06 导数

南通工贸技师学院

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课题：第六章导数

教学目的要求：

1.了解导数的定义、分类等基本概念；

2.掌握导数的常见运算，能熟练进行综合运算；

3.能利用所学知识，求解综合问题。

教学重点、难点: 掌握导数的概念

授课方法：任务驱动法小组合作学习法

教学参考及教具（含多媒体教学设备）：《数学(理科)》、三角板授课执行情况及分析：

板书设计或授课提纲

=-

510 y x

、已知函数

、方程32

2670(0,2)x x -+=在内根的个数为( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、3 、定义在R 上的函数的图像关于点（-3

4

，0）成中心对称且对任意的实数3

导数及其应用概念及公式总结

导数与微积分重要概念及公式总结 1.平均变化率：=??x y 1212) ()(x x x f x f -- 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2.导数的概念 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 3.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，（其中 00(,())x f x 为切点），即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x k x ?→+?-'==? 切线方程为：()()()000x x x f x f y -'=- 4.常用函数的导数： （1）y c = 则'0y = （2）y x =，则'1y = （3）2y x =，则'2y x = （4）1y x = ，则'21y x =- （5）*()()n y f x x n Q ==∈，则'1n y nx -= （6）sin y x =，则'cos y x = （7）cos y x =，则'sin y x =- （8）()x y f x a ==，则'ln (0)x y a a a =?> （9）()x y f x e ==，则'x y e = （10）()log a f x x =，则'1 ()(0,1)ln f x a a x a = >≠

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围

导数压轴题型第1讲 距离最值问题(mathtype WORD精编版)

目录 一级标题........................................................................................ 错误!未定义书签。 一、二级标题......................................................................... 错误!未定义书签。 1.1三级标题.................................................................... 错误!未定义书签。 1.1.1四级标题.......................................................... 错误!未定义书签。 二、二级标题......................................................................... 错误!未定义书签。 1.1三级标题.................................................................... 错误!未定义书签。

距离最值问题 一、 曲线上的点到直线上的点的距离最小值 曲线()ln 2y x =上任意一点P 到直线2y x =的距离的最小值是_________. 曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ． B ．2 C ． 解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离． ∵y ′＝22x －1，∴2 2x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8| 4＋1＝2 5. 设点P 在曲线x e y 2 1= ，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则PQ 最小值为__________. 【答案】)2ln 1(2- 【解答】反函数，转成曲线到直线y x =距离最小值的两倍 (2019秋 龙岩期中)已知实数a ，b 满足240a lna b --=，c R ∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为( ) A B ．95 C D ．15 【解答】x 代换a ，代换，则，满足：，即， 以代换，可得点，满足． 因此求的最小值， 即为求曲线上的点到直线的距离的最小值的平方． 设直线与曲线相切于点，， y b x y 240x lnx y --=2 4(0)y x lnx x =->x c (,2)x x -20x y +=22 ()(2)a c b c -++2 4y x lnx =-20x y +=20x y m ++=2 4()y x lnx f x =-=0(P x 0)y

导数

考点一：导数的几何意义 1、（2012年安徽）设函数())0(1>++=a b ae ae x f x x ， （1） 求()x f 在[)+∞,0内的最小值； （2） 设曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程为x y 2 3=，求a,b 的值。 2、设函数()x x x a x f ln 21+??? ??+=，()2x x g = （1）当a>0且0≠a 时，直线l 与函数()x f 和函数()x g 的图象相切于同 一 点，求直线l 的方程； （2）若函数()x f 在区间[]42， 上为单调函数，求实数a 的取值范围 考点二：导数与函数的单调性、最值 3、（2012年北京）已知函数())0(12>+=a ax x f ，()bx x x g +=3 （1）若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线，求a,b 的值 （2）当b a 42=时，求函数()()x g x f +的单调区间，并求出其在区间(]1,-∞-上的最大值。

4、已知函数()()()R a ax x x a x f ∈++-=21ln 2 (1)当a=0时，求()x f y =的极值； （2）求()x f y =的单调区间； （3） 若对任意的()[]3,1,,2,321∈--∈x x a ,恒有()()()213ln 23ln x f x f a m ->-+成立，求实数m 的取值范围。 5、（2012年天津） 已知函数()()a x x x f +-=ln 的最小值为0，其中a>0 (1) 求a 的值； (2) 若对任意的[)+∞∈,0x ，有()2kx x f ≤成立，求实数k 的最小值； (3) 证明：() *=∈<+--∑ N n n i n i 2)12ln(1221 6、已知函数()()1ln --=x a x x f ，R a ∈. (1)讨论函数()x f 的单调性； （2）当1≥x 时，()1ln +≤x x x f 恒成立，求a 的取值范围

高中数学高考导数题型分析及解题方法(下载)[1]

导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2) ()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过 ),(00y x A 点的切线的斜率为0/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有35 2000--=x y x ②，由①②联立方程组得，??????====255 110000y x y x 或，即切点为（1， 1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 ))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 解：（1）由 .23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为： ).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即 而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 ①

