高等数学下册知识点总结
?
高等数学下册知识点
二. 极限性质:
1. 类型: *; *(含); *(含)
《
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:
, , ,
, , , , , 四. 必备公式:
/
1. 等价无穷小: 当时,
lim n n a →∞lim ()x f x →∞
x →±∞0
lim ()x x f x →0x x ±
→000,
,1,,0,0,0∞
∞∞-∞?∞∞∞
11n n →1(0)1n a a >→1()max(,,)n
n
n n
a b c a b c ++→()00!
n
a a n >→1(0)x x
→→∞0lim 1x
x x +
→=lim 0n x x x e →+∞=ln lim 0n x x x →+∞=0
lim ln 0n
x x x +
→=0,
x x e x →-∞
?→?+∞→+∞
?()0u x →
; ; ; ; ; ;
;
第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、
》
3、
线性运算：加减法、数乘；
4、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
5、
利用坐标做向量的运算：设，，
则 , ；
6、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模：
；
2） 两点间的距离公式：
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角
4） —
5） 方向余弦：
sin ()()u x u x tan ()()u x u x 2
11cos ()
()2
u x u x -()
1()u x e
u x -ln(1())()u x u x +(1())1()u x u x αα+-arcsin ()()u x u x arctan ()()u x u x ),,(z y x a a a a =
)
,,(z y x b b b b = ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±
),,(z y x a a a a λλλλ= 2
22z y x r ++=
2
12212212)
()()(z z y y x x B A -+-+-=γβα,,r
z
r y r x ===γβαcos ,cos ,cos
6） 投影：，其中为向量与的夹角。
（二） 数量积，向量积
1、 数量积：
1）
2）
'
2、 向量积：
大小：，方向：符合右手规则
1）
2）
运算律：反交换律
1cos cos cos 222=++γβα?cos Pr a a j u
=?a u
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a
=?
（三）—
（四）曲面及其方程
1、曲面方程的概念：
2、旋转曲面：
面上曲线，
绕轴旋转一周：
绕轴旋转一周：
3、柱面：
表示母线平行于轴，准线为的柱面
4、~
5、二次曲面
1）椭圆锥面：
2）椭球面：
旋转椭球面：
3）单叶双曲面：
4）双叶双曲面：
5）椭圆抛物面：
6）双曲抛物面（马鞍面）：7）<
8）椭圆柱面：
9）双曲柱面：
10）抛物柱面：
（五）空间曲线及其方程
1、一般方程：
2、 参数方程：，如螺旋线：
3、
空间曲线在坐标面上的投影
`
，消去，得到曲线在面上的投影
（六） 平面及其方程
1、 点法式方程：
法向量：，过点
2、
一般式方程：
截距式方程：
3、
两平面的夹角：，，
`
),,(C B A n =
),,(1111C B A n = ),,(2222C B A n = 22
22
22
21
21
21
2
12121cos C
B A
C B A C C B B A A ++?++++=
θ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A
4、
点
到平面
的距离：
（七） 空间直线及其方程
1、 一般式方程：
2、
对称式（点向式）方程：
:
方向向量：，过点
3、 参数式方程：
4、
两直线的夹角：，，
?∏∏21//2
1
2121C C B B A A ==
2
22000C B A D
Cz By Ax d +++++=
p
z z n y y m x x 0
00-=-=-),,(p n m s =
),,(1111p n m s = ),,(2222p n m s =
22
22
22
21
21
21
212121cos p
n m p n m p p n n m m ++?++++=
??⊥21L L 0212121=++p p n n m m
5、
直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
'
第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念 1、
距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
2、 多元函数：
，图形：
3、 :
4、
极限：
5、 连续：
6、 偏导数：
?21//L L 2
1
2121p p n n m m ==2
22222sin p n m C B A Cp
Bn Am ++?++++=
??∏//L 0
=++Cp Bn Am ?∏⊥L p
C
n B m A =
=),(y x f z =A
y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00),(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =
→
7、
方向导数：
其中为的方向角。
8、
梯度：，则。
9、
￥
10、
全微分：设，则
（二） 性质 1、
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
2、
"
3、
闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 4、
微分法
1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则
y
y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?)
,(),(lim
),(00000
00βαcos cos y
f
x f l f ??+??=??),(y x f z =j y x f i y x f y x gradf y x
),(),(),(000000+=),(y x f z =d d d z z
z x y x y
??=+??u x z
偏导数存在
函数可微
函数连续
偏导数连续
&
必要条件
定义
1
2
2
3
4
若
，则
， 3）
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
（三） 应用 1、
^
2、
极值
1） 无条件极值：求函数
的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令 ，，，
① 若
，，函数有极小值，
若
，，函数有极大值； ② 若
，函数没有极值； ③ 若，不定。
2）
、
3）
条件极值：求函数
在条件下的极值
令：
——— Lagrange 函数
(,),(,),(,)z f u v u u x y v v x y ===v y z z u z v x u x v x ?????=?+??????z z u z v
y u y v y
?????=
?+??????),(y x f z =?????==0