线方程为(1)0e x y +-=可知11ae e +=+，故1a =. （2）证明：由（1）知2()ln x f x e x x =+-，得1()2x f x e x x '=+- ， 又再次求导易知21 ()20x f x e x ''=++ >，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增. 注意到11 42111 ()40,()120422 f e f e ''=+-<=+->，所以由零点存在性定理可知存在 011 (,)42 x ∈，使得0()0f x '=，即000120x e x x +-=，即00012x e x x =-. 当00x x <<时，()f x 单调递减；当0x x >时，()f x 单调递增. 于是02 2 20000000000 11()()ln 2ln (1)ln 1x f x f x e x x x x x x x x x ≥=+-= -+-=-+--， 易知2 00001()(1)ln 1f x x x x =-+ --在11 (,)42 上单调递减， 所以01 5 ()()()ln 22 4 f x f x f ≥>= +. 21.【解析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则0(Q x ，0)， 所以(,)OM x y =，0(OP x =，0)y ，0(OQ x =，0)． 由32322OM OP OQ -=+ ，得0 002222 x x x y y ?=+??? ?=??， 即00,x x y y ==，………………………………………………………………………2分 因为22 004x y +=，代入整理得22143 x y +=， 即为M 的轨迹为椭圆22 143 x y +=.………………………………………………………4分 （2）证明：当AC 的斜率为零或斜率不存在时， 11117 ||||3412 AC BD +=+=.……5分 当AC 的斜率k 存在且0k ≠时，AC 的方程为(1)y k x =+， 代入椭圆方程22 143 x y +=，并化简得2222(34)84120k x k x k +++-=． 设1(A x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则22121222 8412 ,3434k k x x x x k k -+=- =++，…………… 7分 1222 ||| 12(1)34AC x x k k =-+== +， 因为直线BD 的斜率为1k -，所以222 21 12[1()] 12(1)||14334()k k BD k k +-+==++-， 所以2222 1134437 ||||12(1)12(1)12 k k AC BD k k +++=+=++，………………………………11分 综上， 117 ||||12 AC BD +=，是定值.………………………………………………12分 22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为y =.…………………………2分 将cos ,sin x y ρθρθ==代入曲线2 3:2cos 2C m ρρα=-， 整理即得3C 的直角坐标方程为22 220x y mx +-+=.…………………………………5分 （II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos , 1cos 2, x y ??=??=+?（?为参数）， 所以曲线C 的直角坐标方程为[]()2 12,22 y x x = ∈-， ………………………………7分 联立2 , 1, 2 y y x ?=??=??解方程组得0,0,x y =??=? 或6,x y ?=??=?? 根据x 的范围应舍去6, x y ?=??=??故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分 23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>， 当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-； 当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解； 当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >； 综上所述，不等式()6f x >的解集为() (),31,-∞-+∞；………………………………5分 （3）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥， 当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤ 故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分