高考立体几何文科大题及答案
高考立体几何文科大题
及答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
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高考立体几何大题及答案
1.（2009全国卷Ⅰ文）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面
ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，
∠ABM=60。
（I ）证明：M 是侧棱SC 的中点；
()II 求二面角S AM B --的大小。
2.（2009全国卷Ⅱ文）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求
B 1
C 与平面BC
D 所成的角的大小
3.（2009浙江卷文）如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，
22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：
//PQ 平面ACD ；（II ）求AD 与平面ABE 所成
角的
正弦值．
A
C B
A 1
B 1
C 1
D E
3
4.（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
5.（2009江苏卷）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面
1A FD ⊥平面11BB C C .
6.（2009安徽卷文）如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，和是平面ABCD 内的两点，和都与平面ABCD 垂直，（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD：（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面体ABCDEF的体积。
7.（2009江西卷文）如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面
ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，4
PA AD
==，
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AB=．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD
于点M．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．
O
A
P
B
M
4
5
8.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。
9.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。
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10.（2009湖南卷文）如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。
11.（2009辽宁卷文）如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点。（I ）若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 的长； （II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
12.（2009四川卷文）如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；
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（II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，
求证： PM ∥BCE 平面
（III ）求二面角F BD A --的大小。
13.（2009陕西卷文）如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==∠ABC=600.
(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；
（Ⅱ）求二面角A —1A C —B 的大小。
14.（2009宁夏海南卷文）如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 （Ⅰ）证明：AB ⊥PC
（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ， 求三棱锥P ABC -体积。
C
B
A C 1
B 1
A 1
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15.（2009福建卷文）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ?∠=，2,4AB AD ==将
CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置，使平面EDB ⊥平面ABD （I ）求证：AB DE ⊥
（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。
16.（2009重庆卷文）如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，
2
BAD π
∠=
，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，
3,7FC ED ==
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．
17.(2009年广东卷文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2）求该安全标识墩的体积
（3）证明:直线BD 平面
PEG
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参考答案
1、【解析】（I ）解法一：作MN ∥SD 交CD 于N ，作NE AB ⊥交AB 于E ，
连ME 、NB ，则MN ⊥面ABCD ，ME AB ⊥,2NE
AD == 设MN x =，则NC EB x ==, 在RT MEB ?中，
60MBE ∠=?3ME x ∴=。
在RT MNE ?中由222ME NE MN =+2232x x ∴=+ 解得1x =，从而1
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MN SD =
∴ M 为侧棱SC 的中点M. 解法二:过M 作CD 的平行线.
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（II ）分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。
过M 作MJ ∥CD 交SD 于J ,作SH AJ ⊥交AJ 于H ,作HK AM ⊥交AM 于K ,则
JM ∥CD ,JM ⊥面SAD ,面SAD ⊥面MBA ,SH ⊥面AMB ∴SKH ∠即为所求二面角的补角.
法二：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，取SA 的中点G ，连GF ，易证GF AM ⊥，则GFB ∠即为所求二面角.
解法二、分别以DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴如图建立空间直角坐标系D —xyz ，则)2,0,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,0,2(S C B A 。
（Ⅰ）设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则
)2,,0(),,2,2(),0,2,0(-=--=-=b a b a ，
)2,2,0(-=，由题得
??
?
?
?
>= 12 ? ???? -=-=++-?--) 2(22212)2(2)2(22 2b a b a a 解之个方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M 所以M 是侧棱SC 的中点。 法2：设MC SM λ=，则)12 ,12,2(),12,12, 0(λ λλλλ+-+=++MB M 又o AB MB AB 60,),0,2,0(>=<= 故o AB MB AB MB 60cos ||||?=?，即 2 2)12()12(214λ λλ++++=+，解得1=λ， 所以M 是侧棱SC 的中点。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得)1,1,2(),1,1,0(--=MA M ，又)2,0,2(-=AS ， )0,2,0(=AB ， 设),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==分别是平面SAM 、MAB 的法向量，则 ?????=?=?0011AS n MA n 且?????=?=?0012AB n MA n ，即???? ?=+-=--022*******z x z y x 且????? ==--02022222y z y x 分别令221==x x 得2,0,1,12211====z y y z ，即 )2,0,2(),1,1,2(21==n n ， ∴3 6 6 2202,cos 21= ?++>= 6arccos -π。 2、解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF 1 2 1B B ，从而EF DA 。 13 连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面 1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。 （Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。由题设知，∠AGC=600.. 设AC=2，则AG= 3 。