导数及其应用)

导数及其应用 导数的运算 1. 几种常见的函数导数： ①、c '= （c 为常数）； ②、n (x )'= （R n ∈）； ③、)(sin 'x = ；④、)(cos 'x = ； ⑤、x (a )'= ； ⑥、x (e )'= ； ⑦、a (log x )'= ； ⑧、(ln x )'= . 2. 求导数的四则运算法则： ()u v u v '''±=±；v u v u uv '+'=')(；2)(v v u v u v u '-'=' )0(2''' ≠-=??? ??v v u v vu v u 注：① v u ,必须是可导函数. 3. 复合函数的求导法则： )()())((x u f x f x ??'?'=' 或 ' ?'='x u x u y y 一、求曲线的切线（导数几何意义） 导数几何意义： 0()f x '表示函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 的斜率； 函数()y f x =在点(0x ，0()f x )处切线L 方程为000()()()y f x f x x x '-=- 1.曲线21 x y x =-在点()1,1处的切线方程为 ( ) A . 20x y --= B . 20x y +-= C .450x y +-= D . 450x y --= 2.曲线y =x 3－x ＋3在点（1，3）处的切线方程为 ． 变式一： 3.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ( ) A ．4 B ．14- C ．2 D ．12 - 4.已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方 程是 ( ) A .21y x =- B .y x = C .32y x =- D .23y x =-+ 变式二： 5.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 . 6.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则 1299a a a +++的值为 .

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

导数

x y x y e y x y x ln .413.3.2)12(.1.) 12(3=+==-=+ 求下列函数的导数 一 ）处的切线方程 ，在点（求曲线求切线方程 二112.1.3--=x x y ）的切线方程 ，过点（求曲线112.23--=x x y ）的切线方程 过点（求曲线0,11.32-++=x x y ______2ln .42的最小距离为：到直线上任意一点，则是-=-=x y P x x y P 1 188.23.1.23423-+-=-=x x x y x x y 图 列表，求极值，并画简三 ] 4,1[,3.23-∈-=x x x y 列表，求最值，画简图 四

x x y x x y x x y x x y ln .4ln .3ln .214.1.2 ==?=+= 画草图 用导数研究函数图像，五 求单调区间六. )(1ln )(.1R a x x a x f ∈-= 范围 恒成立，求对）（求单调区间a x x f R a x a x x a x f ),0(0)(2)1()()1(21ln )(.22+∞∈?≥∈+-+ = 讨论单调性)1(11ln )(.3<--+ -=a x a ax x x f 的取值范围上单调，求在区间已知范围 已知单调区间，求参数七a x x a x x f ]2,1[,ln 23)(.1.2+-=

的取值范围）上为减函数，求在a R a e ax x x f x +∞∈+=,3[)(3)(.22 的范围单调，求在a x ax x x f ]3,1[653 1)(.323+++= 的取值范围有两个极值点，求已知，则时有极值在已知极值求参数 八a ax x x x f b a x a bx ax x x f )(ln )(.2____013)(.1.223-==--=+++= 的取值范围个不同的交点，求的图像有图像与已知交点个数问题 九m m x x x g e x x x f x 32 131)()1()(.232++= -+-= 111)(00)(12)1()(.2++-≤-≥=++-=x x e x f x a x x f x e ax x f x x 时，②证明：当①求处取极值在且几个特殊的不等关系式 十

导数在经济分析中的应用

导数在经济分析中的应用 一、 边际分析与弹性分析 1、边际分析 例1 某小型机械厂主要生产某种机器配件，其最大生产能力为每日100件，假设日产品的成本C （元）是日产量x （件）的函数 求：（1）日产量为75件时的成本和平均成本； （2）当日产量由75件提高到90件时，成本的平均增量； （3）当日产量为75件时的平均成本。 例 2 设某糕点厂生产某种糕点的成本函数和收入函数分别是2()10020.02C x x x =++和2()70.01.R x x x =+ 求边际利润函数和当日产量分别为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。 2、弹性 例3 某日用消费品的需求量Q （件）与单价p （元）的函数关系为 求：（1）需求的价格弹性函数； （2）当单价为4元，5元时的需求弹性。 二、函数最值在经济中的应用 1、平均成本最小 例4 某工厂生产产量为x （件）时，生产成本函数（元）为 问该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出最小平均成本和边际成本. 2、最大利润 例5 某商家销售某种商品的价格满足关系70.2(/)p x =-万元吨，且x 为销售量（单位：吨），该商品的成本函数为()31C x x =+（万元）。 （1） 若每销售1吨商品政府要征税t （万元），求该商家获得最大利润时的销售量； （2） t 为何值时，政府税收总额最大。 3、最佳批量和批数 例6 某厂年需某种零件8000个，需分期分批外购，然后均匀投入使用（此时平均库存量为批量的一半）。若每次订货的手续费为40元，每个零件的库存费为4元。试求最经济的订货批量和进货批数。 4、最佳时间决策 例7 某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定0t =）就出售，售价为0R 元. 如果窖藏起 来待将来按陈酒价格出售（假设不计储藏费），那未来收入就是时间t 的函数0R R =设资金的贴现率为r ，并以连续复利计息，为使收入的现值最大，应在何时出售这批酒？ 习题

