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江苏2017年高考一轮复习专题突破训练

江苏省2017年高考一轮复习专题突破训练

三角函数

一、填空题

1、（2016年江苏高考）定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .

2、（2016年江苏高考）在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .

3、（2015年江苏高考）已知tan 2α=-，1

tan()7

αβ+=

，则tan β的值为_________3_________。 4、（2014年江苏高考）已知函数x y cos =与)0)(2sin(π??≤≤+=x y ，它们的图象有一个横坐标为

的交点，则?的值是 ▲ ． 5、（南京市2016届高三三模）如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象

上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π

，则该函数的周期是▲________．

6、（南通、扬州、泰州三市2016届高三二模）设函数sin 3y x πω?

=+ ?

（0x π<<），当且仅当12

x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ． 7、（南通市2016届高三一模）已知31)6

sin(=

x ，则)3

(sin )65sin(2x x -+-π

π的值是 8、（苏锡常镇四市市2016届高三二模）若1tan 2

α=

，1

tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．

9、（镇江市2016届高三一模）函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a >0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．

10、（镇江市2016届高三一模）由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为________． 11、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）函数)sin(2)(?ω+=x x f )0(>ω的部分图像如图所示，若5=AB ，则ω的值为．

-2

y A

12、（南京、盐城市2016届高三上期末）在ABC ?中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，

A π

，3

cos 5

B =

，则边c = ▲ 13、（南通市海安县2016届高三上期末）若函数)4

cos(3)4

sin()(π

++=x x a x f 是偶函数，

则实数a 的值为

二、解答题

1、（2016年江苏高考）在ABC △中，AC =6，4πcos .54

B C =

=，（1）求AB 的长；（2）求π

cos(6

A -)的值.

2、（2015年江苏高考）在ABC V 中，已知2AB =，3AC =，60A =?。

（1）求BC 的长；（2）求sin 2C 的值。

3、（2014年江苏高考）已知5sin 25παπα??

∈=

???

，，。（1）求sin(

)4π

α+的值；

（2）求5cos(2)6

α-的值。

4、（南通市2016届高三一模）在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，

ab c b a c b a =++-+))((。

（1）求角C 的大小；

（2）若2,cos 2==b B a c ，求?ABC 的面积。

5、（扬州中学2016届高三下学期3月质量检测）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为

,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.

（1）证明：2

B A π

-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.

6、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知53sin =

A ，2

)tan(-=-B A ，（1）求B tan ；（2）若5=b ，求c .

7、（南京、盐城市2016届高三上期末）

设函数()sin()(0,0,,)2

f x A x A x R π

ω?ω?=+>>-<<

∈的部分图象如图所示.

（1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[,]22

x ππ

∈-

时，求()f x 的取值范围.

8、（南通市海安县2016届高三上期末）已知5

)4sin(),45,43(=

-∈πθππθ。（1）求θsin 的值；（2）求)3

22cos(π

θ+的值；

9、（苏州市2016届高三上期末）在ABC ?中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

cos cos 2cos a B+b A

C c

=．

（1）求角C 的大小；

（2）若ABC ?的面积为23，6a b +=，求边c 的长．

10、（泰州市2016届高三第一次模拟）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以v 5的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．

（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域；（2）求时间T 最短时cos θ的值．

11、（南京市2016届高三9月学情调研测试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A ．（1）求b

的值；

（2）若sin A ＝13，求sin(C －π

4)的值．

12、（常熟市2016届高三上学期期中考试）已知函数)

0)(2

sin

cos

3(2

cos 2)(>-=ωωωωx

x f 的最小正周期为π2. （1）求函数)(x f 的表达式；（2）设)2,0(π

θ∈，且5

3)(+=θf ，求θcos 的值.

参考答案

一、填空题 1、【答案】7

【解析】由

s i n 2c o s c o s 0s

i n 2

x x x x =?=

=或，因为[0,x π∈，所以355

1317,

,,,

222

666

x πππ

ππππ

共7个 2、【答案】8.

【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=?+=，因此

tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8

A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥?≥，即最小值为8.

3、 1

t a n ()t a n 7t a n 311t a n ()t a n 1(2)

αβαβαββ++-===+++?- 4、6

5、4

6、2

7、【答案】

．【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质，诱导公式，两角和与差三角函数，三角函数的恒等变换，考查运算能力，难度中等. 【解析】225sin sin sin sin 6

3626x x x x ππππππ????????????-

+-=+-+-+ ? ? ? ? ? ??

??????

????? 25sin 1sin 669x x ππ???

?=-++-+= ? ????

?．

sin(x －5π6)＝sin(x ＋π6－π)＝－sin(x ＋π6)＝－1

3．

sin 2(π3－x )＝cos 2(x ＋π6)＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝8

9，

所以sin(x －5π6)+sin 2(π3－x )＝89－13＝59

．

8、1

9、【答案】2π．

【命题立意】本题旨在考查三角函数的几何性质，基本不等式，考查概念的理解和运算能力，难度较小．

【解析】取函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a >0，θ≠0)的最大值为a ，周期为2T a

，所以同一周期内相邻的

最高点与最低点的距离为：22

4242a a a a πππ????+≥?= ? ?????