又AB=2，BC=22，故AF=2。 由AB AD AG BD ?=?得2AD= 22.23 AD +，解得AD=2。 故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。 因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。 连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。 连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。 因ADEF 为正方形，AD=2EH=1，又EC=11 2 B C =2， 所以∠ECH=300，即1B C 与平面BCD 所成的角为300. 解法二： （Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A —xyz 。 14 设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E （12，2 b ， c ）. 于是DE → =（12，2 b ，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→ ?=0，求得b=1，所以 AB=AC 。 （Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z → =则0,0.AN BC AN BD →→→→ ?=?= 又BC → =（-1，1， 0）， BD → =（-1，0，c ）,故0 x y x cz -+=?? -+=? 令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1 c ). 又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0） 由二面角C BD A --为60°知，AC AN ， =60°， 故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2 1c = 于是 ），，（211=AN ， ） ，，211(1-=CB 2 1 cos 1 11=??= CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ， ° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30° 3、（Ⅰ）证明：连接CQ DP ,， 在ABE ?中，Q P ,分别是AB AE ,的中点，所以 BE PQ 21//==， 又BE DC 21 //==，所以DC PQ ==//，又?PQ 平面ACD ，DC ?平面ACD ， 所以//PQ 平面ACD 15 （Ⅱ）在ABC ?中，BQ AQ BC AC ===,2，所以AB CQ ⊥ 而DC ⊥平面ABC ，DC EB //，所以⊥EB 平面ABC 而?EB 平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面ABC ， 所以⊥CQ 平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP 是平行四边形，所以CQ DP // 所以⊥DP 平面ABE ， 所以直线AD 在平面ABE 内的射影是AP ， 所以直线AD 与平面ABE 所成角是DAP ∠ 在APD Rt ?中，5122222=+=+=DC AC AD ，1sin 2=∠==CAQ CQ DP 所以55 5 1sin = ==∠AD DP DAP 4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵PD ABCD ⊥底面， ∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD ，1 2 OE PD = ，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE 中，122 OE PD AB AO = ==， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?. 16 【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h == 则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==， ∴0,0AC DP AC DB ?=?=， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面. （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时， () 1120,0,2,,,222P a E a a a ?? ? ?? ?， 设AC∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,2222EA a a a EO a ???? =--=- ? ? ? ????? ， ∴2 cos 2 EA EO AEO EA EO ?∠= = ?， ∴45AOE ?∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?. 5、 17 6、【解析】(1)由于EA=ED 且'''ED ABCD E D E C ⊥∴=面 ∴点E '在线段AD 的垂直平分线上,同理点F '在线段BC 的垂直平分线上. 又ABCD 是四方形 ∴线段BC 的垂直平分线也就是线段AD 的垂直平分线 即点E 'F '都居线段AD 的垂直平分线上. 所以,直线E 'F '垂直平分线段AD. (2)连接EB 、EC 由题意知多面体ABCD 可分割成正四棱锥E —ABCD 和正四面体E —BCF 两部分.设AD 中点为M,在Rt △MEE '中,由于ME '=1, 3'2ME EE =. E V ∴—ABCD 21142 '223 3 S ABCD EE =??=?四方形 又E V —BCF=V C －BEF=V C －BEA=V E －ABC 21 1122 '223 323 ABC S EE =?=??= ∴多面体ABCDEF 的体积为V E —ABC D ＋V E —BCF=227、解：方法（一）： （1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ， 所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ， 由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， O N A P B C M D z y 18 所以 PNM ∠就是PC 与平面ABM 所成的角， 且PNM PCD ∠=∠ tan tan PD PNM PCD DC ∠=∠= = 所求角为arctan （3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，DM =，则O 点到平面ABM 。 方法二： （1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ， 设平面ABM 的一个法向量(,,)n x y z =，由,n AB n AM ⊥⊥可得：20 220 x y z =??+=?，令 1z =-，则1y =，即(0,1,1)n =-.设所求角为α，则2sin 3 PC n PC n α?== ， 所求角的大小为arcsin 3 . （3）设所求距离为h ，由(1,2,0),(1,2,0)O AO =，得：2AO n h n ?= = 8、【解析】解法一： 因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD=AB ， 所以BC ⊥平面ABEF. 所以BC ⊥EF. 因为⊿ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°， 又因为∠AEF=45, 所以∠FEB=90°，即EF⊥BE. 因为BC?平面ABCD, BE?平面BCE, BC∩BE=B 所以EF BCE ⊥平面 …………………………………………6分 （II）取BE的中点N,连结CN,MN,则MN 1 2 A B PC ∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN. ∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, ∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分（III）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD. 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD, 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH. ∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角. ∵ FA=FE,∠AEF=45°, ∠AEF=90°, ∠FAG=45°. 设AB=1,则2 则 1 FG AF sin FAG 2 =?= 19 20 在Rt ⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+12=3 2, 3232GH BG sin GBH 224 =?= ?=, 在Rt ⊿FGH 中, FG 2 tan FHG GH 3 = =, ∴ 二面角F BD A --的大小为2 arc tan 3 …………………………………………12分 解法二: 因ABE ?等腰直角三角形，AE AB =，所以AB AE ⊥ 又因为平面AB ABCD ABEF =?平面，所以AE ⊥平面ABCD ， 所以AD AE ⊥ 即AE AB AD 、、两两垂直；如图建立空间直角坐标系, (I) 设1=AB ，则1=AE ，)0,1,1(),1,0,0(),0,0,1(),0,1,0(C E D B ∵?=∠=45,AEF FE FA ，∴090＝AFE ∠， 从而），，－（21 210F )2 1 ,21,0(--=EF ，)0,0,1(),1,1,0(=-=BC BE 于是02 1 210=-+=?BE EF ，0=?BC EF ∴EF ⊥BE ,EF ⊥BC ∵BE ?平面BCE ，BC ?平面BCE ，B BE BC =? ∴EF BCE ⊥平面 （II ）)0,21,1(),21,0,0(P M ，从而)2 1 ,21,1(--=PM