导数及其应用.知识框架

要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用

了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分： 年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点： 知识点一几个常用函数的导数 知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析： 题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别 作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由． 解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 题型三 利用导数公式求最值问题 例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 解 设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

导数及其应用知识清单

导数及其应用知识清单 一、导数的概念 (1)如果当时，有极限，就说函数在点处存在导数，并将这个极限叫做函数在点处的导数(或变化率)，记作或，即 的几何意义是曲线在点处的；瞬时速度就是位移函数对的导数；加速度就是速度函数对______________的导数. (2)如果函数在开区间内的每一点都可导，其导数值在内构成一个新 函数，这个函数叫做在开区间内的导函数，记作或 . 二、几种常见函数的导数 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 三、可导函数的四则运算法则 法则1(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2 .(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号) 法则3(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 四、函数的单调性 函数在某个区间内，若，则为；若，则 为；若，则为。如果一个函数在某个区间内的绝对值，那么函数在这个范围内变化，这时函数的图象就越“”。 五、（1）函数极值的概念

函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数 的，叫做函数的 . 函数在点处的函数值比它在点附近其它点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数 的，叫做函数的 . 极小值点与极大值点统称为，极小值与极大值统称为. （2）求函数极值的步骤： ①；②；③。 六、函数的最大值与最小值 在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）；（2）。 七、生活中常遇到求利润，用料，效率等一些实际问题，这些问题通常称为。 八、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： （1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的，写出实际问题中，根据实际问题确定。 （2）求函数的，解方程，得出定义域内的实根，确定。 （3）比较函数在和的函数值的大小，获得所求函数的最大（小）值。 （4）还原到原实际问题中作答。 知识结构 说明：1、在对导数的概念进行理解时，特别要注意与是不一样的， 代表函数在处的导数值，不一定为0 ；而是函数值的导数，而函数值是一个常量，其导数一定为0，即=0；

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

导数计算(2)

（理）1.2 导数的计算 1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 （文）3.2 导数的计算 3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ［素养目标］ 1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。 2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。 【课前·预习案】 [问题导学] 知识点1. 导数的运算法则 【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能． 〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则 (1)和(差)的导数 符号表示：[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数 符号表示：[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋ f (x ) g ′(x )． 特别地，当g (x )＝c (c 为常数)时，[cf (x )]′＝ cf ′(x )． (3)商的导数 符号表示：???? ?? f (x ) g (x )′＝ f′(x )g (x )－f (x )g′(x ) g 2(x ) (g (x )≠0)． （理）知识点2. 复合函数的导数 【思考2】如何求y ＝cos ? ? ???3x －π4的导数． 【提示】令u ＝g (x )＝3x －π 4 ，y ＝f (u )＝cos u ， ∴y ＝f (u )＝f (g (x ))＝cos ? ? ???3x －π4. 〖梳理〗复合函数的导数 复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′· u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [达标自评] 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( ) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( ) (3)(x 2cos x )′＝－2x sin x ．( ) 解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x 2cos x )′＝ (x 2)′·cos x+x 2·(cos x )′=2x cos x －x 2sin x ．

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

导数的概念

第二章导数与微分 本章教学目标与要求 理解导数的概念，会利用导数定义求导数。了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。理解可导性与连续性的关系。了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 本章教学重点与难点 1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数； 3．复合函数求导； 4．微分的概念，可微和可导的关系，微分的计算 §2.1 导数的概念 教学目的与要求 1.理解函数导数的概念及其几何意义. 2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线. 3.了解导数与导函数的区别和联系. 4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点 1.函数导数的概念、基本初等函数的导数 2.函数导数的概念、利用定义求函数在某一点的导数 一、引例 导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的． 下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．

1．瞬时速度 思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。 在中学里我们学过平均速度 t s ??，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律. 不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”. 设质点运 动的路程是时间的函数 )(t s ，则质点在 0t 到 t t ?+0 这段时间内的平均速度为 t t s t t s v ?-?+= ) ()(00 可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ?越小，平均速度 v 与 0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→?t 时，平均速度v 就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在0t 时刻的瞬时速度，即物体在 0t 时刻的瞬时速度为 t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?) ()(lim lim 000_ （1） 思考：按照这种思想和方法如何计算自由落体的瞬时速度？ 因为自由落体运动的运动方程为： 2 2 1gt s = ， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为 00020 2000000)2 1(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =?+=?-?+=?-?+=→?→?→?。 这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式. 2．切线的斜率 思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？ 引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义. （1）切线的概念