（当且仅当2a π=时，等号

成立），故答案为2π． 10.【答案】51

．【命题立意】本题旨在考查三角函数值，诱导公式．考查概念的理解和运算能力，难度中等. 【解析】由

sin 36°＝cos 54°得()

00000

sin 362sin18cos18cos 3618

==+即

4sin 182sin1810+-=，解得20

221651

sin18244

-++-==

?， ()()000002051

cos 2016cos 5360144cos 144cos362sin 1814

+=?-==-=-=-

， 11、

12、7 13、－3

二、解答题

1、解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以2243sin 1cos 1(),55

B B =-=-=

由正弦定理知

sin sin AC AB B C =，所以2

6sin 25 2.3

sin 5

AC C

AB B

??===

（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+ 于是cosA cos(B C)cos()cos cos

sin sin

,444

B B B π

=-+=-+

=-+

又43cos ,sin ,55B B ==，故42322

cos 525210

A =-?+?=-

因为0A π<<，所以272

sin 1cos 10

A A =-=

因此23721726

cos()cos cos sin sin .66610210220

A A A πππ--=+=-?+?=

2、解：（1）2,3,60AB c AC b A =====?，所以222cos a BC b c bc A ==+- 1

941272

=+-?

（2）根据正弦定理，3

2sin 212sin 77

c A

C a

==，又因为c a <，所以C A <，

故C 为锐角，所以27

cos 7

C =

。所以： 212743

sin 22sin cos 2777

C C C ==?

3.（1）∵α∈（错误！未找到引用源。，π），错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

（2）错误！未找到引用源。=1错误！未找到引用源。2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。

4、【答案】（1）

π；（2）3．【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识，考查运算求解能力．难度较小．【解析】

（1）在△ABC 中，由(a +b －c )(a +b +c )＝ab ，得222122

a b c ab +-=-，即cos C ＝1

2-．………3分

因为0＜C ＜π，所以C ＝23

．……………………………………………………………6分

（2）（法一）因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得

sin C ＝2sin A cos B ， …………………………………………………………………………8分

因为A +B +C ＝π，所以sin C ＝sin(A +B )，

所以sin(A +B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， ………10分又－

3π＜A －B ＜3

π，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2．………………………………………………12分所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23

π＝

3． ………………………14分

（法二）由2cos c a B =及余弦定理，得222

22a c b c a ac +-=?，…………………………8分

化简得a b =，………………………………………………………………………………12分

所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 23π＝

3．………………………14分

5、解析：（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a A

A b B

==，∴sin cos B A =，即sin sin(

B A π

=+，............... 4分

又B 为钝角，因此(,)22

A π

π+∈，(不写范围的扣1分) 故2

B A π

+，即2

B A π

；............ 6分

（2）由（1）知，()C A B π=-+

(2)202

A A ππ

π-+=->，∴(0,)4

A π∈，................ 8分

于是sin sin sin sin(

2)2

A C A A π

+=+-

2219

sin cos 22sin sin 12(sin )48

A A A A A =+=-++=--+，............10分

∵04

A π

，∴20sin 2A <<

，因此22199

2(sin )2488

A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29

(

,]28

．............................14分 6、（1）在锐角三角形ABC 中，由3

sin 5

A =

，得24cos 1sin 5A A =-=， …………2分

所以sin 3

tan cos 4

A A A =

=.……………………………………………………………4分

由tan tan 1

tan()1tan tan 2

A B A B A B --==-+?，得tan 2B =. ………………7分

（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得25

sin 5

B =，5cos 5B =，……9分

所以115

sin sin()sin cos cos sin 25

C A B A B A B =+=+=，…………………11分

由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11

sin 2

b C

c B ==. ………………14分

7、解：（1）由图象知，2A =， …………2分

又

54632T πππ=-=，0ω>，所以22T ππω

==，得1ω=. …………4分所以()2sin()f x x ?=+，将点(,2)3

代入，得

2()3

k k Z π

?π+=

+∈，

即2()6

k k Z π

?π=

+∈，又2

，所以6

. ………6分

所以()2sin()6

f x x π

=+. …………8分

（2）当[,]22x ππ

∈-

时，2[,]633x πππ

+∈-， …………10分所以3

sin()[,1]62

x π+∈-，即()[3,2]f x ∈-. …………14分

8、

O C

9、解：（1）由余弦定理知2222222

2cos cos 222a c b b c a c

a B +

b A a b

c ac bc c

+-+-=?

+?==，…3分

c o s c o s 1a B +b A c ∴

=，1

cos 2C ∴=， …………………………………5分

又()0,C ∈π，3

C π

=. ………………………7分

（2）1

sin 232

ABC

S ab C ==，8ab ∴=， ………………………10分又

6a b +=，()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分

23c ∴=. …………………………………14分 10、解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，

1sin sin OG OF θθ=

=，1

1sin EF θ

=+，AE θ=，所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v

θθθ=+=++，[,]44θ∈π3π．……7分

（写错定义域扣1分）（2）11

()56sin 6T v

v v

θθ=

+，

22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)

()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ

-+-'=-==-，…………9分

记02cos 3θ=

，0[,

]44

θ∈π3π

， θ

0(,)4

πθ 0θ 03(,

)4πθ ()T θ'

()T θ

故当2

cos 3

θ=

时，时间T 最短． …………14分 11、解：（1）由a cos B ＝b cos A ，得sin A cos B ＝sin B cos A ， …………………………………3分即sin(A －B )＝0．

因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，

所以a ＝b ，即b

a ＝1． ………………………………………………………………………6分

（2）因为sin A ＝13，且A 为锐角，所以cos A ＝22

3． ………………………………………8分

所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin2A ＝2sin A cos A ＝42

9， ………………………………………10分

cos C ＝cos(π－2A )＝－cos2A ＝－1＋2sin 2A ＝－7

9．…………………………………………12分

所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝8＋72

18．……………………………………………14分

12、（1）2

()23cos 2sin

cos

f x ωωω=-＝3＋3cos sin x x ωω-

＝3－2sin()3

x π

ω-

最小正周期为π2.，所以，ω＝1 所以，()f x ＝3－2sin()3

x π

（2）6()32sin()335f π

θθ=--

=+，所以，3

sin()35

πθ-=- cos cos[()]33

ππ

θθ=-+＝

433